Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Drsná matematika IV – 1. přednáška Grupy permutací a symetrie rovinných obrazců Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 2. 2012 Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Obsah přednášky 1 Literatura 2 Grupy a grupoidy 3 Grupy permutací 4 Symetrie „logotypů“ 5 Symetrie rovinných dláždění Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Plán přednášky 1 Literatura 2 Grupy a grupoidy 3 Grupy permutací 4 Symetrie „logotypů“ 5 Symetrie rovinných dláždění Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Kde je dobré číst? vlastní poznámky, texty současného přednášejícího, GOOGLE, atd. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Kde je dobré číst? vlastní poznámky, texty současného přednášejícího, GOOGLE, atd. Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. bude doplněno kapitoly nové učebnice ... Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Podmínky pro absolvování předmětu Podmínky byly již sděleny mailem prostřednictvím ISu Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Plán přednášky 1 Literatura 2 Grupy a grupoidy 3 Grupy permutací 4 Symetrie „logotypů“ 5 Symetrie rovinných dláždění Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Chceme abstraktně pracovat s objekty a se situacemi, ve kterých je možné rovnice a · x = b vždy jednoznačně řešit (tak jako u lineárních rovnic jsou objekty a a b jsou dány, zatímco x hledáme). Jde o tzv. teorii grup. Všimněme si, že zatím nic nevíme o povaze objektů, ani co znamená ta „tečka“ v rovnici. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Chceme abstraktně pracovat s objekty a se situacemi, ve kterých je možné rovnice a · x = b vždy jednoznačně řešit (tak jako u lineárních rovnic jsou objekty a a b jsou dány, zatímco x hledáme). Jde o tzv. teorii grup. Všimněme si, že zatím nic nevíme o povaze objektů, ani co znamená ta „tečka“ v rovnici. Nejprve projdeme příklady, ve kterých se s takovými objekty potkáváme, poté si zavedeme malý slovníček pojmů. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Example 1 Přirozená čísla N = {0, 1, 2, . . . }, spolu s kteroukoliv z operací sčítání a násobení jsou asociativní a komutativní pologrupa s jednotkou, neexistují v ní ale inverzní prvky. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Example 1 Přirozená čísla N = {0, 1, 2, . . . }, spolu s kteroukoliv z operací sčítání a násobení jsou asociativní a komutativní pologrupa s jednotkou, neexistují v ní ale inverzní prvky. 2 Celá čísla Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } jsou grupoid vůči kterékoliv z operací sčítání, odčítání, násobení. Jsou dokonce komutativní grupou vzhledem ke sčítání, jsou však jen komutativní pologrupou vůči násobení (neexistují inverze k prvkům a = ±1). Operace odčítání není ani asociativní (např. (5 − 3) − 2 = 0 = 5 − (3 − 2) = 4). Všimněte si také, že pro odečítání je nula pravý neutrální prvek, ne však levý. Dokonce v tomto případě levý neutrální prvek neexistuje. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Example 1 Přirozená čísla N = {0, 1, 2, . . . }, spolu s kteroukoliv z operací sčítání a násobení jsou asociativní a komutativní pologrupa s jednotkou, neexistují v ní ale inverzní prvky. 2 Celá čísla Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } jsou grupoid vůči kterékoliv z operací sčítání, odčítání, násobení. Jsou dokonce komutativní grupou vzhledem ke sčítání, jsou však jen komutativní pologrupou vůči násobení (neexistují inverze k prvkům a = ±1). Operace odčítání není ani asociativní (např. (5 − 3) − 2 = 0 = 5 − (3 − 2) = 4). Všimněte si také, že pro odečítání je nula pravý neutrální prvek, ne však levý. Dokonce v tomto případě levý neutrální prvek neexistuje. 