Cvičení 12: Limitní věty, normální rozdělení, náhodný výběr
Teorie:
Náhodným výběrem rozsahu n   rozumíme n-tici stochasticky nezávislých a
náhodných veličin Xi,..., Xn, které mají totéž rozdělení. S náhodným výběrem se obvykle setkáváme při opakovaném provádění téhož pokusu.
Statistika je náhodná veličina vzniklá transformací náhodného výběru.
• Výběrový průměr M = ^ Eľ=i Xi, a jsou-li navíc X±,..., Xn ~ N(fi, a2), pak M ~ N(fi,a2/n).
. Výběrový rozptyl S2 = ^ £?=1 (*i ~ M)2 = ^ (Eľ=i     -nM),S = JŠ2~.
Intervalovým odhadem parametru 9 rozumíme interval (T^, Tjj), kde Tl(X1} ..., Xn) a Tjj(Xi, ..., Xn) jsou statistiky výběru       ..., Xn). Platí-li
P(TL <9<Tu) = l-a,
říkáme, že (Tl,Tjj) je 100 • (1 — a)% interval spolehlivosti pro parametr 9. Horním odhadem parametru 9 na hladině významnosti 1 — a je statistika U, pro níž
P(9 < U) > 1 - a,
dolním odhadem 9 na hladině významnosti 1 — a je pak statistika L, pro níž
P(L < 9) > 1 - a.
Případ, kdy je Xi,... ,Xn náhodný výběr z normálního rozdělení N(fi,a2):
• M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
• M ~ N(fi, cr2/n), a tedy U= (M - fi)/(a/y/ň) ~ ÍV(0,1).
• = (n - l)^2/^2 ~ x2(n- 1).
. E(^-^2~X2(n).
• T = (M — fj)/(S/y/ň) ~ í(n - 1).
Příklad 162. Pravděpodobnost, že zasazený strom se ujme, je 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že z 500 zasazených stromů se jich ujme aspoň 360?
Výsledek. 0,987.
1
Příklad 163. Pravděpodobnost, že semeno vyklíčí, je 0,9. Kolik semen je třeba zasadit, aby s pravděpodobností aspoň 0,995 vyklíčilo cca 90% semen (což přesněji formulujeme se zpřesňujícím požadavkem, aby odchylka podílu vyklíčených semen od 0,9 nepřevýšila 0,034).
Výsledek, n m 600.
Příklad 164. Životnost (v hodinách) určité elektrické součástky má exponenciální rozdělení s parametrem A = y^. Pomocí centrální limitní věty odhadněte pravděpodobnost, že celková životnost 100 takových součástek bude mezi 900 a 1050 hodinami.
Výsledek, ß = 10, <72 = 100,P(900 < < 1050) = P (^f^ < < =
$(0,5) - $(-1) « 0,533.
Příklad 165. Při 600 hodech kostkou padla jednička pouze 45 krát. Rozhodněte, jestli je možné tvrdit, že jde o ideální kostku na hladině a = 0,01. Vše zdůvodněte a svůj závěr explicitně formulujte.
Příklad 166. Do bedny ukládáme výrobky se střední hodnotou 3 kg a směrodatnou odchylkou 0,8 kg. Jaký maximální počet výrobků můžeme do bedny uložit, aby celková hmotnost s pravděpodobností 0,9738 nepřekročila jednu tunu?
Výsledek, n 324.
Příklad 167. Předpokládejme, že výška desetiletých chlapců má normální rozdělení N(ß, a2) S neznámou střední hodnotou ß a rozptylem a2 = 39,112. Změřením výšky 15 chlapců jsme určili výběrový průměr M = 139,13. Určete
a) 99% oboustranný interval spolehlivosti pro parametr ß,
b) dolní odhad ß na hladině významnosti 95%. Výsledek, a) (136,12; 142,14); b) 136,474.
Příklad 168. Odběratel provádí kontrolu jakosti námi dodaných výrobků namátkovou kontrolou testovaného rozměru u 21 náhodně vybraných výrobků. Dodávka bude přijata, pokud nebude výběrová směrodatná odchylka překračovat hodnotu 0,2 mm. Víme přitom, že naše stroje produkují výrobky, u nichž má sledovaný rozměr normální rozdělení tvaru iV(10mm; 0, 0737mm2). S využitím statistických tabulek určete pravděpodobnost, s níž bude dodávka přijata. Jak se změní odpověď, pokud odběratel kvůli nákladům na testy začne testovat pouze 4 výrobky?
(V případě chybějících údajů v tabulce hodnoty, které máte k dispozici, lineárně interpolujte).
2