6   Cvičení 6: Polynomy s reálnými a komplexními koeficienty
Teorie: Zde pro nás bude teorie kraťoučká. Půjde o sérii tvrzení, která byla odvozena na přednášce. Než se do nich pustíme, uveďme jistou paralelu mezi polynomy a celými čísly. Také se zde můžeme bavit o dělitelnosti, stanovovat Euklidovým algoritmem největší společný dělitel a hledat koeficienty v Bezoutově rovnosti.
Věta 17. Má-li polynom f G M[x] komplexní kořen a + bi, potom má i kořen a — bi.
Věta 18. Každý polynom s reálnými koeficienty lichého stupně má reálný kořen.
Věta 19. Má-li polynom f s reálnými koeficienty vícenásobný kořen a, potom je a kořenem polynomu f'(x) a tedy i polynomu gcd(f, /').
Věta 20. Polynom s reálnými koeficienty je nadWL ireducibilní právě tehdy, když je lineární nebo kvadratický se záporným diskriminantem.
Věta 21. Polynom s komplexními koeficienty je nad C ireducibilní právě tehdy, když je lineární.
Příklad 94. Dokažte, že jsou dané polynomy f,g G M[x] nesoudělné a nalezněte příslušné koeficienty v Bezoutově rovnosti.
1. f(x) = x4 + 2x3 + 4^ + 2, g(x) =x2 + 2x + 2
2. f(x) = 2x3 + x + 1, g = x2 + 1
3. f (x) = x5 + 1, g = x3 — 1
Příklad 95. Určete největší společný dělitel polynomů f,g G M[x] a nalezněte příslušné koeficienty v Bezoutově rovnosti.
1. f[x) = x4 + Ax3 + 10x2 + 12a: + 9, g(x) = x3 + 3x2 + 5x + 3.
2. f(x) = x6 + 9x4 + 27x2 + 27, g(x) = x4 + 6x2 + 9.
3. x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + x + /, g = x3 - 2x2 - x + 2
29
Příklad 96. Nalezněte všechny kořeny polynomu / G R[x], víte-li, že má násobný kořen. Daný polynom rozložte na ireducibilní faktory nad Z, IR, C.
1. f(x) = x4 - 40x + 400
2. f(x) = x4 - Ax3 - 26x2 + 60x + 225
3. f(x) = x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 12x2 - 4
4. /(x) =     - 2x3 - x2 + 2x + 1
Příklad 97. Určete všechny kořeny polynomu / = x7 — 4x6+8x5 — 7x4+8x2 — 8x+4 G C[x], víte-li, že má dvojnásobný kořen 1 + Rozložte tento polynom na ireducibilní faktory nad C, R, Q.
Příklad 98. Určete všechny kořeny polynomu / = x6+8x5+24x4+24x3 — 27x2 — 80x—50 G C[x], víte-li, že má dvojnásobný kořen 2 + i. Rozložte tento polynom na ireducibilní faktory nad C, R, Q.
Příklad 99. Určete všechny kořeny polynomu f = x4 — 2x3 + x2 + 2x — 2 G C[x], víte-li, že má kořen 1 +    Rozložte tento polynom na ireducibilní faktory nad C, IR, Q.
Příklad 100. Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty nalezněte ten nejnižšího stupně, který má
1. dvojnásobný kořen 1 + i a jednoduchý kořen 2.
2. dvojnásobný kořen 1 a jednoduchý kořen 2 — 3i.
3. trojnásobný kořen i a jednoduchý kořen — 1 — i.
4. jednoduché kořeny i + 1, 2 — i, i — 3.
Rozložte tyto polynomy na ireducibilní faktory nad C, IR, Q.
Příklad 101. Zjistěte násobnost kořene —1 polynomu + 1 G C[x] v závislosti
na parametru a G C.
Příklad 102. Určete normované polynomy f,g G M[rr] čtvrtého stupně tak, aby f = 0 a aby g měl dva dvojnásobné kořeny, přičemž gcd(f, g) = x2 + x + 1.
30
Příklad 103. Rozložte polynom x4 — x2 — 2 na součin ireducibilních prvků v oborech C[x], R[x], Q[x], Z5[x], Z3[x].
Příklad 104. Určete všechny kořeny polynomů f(x) = x4 + 2a:3 + 2x2 + 2x + 1, g(x) = xs — 2x2 + x — 2, víte-li, že mají společný kořen. Rozložte tyto polynomy na ireducibilní faktory nad C, R, Q.
Příklad 105. Určete všechny kořeny polynomů f{x) = 2x4 — 5x3 — x2 + llrr + 5, g(x) = 2x4 — llx3 + 20x2 — 7x — 10, víte-li, že mají společný racionální kořen. Rozložte tyto polynomy na ireducibilní faktory nad C, M, Q.
Příklad 106. Určete všechny kořeny polynomů f(x) = x6 — Ax5+9x4 — \2xz + \2x2 — 8x+4, g{x) = x5 — 3x4 + 4a;3 — Ax + 4, víte-li, že mají společný násobný kořen. Rozložte tyto polynomy na ireducibilní faktory nad C, IR, Q.
Výsledek. f(x) = (x-(l+i))2(x-(l-i))2(x-i){x+i), g(x) = (x-(l+i))2(x-(l-i))2(x+l)
Příklad 107. Určete všechny kořeny polynomu
1. f(x) = 6x4 - 5a:3 - 38a;2 - 5a; + 6
2. f(x) = 5x4 - 26a-3 + 10a;2 - 26a; + 5
Příklad 108. Rozložte na ireducibilní faktory nad C, IR, Q polynom xb + 27.
Příklad 109. Polynom f(x) = x3 + aa;2 + bx — 15 má kořen 2 + i. Určete reálná čísla a, b a ostatní kořeny tohoto polynomu.
Příklad 110. Aniž byste počítali kořeny polynomu a;3 — 4a;2 + 6a; — 4, určete polynom, který bude mít dvojnásobné kořeny.
Příklad 111. Aniž byste počítali kořeny polynomu 2a;3 — 5a:2 — a: + 6, určete polynom, který bude mít kořeny, které budou převrácenými hodnotami kořenů zadaného polynomu.
31