3 Racionální čísla Q jsou komutativní grupou vzhledem ke sčítání a nenulová racionální čísla jsou grupou vůči násobení. Celá čísla spolu se sčítáním jsou jejich podgrupou. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Example (pokračování) 1 Pro k ∈ N, množina všech k-tých odmocnin z jedničky, tj. množina {z ∈ C; zk = 1} je konečná grupa vůči násobení komplexních čísel. Např. pro k = 2 dostaneme grupu {−1, 1} se dvěma prvky, které jsou oba samy sobě inverzí, zatímco pro k = 4 dostáváme grupu G = {1, i, −1, −i}. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Example (pokračování) 1 Pro k ∈ N, množina všech k-tých odmocnin z jedničky, tj. množina {z ∈ C; zk = 1} je konečná grupa vůči násobení komplexních čísel. Např. pro k = 2 dostaneme grupu {−1, 1} se dvěma prvky, které jsou oba samy sobě inverzí, zatímco pro k = 4 dostáváme grupu G = {1, i, −1, −i}. 2 Množina Matn všech čtvercových matic je (nekomutativní) pologrupa vzhledem k násobení matic a komutativní grupa vzhledem ke sčítání matic. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Example (pokračování) 1 Pro k ∈ N, množina všech k-tých odmocnin z jedničky, tj. množina {z ∈ C; zk = 1} je konečná grupa vůči násobení komplexních čísel. Např. pro k = 2 dostaneme grupu {−1, 1} se dvěma prvky, které jsou oba samy sobě inverzí, zatímco pro k = 4 dostáváme grupu G = {1, i, −1, −i}. 2 Množina Matn všech čtvercových matic je (nekomutativní) pologrupa vzhledem k násobení matic a komutativní grupa vzhledem ke sčítání matic. 3 Množina všech lineárních zobrazení Hom(V , V ) na vektorovém prostoru je pologrupa vzhledem ke skládání zobrazení a komutativní grupa vzhledem ke sčítání zobrazení. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Example (pokračování) 1 Pro k ∈ N, množina všech k-tých odmocnin z jedničky, tj. množina {z ∈ C; zk = 1} je konečná grupa vůči násobení komplexních čísel. Např. pro k = 2 dostaneme grupu {−1, 1} se dvěma prvky, které jsou oba samy sobě inverzí, zatímco pro k = 4 dostáváme grupu G = {1, i, −1, −i}. 2 Množina Matn všech čtvercových matic je (nekomutativní) pologrupa vzhledem k násobení matic a komutativní grupa vzhledem ke sčítání matic. 3 Množina všech lineárních zobrazení Hom(V , V ) na vektorovém prostoru je pologrupa vzhledem ke skládání zobrazení a komutativní grupa vzhledem ke sčítání zobrazení. 4 V obou předchozích příkladech, podmnožina invertibilních objektů uvažované pologrupy tvoří grupu. V případě matic jde o tzv. grupu invertibilních matic, ve druhém o grupu lineárních transformací vektorového prostoru (tj. invertibilních lineárních zobrazení). Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Definition Pro libovolnou množinu A: binární operace na A je zobrazení A × A → A, které budeme zpravidla značit (a, b) → a · b, množina s binární operací je grupoid binární operace je asociativní, jestliže pro všechny prvky v A platí a · (b · c) = (a · b) · c binární operace je komutativní, jestliže pro všechny prvky v A platí a · b = b · a levá jednotka v A je takový prvek e ∈ A, že pro všechny prvky v A platí e · a = a; obdobně pro pravou jednotku musí platit pro všechny prvky a · e = a jednotka binární operace je prvek e, který je pravou i levou jednotkou zároveň pologrupa (A, ·) je grupoid s binární operací, která je asociativní. