Řešený příklad Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny X, Y s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti na intervalu [0,1]. Tedy o s í [o,i]. a totéž platí i pro fx. Můžeme ihned vidět, že Íl x > 1, x 0 < x < 1, 0 x < 0. Chceme spočítat distribuční funkci F z pro náhodnou proměnnou Z — X + Y. Na cvičení jsme díky nezávislosti X a Y užili vztah: /oo í-z—y r-oo / /(x,y)dxdy = / Fx(z-y)My)dy. (1) -oo ^ —oo J —oo zbyl nám tedy jedinný integrál. Aby byl nenulový, musí určitě platit y G [0,1], protože jinak by bylo Iy{v) — 0. Dále je třeba si všimnout, že f 1 (*-J/)>l, Fx(z-y) = \ z-y 0< (z-y) < 1, [O (z-y)<0. V závislosti na z jako na parametru se nám výpočet rozpadne na 4 části: (z < 0) : potom pro y G [0,1] platí (z — y) < 0 takže F z {z) — 0 (z > 2) : potom pro y G [0,1] platí (z - y) > 1 takže rz(z) = Jg1 Fx(z - y)ÍV(y)dy = /g 1 • Idy = 1. (0 < z < 1) : potom máme nerovnosti y > 0, y < 1, z — y > 0, takže y < z a y > 0. Celkem tedy Fz(z) — Jo Fx(z - y)fY(y)dy = /Oz0 - y)dy = (1 < z < 2) : Integrál se nyní rozpadne na dva: Fz(z) — Fx(z — y)fY(y)dy — JQZ 1(z — y)dy + J^_x Idy — (z-l) + (z-4). celkem tedy 1 z > 2, p M_ i (2z-l-4) K(z-y)<2, 4 0<(z)