Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy MB104 – 2. demonstrovaná cvičení Algebraické struktury Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28.2. 2012 Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení domácích úloh z minulého týdne 2 Návodné úlohy Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Rozhodněte o následujících množinách a operacích, jaké tvoří struktury (grupoid, pologrupa, zda existují levé (pravé) neutrální prvky, grupa): 1 podmnožiny množiny přirozených čísel spolu s operací sjednocení, 2 kladná reálná čísla s operací , kde x y := xy , 3 množina všech invertibilních matic 2 × 2 nad R spolu se sčítáním, 4 množina všech matic 2 × 2 nad R spolu s násobením matic, 5 množina všech matic 2 × 2 nad R spolu s odčítáním matic, 6 množina všech invertibilních matic 2 × 2 nad Z2 s násobením matic, 7 množina Z spolu s operací odčítání, 8 množina Z8 spolu s operací násobení (modulo 8). Svá tvrzení zdůvodněte (proč je něco např. pouze grupoid a není pologrupa . . . ). Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Určete grupu symetrií pravidelného čtyřstěnu (popište všechny symetrie). Kolik má prvků? Je tato grupa komutativní? Je izomorfní (tzn. až na pojmenování prvků stejná) nějaké známé grupě? Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Rozložte na součin transpozic následující permutaci: σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 6 2 7 1 3 9 4 5 Spočtěte σ2012. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení domácích úloh z minulého týdne 2 Návodné úlohy Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Určete počet všech trojprvkových grupoidů (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Určete počet všech trojprvkových grupoidů (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Určete počet všech trojprvkových grup (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy ln : (R+, ·) → (R, +), det : (M∗ n,n, ·) → (R∗, ·), Zobrazení f : Z5 → Z5, x → x3 Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Nalezněte všechny podgrupy grupy symetrií tetraedru. Které z nich jsou normální? Jak vypadá příslušná faktorgrupa? Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Eulerova funkce, Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Eulerova funkce, Eulerova věta, Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Eulerova funkce, Eulerova věta, Určete poslední dvě cify čísla 7777 .