4   Cvičení 4: Homomorfismy a další vlastnosti grup
Teorie: Nyní se budeme zabývat zobrazeními mezi grupami. Budeme navíc požadovat, aby toto zobrazení zachovávalo danou operaci. Je proto důležité rozumět pojmům jako injektivní zobrazení, surjektivní zobrazení a umět obě vlastnosti dokazovat.
Definice 16. Nechť (G, *), (H,Q) jsou grupy. Řekneme, že zobrazení <p> : G —> H je homomorfismus, jestliže pro všechna a, b G G platí, že
tp(a * b) = íp(a) 0 <p(b).
Je-li navíc toto zobrazení injektivní, mluvíme o injektivním homomorfismu (neboli o vnoření). Je-li surjektivní, říkáme danému zobrazení surjektivní homomorfismus. Jedná-li se o bijektivní homomorfismus, potom mluvíme o izomorfismu grup, nebo též říkáme, že dané grupy jsou izomorfní.
Definice 17. Nechť (G, *), (H, 0) jsou grupy, <p> : G —>• H homomorfismus. Potom množinu Ker ip = {g G G \ <p(g) = en} nazýváme jádro homomorfismu >p>.
Jádro homomorfismu je podgrupa grupy G (ověřte si) a má důležitou vlastnost:
Věta 10. Nechi (G, *), (H,Q) jsou grupy, >p> : G —^ H homomorfismus. Potom >p> je injektivní (vnoření) právě tehdy, když Ker 99 = {ec}-
Definice 18. Nechť (G, *), (H, 0) jsou grupy, >p> : G —^ H homomorfismus. Potom množinu Im ip = {h G H I 3g G G : <p(g) = h} nazýváme obraz homomorfismu <p>.
Obraz homomorfismu je podgrupa grupy H (opět si prosím ověřte) a má také důležitou vlastnost:
Věta 11. Nechi (G, *), (H,Q) jsou grupy, <p> : G —^ H homomorfismus. Potom <p> je surjektivní právě tehdy, když \m.<p> = H.
Na závěr povídání o algebraických strukturách s jednou operací si uveďme ještě několik důležitých pojmů a vlastností.
Definice 19. Řekneme, že je grupa cyklická, jestliže je generovaná nějakým svým prvkem. Definice 20. Počet prvků konečné grupy budeme nazývat řád dané grupy.
18
Definice 21. Nechť G je grupa, a G G. Potom nejmenší přirozené číslo n takové, že an = e<3, nazýváme řád prvku a v grupě G. Pokud takové přirozené číslo neexistuje, říkáme, že daný prvek je řádu nekonečno.
Pro řád prvku a grupy platí řada zajímavých tvrzení. My si uveďme jen dvě: Věta 12. Rád libovolného prvku konečné grupy délí řád celé grupy.
Věta 13. Rád libovolné podgrupy dané konečné grupy délí řád celé grupy.
Příklad 54. Rozhodněte, zda předpis <p> zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě ip:
1. v : Z4 x Z3 -> Z12, v?((H4, [6]3)) = [a " &]i2
2. v? : Z4 x Z3 -> Zi2, v?(([a]4, [6]3)) = [6a + 46]i2
3. ^ : Z4 x Z3 ^ Zi2, <p(([á\4, [b]3)) = [0]i2
1. Není zobrazení
2. Je homomorfismus, který není ani injektivní ani surjektivní
3. Je homomorfismus, který není ani injektivní ani surjektivní
Příklad 55. Rozhodněte, zda předpis <p> zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě ip:
1. p : Q* Q*,
2. v? : Q*     Q*, ¥> (f) = £
3. : Q*     Q*, ¥>(?)= ^
1. Je izomorfismus
2. Je homomorfismus, který není surjektivní ani injektivní.
3. Není homomorfismus
19
Příklad 56. Rozhodněte, zda předpis p zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě p:
1. p : Z4 -> C*, p([a]4) = ^a
2. v? : Z5 -> C*, p([a]4) = ^a
3. p : Z4     C*, v?([a]4) = H)a
4. v? : Z -> C*, <^(a) = ia Výsledek.
1. Je homomorfismus, který není injektivní ani surjektivní.
2. Není zobrazení.
3. Je homomorfismus, který není injektivní ani surjektivní.
4. Je homomorfismus, který není ani injektivní ani surjektivní.
Příklad 57. Rozhodněte, zda předpis p zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě p:
Výsledek.
1. Je surjektivní homomorfismus, který není injektivní.
2. Není homomorfismus.
3. Není homomorfismus.
Příklad 58. Rozhodněte, zda předpis p zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě p:
1. p : gC2(R) ^R*, p(A) = \A\
1. p : Z -ř Z3, v?(a) = [a]3
2. v? : Z -> Z3, p(a) = [\a\]3
3. </? : Z —>- Z2, p{a) = [a]
2
20
4. V:Z^Z2l <p(a) = [\a\]2 Výsledek.
1. Je surjektivní homomorfismus, který není injektivní.
2. Není homomorfismus.
3. Je surjektivní homomorfismus, který není injektivní.
4. Je surjektivní homomorfismus, který není injektivní.
Příklad 59. Rozhodněte, zda předpis <p> zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě ip:
1. ip : Z3 -> A4, v?(H3) = (1, 2,4) o (1, 3, 2)a o (1,4, 2)
2. V9:Z3^A4, <p([a]3) = (1,2) o (1,3,2)«
1. Je homomorfismus.
2. Není homomorfismus.
Příklad 60. Rozhodněte, zda předpis <p> zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě ip:
1. ip : C ^ R, ip(a + bi) = a + b 4. ip : C*     IR*, y>(c) = 2|c|
2. 9? : C —^ IR, ip(a + bi) = a 5. ^ : C* -> IR*, y?(c) = |c|3
3. v? : C* -> IR*, y?(a + 6i) = a2 + b2 6. ^ : C* -> IR*, y?(c) = l/|c| Fys/edeA;.
