1. Sečtěte řadu:
a) ∑
n=1
∞
2
3
n
b) ∑
n=2
∞
1
n
2
+n−2
c) Sečtěte řadu: ∑
n=1
∞
1
(2n−1)(2n+5)
2. Vypočítejte:
n+
n
3
+
n
9
+
n
27
+...
1+2+3+...+n
, kde n∈ℕ
3. Převeďte nekonečnné desetinné číslo 0, ̄09 na zlomek.
4. Rozhodněte o divergenci nebo konvergenci řady:
a) ∑
n=1
∞
1
2n−1
b) ∑
n=1
∞
2
n−1
n!
c) ∑
n=1
∞
n
2
n!
d) ∑
n=1
∞
n
2
+1
n
5. Rozhodněte o divedgenci, absolutní nebo realtivní konvergenci alternujícíhc řad:
a) ∑
n=1
∞
(−1)
n
3n−1
b) ∑
n=1
∞
(−1)
n n
3
2
n
c) ∑
n=1
∞
(−1)n 1
n⋅ln n
6. Určete poloměr konvergence mocninných řad:
a) ∑
n=1
∞
n⋅(n+1)⋅xn
b) ∑
n=1
∞
x
n
n!
c) ∑
n=1
∞
x
n
n
n
d) ∑
n=1
∞
3n
⋅xn
7. Řešte diferneciální rovnice:
a) y´ (1−x
2
)+y=0
b) (x+1)dy+x y dx=0
c) 2 y ´ √x=y
d) e−s
(1+
ds
dt )=1
8. Řešte diferenciální rovnici y´=2√x⋅ln x s počáteční podmínkou y(e)=1 .
Řešení
1.
a) vzorec, s = 1
b) rozložit na parc. zlomky ,
1
3( 1
(n−1)
−
1
(n+2)) rozepsat řadu, podívat se, co se odečte
a udělat limitu sn v nekonečnu => s =
11
18
c) rozložit na parc. zlomky
1
6( 1
(2n−1)
−
1
(2n+5)) , rozepsat řadu, podívat se, co se
odečte a udělat limitu sn v nekonečnu => s =
23
90
2.
3
1+n
(pozor ve jmenovateli je součet konečné aritmetické posloupnosti)
3. Rozepište jako součet nekonečně mnoha zlomků 0,090909...=
( 9
100
+
9
10000
+...
) a
sečtěte jako geometrickou posloupnost => s =
1
11
4.
a) diverguje
b) podílové, konverguje
c) pro n≥7 jsou prvky této posloupnosti menší než prvky předchozí posl. =>
srovnávacím kritériem konverguje (lze i podílovým)
d) rozložíme na součet dvou řad - ∑
n=1
∞
1
n
a ∑
n=1
∞
1
n
3 , první diverguje, druhá konverguje,
celkem řada diverguje
5.
a) konverguje relativně
b) konverguje absolutně, (konvergence řady s nezápornými koeficienty např. podle
odmocninového kritétia)
c) konverguje relativně, (divergence řady s nezápornými koeficienty např. podle srovnání s
řadou 1/n)
6.
a) obor konvergence x∈(−1,1)
b) obor konvergence x∈ℝ
c) obor konvergence x∈ℝ
d) obor konvergence x∈(−
1
3
,
1
3
)
7.
a) y=0 ; y=±K⋅
√x−1
x+1
K>0
b) y=C⋅(x+1)e
−x
;C ∈ℝ (pro C = 0 y = 0)
c) y=K⋅e√ x
; K∈ℝ
d) 1−C⋅e
t
=e
−s
,C∈ℝ
8. √ y=x(ln x−1)+1