Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí PA054-' Formální modely v systémové biologii David Šafránek 25.4.2012 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky, INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Obsah Diskrétní modely regulačních interakcí Modelováni regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Model regulační sítě Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Model regulační sítě r5 Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Model regulační sítě r5 Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Model regulační sítě • uvažujeme modely tvaru M = (S, R, reanet, regnet, map, rates), kde regnet 7^ 0 • regnet CSxRx {inh, act} • každou regulaci lze vyjádřit reakčnísítí • důvod pro zavádění regulací je abstrakce => snížení dimenzionality => zjednodušení modelu => modelování "neznámých" procesů • regulace lze kvantifikovat parametry • omezující podmínky specifikující aktivní konfiguraci regulátoru • např. prahová koncentrace regulátoru • příkladem je regulace proteosyntézy (transkripční regulace) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Distribuce časových škál v buňce Experimentálně zjištěný parametr E.Coli Vazba molekuly signálu na transkripční faktor vedoucí ke změně aktivity faktoru Vazby aktivního faktoru na operon DNA Transkripce + translace jednoho genu Životnost mRNA 50% změna koncentrace stabilního proteinu ^ lmsec ~ lsec ~ 5 min 2 — b mi n ~ lh Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Transkripce v prokaryotické buňce Sigma protein recognizes promoter Core RNA polymerase DNA complementary strand Watson ■ DNA coding strand Crick JBIII to I3' 15' i\TTAATCATCGAACTAGfŤÄŤÄffŤKGTACG(J -35 box -10 box mRNA start Modelovaní regulačních sítí Diskrétní modely regulačních interakcí Basal factors Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Jak modelovat dynamiku transkripčni regulace? • chceme modelovat změny koncentrace proteinů se zaměřením na jejich syntézu a rozpad v buňce • časová škála životnosti proteinů • např. v E. coli ~ desítky minut - hodiny • vs. doba jednoho buněčného cyklu (u E. coli min. 30 minut) • doba odezvy syntézy jedné molekuly proteinu ~ jednotky minut => dynamika proteinů zajímavá v časové škále desítek minut Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Transkripční kinetika dle mass action • uvažujme dynamiku (syntéza,rozpad) proteinu Y syntéza: -> Y rozpad: Y • obě reakce zahrnují mnoho dílčích jevů rl tvorba mRNA, činnost transkripčních faktorů, tvorba tRNA, činnost RNA polymerázy, . .. r2 rozpad proteinu v buňce, snížení koncentrace vlivem růstu, . Modelování regulačních sítí Transkripční kinetika dle mass action uvažujme dynamiku (syntéza,rozpad) proteinu Y syntéza: (3 ... produkční koeficient [M ■ s -1] rozpad: 7 ... degradační koeficient [s_1] Modelování regulačních sítí Transkripční kinetika dle mass action uvažujme dynamiku (syntéza,rozpad) proteinu Y syntéza: (3 ... produkční koeficient [M ■ s -1] rozpad: 7 ... degradační koeficient [s_1] • dle mass action kinetics dostáváme: Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Transkripční kinetika dle mass action • dle mass action kinetics máme: f3' ... rychlost transkripce (inflow mRNA) [#mRNA ■ sec-1] p ... množství molekul Y vyrobených translací z jedné mRNA • 7 ... rychlost rozpadu proteinu + dilatace buňky Modelování regulačních sítí Negativní regulace (represe) transkripce • transkripční faktor X degraduje transkripci proteinu Y • řízeno snížením řídícího signálu S (uvolnění X z vazby X : S) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Negativní regulace (represe) transkripce • transkripční faktor X degraduje transkripci proteinu Y • řízeno snížením řídícího signálu S (uvolnění X z vazby X : S) © s s Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Negativní regulace (represe) transkripce • transkripční faktor X degraduje transkripci proteinu Y • řízeno snížením řídícího signálu S (uvolnění X z vazby X : S) signal Sx Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Negativní regulace (represe) transkripce • transkripční faktor X degraduje transkripci proteinu Y • řízeno snížením řídícího signálu S (uvolnění X z vazby X : S) signál Sx Modelování regulačních sítí Vazba represoru na promotor • reakční sít: Ľ. gen Y X + P^rXP DNA totální koncentrace promotoru (Pj) konzervována mezi volné promotory (volné molekuly substrátu P) a vázané promotory (komplexy [XP]) PT = [XP] + P Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Dynamika vazby represoru na promotor • dynamika komplexu XP (mass action): ^1 = konXP - kofF[XP] at • kin. konstanta mass action (zde kon) je obecně limitována fyzikálními možnostmi kolize proteinových molekul: kon ~ 108 - 109M^s-1 • uvažujeme-li kolize molekuly proteinu X s DNA, je limit vyšší (fyzikální tendence "1-dimenzionálního pohybu" po DNA): kon ~ 1010 - lO^M^s-1 • kaff [s_1] determinováno vlastnostmi chemické vazby X : P Modelování regulačních sítí Dynamika vazby represoru na promotor Kvazistabilní aproximace • reakční toky v síti X + XP se ustálí: d[XP] 0 o konXP - kofF[XP] = o dt koff XP 44> kon [XP] Kd = ijf- [M] nazýváme disociačním prahem čím větší je Kd tím slabší je vazba X : P Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Dynamika vazby represoru na promotor připomeňme Pj = [XP] + P v buňce je mnoho kopií DNA, tedy mnoho promotorů pro procento všech volných (aktivních) promotorů platí: P 1 většina vazeb represor-promotor splňuje kaff > ls_1 • časová škála [XP] ~ jednotky sekund (vs. transkripce ~ [m/n]) • průměr přes mnoho událostí syntézy a rozpadu [XP] v čase => m pravděpodobnost jevu, že P je v daném okamžiku volný Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aktivita promotoru • v nepřítomnosti represoru (P volný) se váže RNA-polymeráza • tato situace určuje maximální transkripčníkoeficient (3max Pmax ~ 1(T4 - 10° [#mRNA ■ s'1] • fimax je dána mnoha biofyzikálními aspekty • např. pozice vazebného místa [DNA]:[RNApolymeráza] • aktivita promotoru P regulovaného represorem X: -/ví fimax ap(x> = 7—x • tzv. Hillova funkce Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aktivita promotoru v závislosti na regulujícím represoru Hill Function _ 1 4 Kd &- 8 10 [X] Modelování regulačních sítí Exprese genu v závislosti na regulujícím represoru r1 I geny r2 reakční sít: ri : -> Y; X r2 : Y model kinetiky: dY — = oTp{X)-1Y Modelování regulačních sítí Exprese genu v závislosti na regulujícím represoru K CZ) r1 gen y r2 reakční sít: ri : -> y;X"(/<) r2 : Y model kinetiky: dY Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aktivní vs. pasivní forma represoru • represor X je účinný pouze ve volné (aktivní) formě (X*) • vazba se signální molekulou S • neaktivní forma represoru je zcela v komplexu [XS] Signal S I S:X CD Modelování regulačních sítí Diskrétní modely regulačních interakcí Aktivní vs. pasivní forma represoru Signal S 1 S:X CZ3 HL gen y reakční sít: M r3 (Yh— r4 3—- r2 ^2 xs Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí r3, r4 : X + S [XS] n : -> V; X_(Kd) r2 : V rates(ri), rates(r2) << rates(r3), rates(r4) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aktivace represoru • reakční sít: X + Szr XS • totální koncentrace represoru v buňce (Xj) konzervována mezi X (volné výskyty) a [XS] (vázané výskyty) XT = [XS] + X • dynamika komplexu [XS] (mass action): ^! = konXS - kofF[XS] dt Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aktivace represoru • ve stabilním stavu platí: k0ff [XS] = XS • Ks = jft- [M] je tzv. disociační konstanta • koncentrace aktivního represoru: X = XT - [XS] Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Represní vstupní funkce promotoru předpokládáme promotor P a represor X aktivovaný signálem 5 • dána aktivitou P regulovanou aktivním represorem X: fP(x) = MX) Jmax i ■ x • závislost na vstupním signálu (konst. koncentrace Xj): 3max f-(S) -_Ěu._ • závislost na vstupním signálu a koncentraci aktivního represoru: Modelování regulačních sítí Model regulace represoru Signal S 1 S:X CZ3 JU. reakční sít: SV/ r3 (Yh— r4 3—- r2 ^2 model dynamiky: f-(s,x)-7y Modelování regulačních sítí Diskrétní modely regulačních interakcí Model regulace represoru Signal S 1 S:X CD HL gen y r3 -— r4 r2 xs reakční sít: ri :^ V;X-(/Cd) r2 : Y -+ zjednodušený model dynamiky (pro S konstantní): dY dt r(x)-7y Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Pozitivní regulace (aktivace) transkripce transkripční faktor X aktivuje transkripci proteinu Y řízeno zvýšením řídícího signálu S (X vázáno v X : S) --r~ gen Y Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Pozitivní regulace (aktivace) transkripce transkripční faktor X aktivuje transkripci proteinu Y řízeno zvýšením řídícího signálu S (X vázáno v X : S) signál Sx gen Y Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Pozitivní regulace (aktivace) transkripce • transkripční faktor X aktivuje transkripci proteinu Y řízeno zvýšením řídícího signálu S (X vázáno v X : S) signal Sx RNAP Ľ. CD © probíhá transkripce gen Y Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aktivační vstupní funkce promotoru • předpokládáme promotor P a aktivátor X aktivovaný signálem S • aktivita