1. Není homomorfismus. 4. Je surjektivní homomorfismus.
2. Je surjektivní homomorfismus. 5. Je surjektivní homomorfismus.
3. Je surjektivní homomorfismus. 6. Je surjektivní homomorfismus.
Příklad 61. Rozhodněte, zda předpis <p> zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě >p>:
21
1. </? : Z —>■ Z, y?(a) = 2a 3. </? : Z —>• Z, <p(a) = 3\a\
2. <p : Z ->■ Z, p(a) = a + 1 4. p : Z -> Z, p(a) = 1
1. Je injektivní homomorfismus.
2. Není homomorfismus.
3. Není homomorfismus.
4. Není homomorfismus.
Příklad 62. Rozhodněte, zda předpis ^ zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o homomorfismus a určete jádro a obraz. Rozhodněte o surjektivitě a injektivitě 99:
1. v? : Z x Z x Z -> Q*, (p((a, b, c)) = 2a3612c
2. v? : Z* x Z5 -> Z5, ip((a,b)) = ba
3. y« : Z2 x Z ->• Z, <p(([a]2,Ď)) = b Výsledek.
1. Je homomorfismus.
2. Není homomorfismus.
3. Je surjekivní homomorfismus.
Příklad 63. Popište všechny homomorfismy <p
1. y : Z -> Z 3. </? : Z ->• Z5
2. v? : Z5 ->■ Z 4. v? : Z5 Z5
Příklad 64. Popište všechny homomorfismy ip
1. y? : Zi5 ->■ Z6 3. if : Z2 x Z2 ->■ Z4
2. v? : Z6     Z15 4. ip : Z4 -> Z2 x Z2
Příklad 65. Určete dvě různá přirozená čísla m, n tak, aby byly grupy Z*t a Z* izomorfní.
22
Výsledek. 3,4
Příklad 66. Nechť G je komutativní grupa. Nechť p : G —>• G, p(g) = g2. Dokažte, že p je homomorfismus. Uveďte příklad grup G, kdy se jedná o izomorfismus a kdy se izomorfismus nejedná.
Příklad 67. Nechť G je grupa. Nechť p : G —> G, = p-1. Dokažte, že 99 je homomorfismus právě tehdy, když je G komutativní.
Příklad 68. Dokažte, že součin cyklických grup nemusí být cyklická grupa. Řešeni. Například Z2 x Z2
Příklad 69. Určete řády všech prvků v grupě Z8, Zi2, Zg , Zf2. vyberte generátory těchto grup.
Příklad 70. Spočítejte řád prvku
1. 60 v grupě Z64.
2. 7 v grupě Z*7.
Příklad 71. Nechť G je grupa. Označme Aut(G) množinu všech izomorfismů p : G —> G. Dokažte, že Aut (G) tvoří grupu. Určete, kolik prvků má Aut(Z^), Aut(Z8).
23
5   Cvičení 5: Okruhy a polynomy
Teorie: V tomto cvičení se podíváme na algebraické struktury se dvěma operacemi.
Definice 22. Nechť (R, ©) je komutativní grupa a (R, 0) pologrupa s neutrálním prvkem. Nechť pro libovolné a,b,c G R platí, že
Potom (R, ©, 0) nazýváme okruh. Je-li navíc operace 0 komutativní, potom dané struktuře říkáme komutativní okruh.
Například (IR, +, •), (Z6, +, •), (Z, +, •) a (Mat2(R), +, •) tvoří okruhy.
Definice 23. Nechť (R, ©, 0) je okruh, a, b G R. Potom prvkům a, b říkáme dělitelé nuly, pokud platí, že a, b ^ 0 a a 0 b = 0.
Definice 24. Netriviální komutativní okruh bez dělitelů nuly nazýváme obor integrity.
Například (IR, +, •), (Z7, +, •), (Z, +, •) tvoří obory integrity, oproti tomu (Mat2(R), +, •) a (Zfí, + , •) obory integrity nejsou.
Příklad 72. Obor integrity, kde ke každému nenulovému prvku existuje prvek inverzní, se nazývá těleso.
Například (IR, +, •), (Z7, +, •) tvoří těleso, oproti tomu (Zg, +, •), (Z, +, •) tělesa nejsou.
Definice 25. Libovolnou konečnou posloupnost prvků daného okruhu nazýváme polynom.
My jsme zvyklí psát polynom ve tvaru anxn + • • • + a\x + aQ. Protože můžeme polynomy sčítat a násobit, nabízí se otázka, co za strukturu tvoří množina všech polynomů s těmito operacemi. Platí následující věta.
1. Množina všech polynomů tvoří spolu se sčítáním a násobením okruh.
2. Okruh polynomů naá oborem integrity je obor integrity.
3. Okruh polynomů naá tělesem je obor integrity.
Definice 26. Polynom / G R[x] nazýváme ireducibilní nad R, jestliže je nekonstantní a nelze ho rozložit na součin dvou nekonstantních polynomů.
a 0 (6 © c) (b © c) 0 a
a®b®a®c b®a®c®a
Věta 14.
24