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Definition (pokračování) prvek a−1 je levou inverzí k prvku a v pologrupě (A, ·) s jednotkou e, jestliže platí a−1 · a = e; obdobně je pravou inverzí a−1 takový prvek, pro který je a · a−1 = e prvek a−1 je inverzní k a v pologrupě s jednotkou, jestliže je levou i pravou inverzí zároveň grupa (G, ·) je pologrupa s jednotkou, ve které má každý prvek inverzi komutativní grupa, resp. komutativní pologrupa, je taková, kde je operace · komutativní. Je-li (A, ·) grupa (případně pologrupa), pak její podmnožinu B ⊂ A, která je uzavřená vůči zúžení operace · a zároveň je spolu s touto operací grupou, nazýváme podgrupa v (A, ·). Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Plán přednášky 1 Literatura 2 Grupy a grupoidy 3 Grupy permutací 4 Symetrie „logotypů“ 5 Symetrie rovinných dláždění Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Zpravidla grupy a pologrupy potkáváme jako množiny zobrazení na pevně dané množině M, které jsou uzavřeny vůči skládání zobrazení. Často si ale tuto skutečnost přímo neuvědomujeme. Na každé konečné množině M, s m = |M| ∈ N prvky máme k dispozici mm možných definic zobrazení (každý z m prvků můžeme zobrazit na kterýkoliv v M) a všechna taková zobrazení umíme skládat. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Zpravidla grupy a pologrupy potkáváme jako množiny zobrazení na pevně dané množině M, které jsou uzavřeny vůči skládání zobrazení. Často si ale tuto skutečnost přímo neuvědomujeme. Na každé konečné množině M, s m = |M| ∈ N prvky máme k dispozici mm možných definic zobrazení (každý z m prvků můžeme zobrazit na kterýkoliv v M) a všechna taková zobrazení umíme skládat. Pokud chceme, aby existovala k zobrazení α : M → M jeho inverze α−1, musí být α bijekcí. Složením dvou bijekcí vznikne opět bijekce a proto podmnožina Σm všech bijekcí na množině M o m prvcích je grupa. Říkáme jí grupa permutací na m prvcích. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Název grupa permutací přitom uvádí jinou souvislost, kdy místo bijekcí na konečné množině vnímáme permutace jako přerovnání rozlišitelných prvků. Potkávali jsme se s ní např. při studiu determinantů. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Název grupa permutací přitom uvádí jinou souvislost, kdy místo bijekcí na konečné množině vnímáme permutace jako přerovnání rozlišitelných prvků. Potkávali jsme se s ní např. při studiu determinantů. V grupě permutací Σ3 na číslech {1, 2, 3} si třeba označíme jednotlivá pořadí a = (1, 2, 3), b = (2, 3, 1), c = (3, 1, 2), d = (1, 3, 2), e = (3, 2, 1), f = (2, 1, 3). Skládání našich permutací je pak zadáno tabulkou · a b c d e f a a b c d e f b b c a f d e c c a b e f d d d e f a b c e e f d c a b f f d e b c a Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Všimněme si podstatného rozdílu mezi permutacemi a, b a c a dalšími třemi. Ty první tři tvoří tzv. cyklus generovaný prvkem b nebo prvkem c: b2 = c, b3 = a, c2 = b, c3 = a a samy o sobě jsou tyto tři prvky komutativní podgrupou. V ní a je jednotka, a b s c jsou vzájemně inverzní. Je tedy tato podgrupa stejná jako je grupa Z3 zbytkových tříd celých čísel modulo 3, resp. jako grupa třetích odmocnin z jedničky z jednoho z předchozích příkladů. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Všimněme si podstatného rozdílu mezi permutacemi a, b a c a dalšími třemi. Ty první tři tvoří tzv. cyklus generovaný prvkem b nebo prvkem c: b2 = c, b3 = a, c2 = b, c3 = a a samy o sobě jsou tyto tři prvky komutativní podgrupou. V ní a je jednotka, a b s c jsou vzájemně inverzní. Je tedy tato podgrupa stejná jako je grupa Z3 zbytkových tříd celých čísel modulo 3, resp. jako grupa třetích odmocnin z jedničky z jednoho z předchozích příkladů. Další tři prvky jsou samy sobě inverzí a každý z nich je tedy společně s jednotkou a podgrupou stejnou jako je Z2. Říkáme, že b a c jsou prvky řádu 3, zatímco prvky d, e a f jsou řádu 2. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Obdobně se chovají všechny grupy permutací Σm. Každá permutace σ rozkládá množinu M na disjunktní sjednocení maximálních invariantních podmnožin Mx , které dostaneme tak, že postupně vybíráme dosud nezpracované prvky x ∈ M a do třídy rozkladu Mx přidáváme všechny akce iterací σk(x), k = 1, 2, . . . , dokud není σk(x) = x. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Obdobně se chovají všechny grupy permutací Σm. Každá permutace σ rozkládá množinu M na disjunktní sjednocení maximálních invariantních podmnožin Mx , které dostaneme tak, že postupně vybíráme dosud nezpracované prvky x ∈ M a do třídy rozkladu Mx přidáváme všechny akce iterací σk(x), k = 1, 2, . . . , dokud není σk(x) = x. Každou permutaci tak dostáváme jako složení jednodušších permutací, tzv. cyklů, které se chovají jako identická permutace vně Mx a tak jako σ na Mx . Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Obdobně se chovají všechny grupy permutací Σm. Každá permutace σ rozkládá množinu M na disjunktní sjednocení maximálních invariantních podmnožin Mx , které dostaneme tak, že postupně vybíráme dosud nezpracované prvky x ∈ M a do třídy rozkladu Mx přidáváme všechny akce iterací σk(x), k = 1, 2, . . . , dokud není σk(x) = x. Každou permutaci tak dostáváme jako složení jednodušších permutací, tzv. cyklů, které se chovají jako identická permutace vně Mx a tak jako σ na Mx . Pokud přitom očíslujeme prvky v Mx jako pořadí (1, 2, . . . , |Mx |) tak aby i odpovídalo σi (x), pak je naše permutace prostým posunutím o jednu pozici v cyklu (tj. poslední prvek je zobrazen zpátky na první). Odtud název cyklus. Zjevně přitom tyto cykly komutují, takže je jedno, v jakém pořadí z nich permutaci σ složíme. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Nejjednodušší cykly jsou jednoprvkové pevné body permutace σ. Dvouprvkové (x, σ(x)), kde σ(σ(x)) = x se nazývají transpozice. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Nejjednodušší cykly jsou jednoprvkové pevné body permutace σ. Dvouprvkové (x, σ(x)), kde σ(σ(x)) = x se nazývají transpozice. Každý cyklus zjevně můžeme poskládat z permutací sousedních prvků (necháme „probublat“ první prvek nakonec) ⇒ každou permutaci napsat jako složení transpozic sousedních prvků. Skutečnost, jestli potřebujeme sudý nebo lichý počet permutací je na našich volbách nezávislá. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Nejjednodušší cykly jsou jednoprvkové pevné body permutace σ. Dvouprvkové (x, σ(x)), kde σ(σ(x)) = x se nazývají transpozice. Každý cyklus zjevně můžeme poskládat z permutací sousedních prvků (necháme „probublat“ první prvek nakonec) ⇒ každou permutaci napsat jako složení transpozic sousedních prvků. Skutečnost, jestli potřebujeme sudý nebo lichý počet permutací je na našich volbách nezávislá. Máme proto definováno dobře zobrazení sgn : Σm → Z2 = {±1}, tzv. paritu permutace. Dokázali jsme si znovu tvrzení, která jsme již využívali při studiu determinantů: Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Theorem Každá permutace konečné množiny je složením cyklů. Cyklus délky lze vyjádřit jako složení − 1 transpozic. Parita cyklu délky je (−1) −1. Parita složení permutací je součinem parit jednotlivých z nich, tzn. že zobrazení sgn převádí složení permutací σ ◦ τ na součin sgn σ · sgn τ v komutativní grupě Z2. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Plán přednášky 1 Literatura 2 Grupy a grupoidy 3 Grupy permutací 4 Symetrie „logotypů“ 5 Symetrie rovinných dláždění Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Každé zobrazení roviny do sebe, které zachovává vzdálenosti bodů je affinní, tj. je složením lineárního a vhodné translace (hezké cvičení na diferenciální počet – ale teď zjevně offtopic ;-). Lineární část takového zobrazení přitom musí navíc být ortogonální. Všechna taková zobrazení tedy tvoří grupu všech ortogonálních transformací (nebo také euklidovských transformací) v rovině (viz 4. přednáška 1. semestr). Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Každé zobrazení roviny do sebe, které zachovává vzdálenosti bodů je affinní, tj. je složením lineárního a vhodné translace (hezké cvičení na diferenciální počet – ale teď zjevně offtopic ;-). Lineární část takového zobrazení přitom musí navíc být ortogonální. Všechna taková zobrazení tedy tvoří grupu všech ortogonálních transformací (nebo také euklidovských transformací) v rovině (viz 4. přednáška 1. semestr). Všechna taková jsou složením translací Ta o vektor a rotací Rϕ o jakýkoliv úhel ϕ kolem počátku zrcadlení Z vůči jakékoliv přímce procházející počátkem. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Uvažme ohraničený rovinný obrazec, pro začátek úsečku a rovnostranný trojúhelník. Ptáme se, jak moc jsou symetrické? 3A B p Zp 1 2 Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Uvažme ohraničený rovinný obrazec, pro začátek úsečku a rovnostranný trojúhelník. Ptáme se, jak moc jsou symetrické? 3A B p Zp 1 2 Tzn. vůči kterým trasformacím (zachovávajícím velikost) jsou invariantní? Všechny symetrie pevně zvoleného útvaru budou vždy tvořit grupu (většinou pouze s jediným prvkem, identickým zobrazením). Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění symetrie úsečky U úsečky je situace obzvlášť jednoduchá – na první pohled je zřejmé, že jedinými jejími netriviálními symetriemi jsou rotace o π, zrcadlení vůči ose této úsečky a zrcadlení vůči úsečce samotné a všechny tyto symetrie jsou samy sobě inverzí. Celá grupa symetrií úsečky má tedy čtyři prvky. Její tabulka násobení vypadá takto: · R0 Rπ ZH ZV R0 R0 Rπ ZH ZV Rπ Rπ R0 ZV ZH ZH ZH ZV R0 Rπ ZV ZV ZH Rπ R0 a je tedy celá tato grupa komutativní. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění symetrie rovnostranného trojúhelníku Symetrií nacházíme více: můžeme rotovat o π/3 nebo můžeme zrcadlit vůči osám stran. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění symetrie rovnostranného trojúhelníku Symetrií nacházíme více: můžeme rotovat o π/3 nebo můžeme zrcadlit vůči osám stran. Abychom dostali grupu celou, musíme přidat všechna složení takovýchto transformací. Víme, že složení dvou zrcadlení je vždy otočením (4. přednáška 1. semestru). Složení takových zrcadlení v opačném pořadí dá otočení o stejný úhel, ale s opačnou orientací. V našem případě tedy zrcadlení kolem dvou různých os vygenerují postupnou opakovanou aplikací všechny symetrie, který bude dohromady šest. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Jestliže si umístíme trojúhelník v souřadnicích jako na obrázku, bude našich šest transformací zadáno maticemi a = 1 0 0 1 , b = −1 2 √ 3 2 − √ 3 2 −1 2 , c = −1 2 − √ 3 2√ 3 2 −1 2 d = −1 0 0 1 , e = 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 −1 2 , f = 1 2 √ 3 2√ 3 2 −1 2 . Sestavením tabulky pro násobení, tak jak jsme ji udělali pro grupu permutací Σ3 obdržíme právě stejný výsledek. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Dihedrální grupy Obdobně umíme nacházet grupy symetrií s k různými rotacemi a k zrcadleními. Stačí si k tomu vzít pravidelný k-úhelník. Takové grupy symetrií se často označují jako grupy Dk a říká se jim dihedrální grupy řádu k. