Cvičení 13: Náhodný výběr z normálního rozdělení, intervalové odhady
Teorie:
Případ, kdy je X1}... ,Xn náhodný výběr z normálního rozdělení N(fi,a2):
• M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
• M ~ N(fi, cr2/n), a tedy U= (M - fi)/(a/y/ň) ~ N(0,1).
• K = (n-l)S2/a2 ~ x2(n- 1).
. E(^-^2~X2(n).
• T = (M — fj)/(S/y/ň) ~ í(n - 1).
Intervaly spolehlivosti (jeden, resp. 2 výběry):
// (známe o"2)	(M-^jUl_a/2,M+^jUl_a/2)
// (neznáme a2)	(M " ^i-a/2(n ~ 1),M + ^íi-a/2(n - 1))
a2 (neznáme fi)	/    (n-l)S2        (n-l)S2 \
í1! ~ A*2 (známe o"2, čt|)	Mi-M2±^ + ^.Ul_a/2
í1! ~ A*2 (neznámé o"2 = čt|)	Mx - M2 ± 5»^/i + i • íi_a/2(m + n - 2)
podíl rozptylů o\jo\	/         Sf/S^                 'S'i/'S'I | \í,i-a/2(m-l,'í-l)' Fa/2(m-l,n-l) ^
Testování hypotéz:
Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr.
Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Hq ... nulová hypotéza (např. 9 = c, kde c je domněnka o hodnotě parametru 9) Hi ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové)
Testováním Hq oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Hq zamítneme nebo nezamítneme (= připouštíme).
Chyba 1. druhu ... H0 platí a my ji zamítneme (závažnější) Chyba 2. druhu ... H0 neplatí a my ji nezamítneme
Pravděpodobnost chyby 1. druhu se nazývá hladina významností («, obvykle a = 0,05), pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí (3 a číslo 1 — (3 se nazývá síla testu. Hypotézy budeme testovat pomocí příslušnosti do intervalu spolehlivosti - na základě realizace náhodného výběru sestrojíme 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro neznámý parametr 9 a
1
zjistíme, zda c patří do tohoto intervalu. Pokud ano, hypotézu H0 nezamítáme (v opačném případě zamítáme) na hladině významnosti a.
Příklad 169. Ze základního souboru, z rozdělení N(fi,a2), kde a2 = 0,06 jsme pořídili náhodný výběr s realizacemi 1,3; 1,8; 1,4; 1,2; 0,9; 1,5; 1,7. Určete oboustranný 95% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu.
Výsledek. 1,22 < fj, < 1,58.
Příklad 170. Náhodná veličina X má normální rozdělení N(fi, a2), kde fi, a2 nejsou známy. V následující tabulce jsou uvedeny četnosti jednotlivých realizací této náhodné veličiny.
	8	11	12	14	15	16	17	18	20	21
četnost	1	2	3	4	7	5	4	3	2	1
Vypočtěte:
• výběrový průměr,
• výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku,
• 99% interval spolehlivosti pro střední hodnotu fi. Výsledek. 14,025 < \i < 16,663
Příklad 171. Nechť X1}..., Xn je náhodný výběr z rozdělení N(fi, 0,04). Určete nejmenší počet měření, který je třeba provést, aby šířka 95% intervalu spolehlivosti pro fi nepřesáhla 0,16.
Příklad 172. Byla provedena čtyři nazávislá měření obsahu manganu u dvou vzorků oceli a byly získány výsledky:
1. vzorek	0,31%	0,30%	0,29%	0,32%
2. vzorek	0,59%	0,57%	0,58%	0,57%
Stanovte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot fiľ — fi2 za předpokladu, že jde o realizace náhodného výběru z normálního rozdělení s neznámými, ale shodnými rozptyly.
Příklad 173. Z velkého souboru resistorů téhož typu bylo náhodně vybráno 16 kusů s výběrovým průměrem hodnot odporu 9,3 kil. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výběr pochází z normálního rozdělení se střední hodnotou fi = 10 kíTž, za předpokladu, že:
a) a2 = Akíl,
2
b) a2 není známo aS2 = 6,25 kíl. Výsledek, a) zamítáme, b) nezamítáme.
Příklad 174. Na dvou soustruzích se vyrábějí tytéž součástky, u nichž se měří vnitřní průměr (předpokládá se normální rozdělení). Byl pořízen náhodný výběr rozsahu 16 z produkce prvního soustruhu a rozsahu 25 z produkce druhého soustruhu. Příslušné výběrové průměry jsou 37,5 mm, resp. 36,8 mm a výběrové rozptyly 1,21 mm2, resp. 1,44 mm2. Testujte hypotézu o rovnosti střední hodnoty kontrolovaných rozměrů v produkci obou strojů oproti oboustranné alternativě při a = 0,1.
Příklad 175. Na šachový turnaj má být vybrán jeden zástupce ze dvou oddílových šachistů, a to ten, jehož výkon je stabilnější (má menší rozptyl). Procentuální úspěšnost z posledních turnajů je:
A	49,6	59,4	59,5	76,8	69,4	70,9	68,1	66,3
B	38,5	51,2	79,5	72,3	86,5			
Na hladině významnosti 0,05 testujte, zda je možno rozhodnout o tom, který z hráčů se má turnaje zúčastnit.
3