Nekonečné a mocninné řady
1. ÚLOHA
Vyšetřete konvergenci řady
∞
n=1 an, případně určete jejich součet, jestliže
(a) an = 1
n(n+2)
3
4
(b) an =
√
n
3
√
n+1
[nekonverguje]
(c) an = 3n
−2n
6n
1
2
(d) an = n
2n+1
n
[konverguje absolutně]
(e) an = 3n
n!
nn [diverguje]
(f) an = n√
3n
[konverguje absolutně]
(g) an = en
n! [konverguje absolutně]
(h) an = (−1)n
ln(n+1) [konverguje neabsolutně (relativně)]
(i) an = (−1)n n+1
n(n+2) [konverguje neabsolutně (relativně)]
(j) an = 3+(−1)n
(−3)n −1
4
2. ÚLOHA
Vyšetřete konvergenci následujících řad, určete jejich součet.
(a)
∞
n=0(−1)n
x2n 1
1+x2
(b)
∞
n=0 nn
(x − 3)n
[diverguje pro ∀x ∈ R − {3}]
(c)
∞
n=1 n2
xn x+x2
(1−x3)
(d)
∞
n=0(−1)n x2n+1
2n+1 [arctan(x); x ∈ (−1, 1)]
3. ÚLOHA
Určete poloměr konvergence, obor konvergence a obor absolutní konvergence mocninných řad.
(a)
∞
n=1
xn
3
√
n
[konverguje absolutně na (−1, 1); neabsolutně na −1, 1)]
(b)
∞
n=1 n2
(x + 5)n
[konverguje absolutně na (−6, −4)]
(c)
∞
n=1
xn−1
n23n+1 [konverguje absolutně na −3, 3 ]