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Dihedrální grupy Obdobně umíme nacházet grupy symetrií s k různými rotacemi a k zrcadleními. Stačí si k tomu vzít pravidelný k-úhelník. Takové grupy symetrií se často označují jako grupy Dk a říká se jim dihedrální grupy řádu k. Tyto grupy jsou nekomutativní pro všechny k ≥ 3, zatímco D2 je komutativní. Název patrně je odvozen od skutečnosti, že D2 je grupa symetrií molekuly vodíku. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění cyklické grupy Stejně tak lze snadno najít obrazce, které mají pouze rotační symetrie a jde tedy o komutativní grupy, které se v chemii značí jako Ck. Říkáme jim cyklické grupy řádu k. K tomu postačí např. uvažovat pravidelný mnohoúhelník, u kterého nesymetricky ale pořád stejně pozměníme chování hran, viz. čerchované rozšíření trojúhelníku na předchozím obrázku. Všimněme si, že grupu C2 lze realizovat dvěma způsoby – buď jedinou netriviální rotací o π nebo jediným zrcadlením. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Klasifikace symetrií Theorem Nechť je M ohraničená množina v rovině R2. Pak grupa jejich symetrií je buď triviální nebo jedna z grup Ck, Dk, s k ≥ 1. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Plán přednášky 1 Literatura 2 Grupy a grupoidy 3 Grupy permutací 4 Symetrie „logotypů“ 5 Symetrie rovinných dláždění Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Složitější chování lze vypozorovat u rovinných obrazců v pásech nebo v celé rovině (něco jako možnosti symetrií pro různé dlažby). Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Složitější chování lze vypozorovat u rovinných obrazců v pásech nebo v celé rovině (něco jako možnosti symetrií pro různé dlažby). Uvažme množinu M, která je celá obsažena v pásu uzavřeném mezi dvěma rovnoběžkami. Pro symetrie takové množiny nepřicházejí v úvahu žádné netriviální rotace, kromě Rπ, a jediná možná zrcadlení jsou buď podle osy pásu nebo nějaké na pás kolmé přímky. K dispozici jsou ještě translace podle vektoru rovnoběžného s osou pásu. Všimněme si, že každá netriviální translace svými iteracemi zapřičiní, že celá grupa symetrií M bude již nutně nekonečná a dvě zrcadlení podle různých rovnoběžných přímek budou translací. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Docela jednoduchý je popis všech diskrétních grup symetrií pro rovinné pásy. Jsou to takové, kdy obraz libovolného bodu při působení všemi prvky grupy je diskrétní podmnožinou v rovině. Každá takové grupa je generována některými z následujících symetrií: translace T, posunutá reflexe G, vertikální reflexe V , horizontální reflexe H a rotace R o π. Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Docela jednoduchý je popis všech diskrétních grup symetrií pro rovinné pásy. Jsou to takové, kdy obraz libovolného bodu při působení všemi prvky grupy je diskrétní podmnožinou v rovině. Každá takové grupa je generována některými z následujících symetrií: translace T, posunutá reflexe G, vertikální reflexe V , horizontální reflexe H a rotace R o π. Theorem Těchto grup je sedm typů. Jsou generovány 1 jedinou translací T 2 jedinou posunutou translací G 3 jednou translací T a jedním vertikálním zrcadlením V 4 jednou translací T a jednou rotací R 5 jednou posunutou translací G a jednou rotací R 6 jednou translací T a horizontálním zrcadlením H 7 jednou translací T, horizontálním zrcadlením H a jedním vertikálním zrcadlením V Literatura Grupy a grupoidy Grupy permutací Symetrie „logotypů“ Symetrie rovinných dláždění Složitější je to se symetriemi obrazců, které vyplní celou rovinu. Všech takových grup symetrií v rovině je pouze sedmnáct. Říká se jim dvourozměrné krystalografické grupy.