Domácí úkol č. 5
1. Vyšetřete průběh funkce:
a) f (x)=x−arctg x
b) g( x)=
3
√2 x
2
−x
3
c) h(x)=x
3
−3 x+2
d) k ( x)=0,1x
4
−0,4 x
3
e) l (x)=sin
2
x+sin x na intervalu x∈〈0,2π〉
2. Určete stranu čtverce, který musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíru o
rozměrech 5 x 7 decimetru, chceme-li získat krabičku (bez horní stěny) o co největším
objemu?
3. Do rotačního kužele o výšce h cm a s poloměrem podstavy r vepište válec, který má:
a) největší objem
b) největší povrch
(můžete řešit obecně a považovat r a h za konstanty, nebo si zvolit např. r = 8 cm, h = 20 cm)
4. Na plotě, jehož výška je 1 metr, sedí kos. Ve vzdálenosti 15 metrů od plotu roste strom,
který má větev ve výšce 3 metry. Na zemi mezi plotem a stromem jsou hustě rozesety žížaly. V
jaké vzdálenosti od plotu má kos sezobnout žížalu, aby proletěl trasu plot-žížala-větev po
přímkách a co nejkratší dráze?
5. Pro které kladné číslo x je jeho součet s jeho převrácenou hodnotou minimální?
Řešení:
1) nechte si funkci vykreslit na stránkách:
http://www.wolframalpha.com/
2) x = 9,59 cm
3) vyjádřit objem kužele jako funkci jeho výšky H (poloěr kužele je R], zderivovat a najít
lokální extrém
a) R=
2⋅r
3
, H =
h
3
b) R=
r
2
, H =
h
2
4) Musí žížalu sezobnout ve vzdálenosti 3,75 metru od plotu.
5) x = 1