Domácí úkol č. 4
1. Určete limity (pomocí L´Hospitalova pravidla):
a) limx →1
cos(π x)+1
(x−1)
2
b) limx →1
ln x
x−1
c) limx →0
x−sin x
x
3
d) limx →0 cotg x−
1
x
e) limx →0
1
x sin x
−
1
x
2
2. Určete monotónost funkce, její lokální extrémy a intervaly konvexnosti a konkávnosti:
a) f (x)=x−2sin x , D( f )=(0,2π)
b) g( x)=
1
x
⋅ln
1
x
, D( f )=? (bez konvexnosti a konkávnosti)
c) h(x)=x⋅( x−4)
3
, D( f )=?
3. Určete konvexnost a konkávnost funkce:
f (x)=
5
√x
3
, D( f )=?
Řešení:
1.
a)
π2
2
b) 1
c)
1
6
d) 0
e)
1
6
2.
a) klesající na: x∈(0, π
3
)∪(
5π
3,
2 π) , rostoucí na: x∈( π
3,
5π
3
)
lok min v x =
π
3 , lok max v x =
5π
3
konvexní na : x∈(π ,2π) , konkávní na x∈(0,π)
b) klesající na: x∈(0,e) , rostoucí na: x∈(e ,∞)
lok min v x = e , lok max není
c) klesající na: x∈(−∞ ,1) , rostoucí na: x∈(1,∞)
lok min v x = 1 , lok max není
konvexní na : x∈(−∞ ,2)∪(4,∞) , konkávní na x∈(2,4)
3. konvexní na : x∈(−∞ ,0) , konkávní na x∈(0,∞)