přímo úměrná koncentraci komplexu X : P • aktivita promotoru P regulovaného aktivátorem X: a+fX) = • dána aktivitou P regulovanou aktivním aktivátorem X: PmaxX f+{X*) = a+(X*) Kd + X* Modelování regulačních sítí Aktivita promotoru v závislosti na regulujícím aktivátoru Hill Function --- 1st Derivative ----2nd Derivative Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aktivace aktivační vstupní funkce aktivátor X je účinný pouze ve vázané (aktivní) formě (X*) vazba se signálním komplexem S aktivní forma represoru je zcela v komplexu [XS] Signal S S:...:S:X £13 Modelování regulačních sítí Aktivace aktivační vstupní funkce • aktivátor X je účinný pouze ve vázané (aktivní) formě (X*) vazba se signálním komplexem S • aktivní forma represoru je zcela v komplexu [XS] PmaxX f+(S) = X* = [XS] Kd+X* XTS Kx + S Aproximace pro konstantní S: f+(y\ ~ PmaxX fp (x) ~ Kj-Tx- Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu regulace Signál S 1 i-1 Crp:S A Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu regulace -v r • reakční sít: S + Crp [Crp : S] Signál S 1 Crp:S crp Crp; F/s, Crp Crp Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu regulace Signal S J -v r ÍPTl ÍP21 • reakční sít: S + Crp <-> [Crp : S] • model: d[Crp] Crp:S crp dt —> Crp; F/s, Crp Crp —» /3™xf-(F/s) + pP2axf-(Fis)f+{Crp : S) - 7[Crp] Modelování regulačních sítí Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu regulace Signal S I ípti rp2i Crp:S crp • reakční sít: —> Crp; Fis, Crp Crp • zjednodušený model (S konstantní): d[Crp] dt f3^xf-{Fis)+f3^f-{Fis)f+{Crp)-1[Crp\ Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Vícerozměrné vstupní funkce (AND,OR) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Vícerozměrné vstupní funkce Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Obsah Diskrétní modely regulačních interakcí Modelováni regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aproximace vstupních funkcí • vzhledem k S-charakteru vstupní funkce lze uplatnit její aproximaci pomocí schodové funkce Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aproximace vstupních funkcí • vzhledem k S-charakteru vstupní funkce lze uplatnit její aproximaci pomocí schodové funkce f+(X)~ps+(X,K) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aproximace vstupních funkcí • vzhledem k S-charakteru vstupní funkce lze uplatnit její aproximaci pomocí schodové funkce f+(X)~ps+(X,K) f-(X)~Ps-(X,K) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aproximace vstupních funkcí • vzhledem k S-charakteru vstupní funkce lze uplatnit její aproximaci pomocí schodové funkce s+(X,K) f+(X)~ps+(X,K) f-(X)~ps-(X,K) 1, if X > K, 0, if X < K, Diskrétní aproximace Aproximace vstupních funkcí • vzhledem k S-charakteru vstupní funkce lze uplatnit její aproximaci pomocí schodové funkce f+(X)~ps+(X,K) f-(X)~Ps-(X,K) S+(X'"> = {Í;:ÍÍ<£ s-(X,/0 = l-s+(X,/0 Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Aproximace vstupních funkcí • vzhledem k S-charakteru vstupní funkce lze uplatnit její aproximaci pomocí schodové funkce f+(X)~ps+(X,K) f-(X)~ps-(X,K) S+(X'"> = {Í;:ÍÍ<£ s-(X,/0 = l-s+(X,/0 • aproximace odpovídá zavedení tzv. "kinetické logiky" Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Diskretizace vstupní funkce (aktivátor) Hill Function ■ - 1st Derivative ----2nd Derivative Step Function Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Diskrétni aproximace in silico modelů - přehled differential equations continuous logic kinetic logic boolean networks liscrete continuous Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Obsah Diskrétní modely regulačních interakcí Modelováni regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu - autoregulace ■o( protein A ) gene a Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu - autoregulace ->( protein A ) gene a 0 12 3 4 • identifikace diskrétních úrovní exprese Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu - autoregulace o{ protein A ) gene a • spontánní (tzv. bázová) transkripce: A —> 4 Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu - autoregulace h>( protein A ) • místo projevu regulace (A G {3,4} => regulace aktivní) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Příklad modelu - autoregulace h>( protein A ) gene a cílový bod regulace (A G {3, 4} =>- A —> 0) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Stavový prostor - autoregulace • přechodový systém (S, T, So) • S množina stavů, S = {0,1, 2, 3, 4} • So C S množina počátečních stavů • ÍCSxS přechodová relace: zdrojový stav aktivní regulace cílový stav 0 0; [A 4] 1 1 0; [>4 4] 2 2 0; [>4 4] 3 3 i4 i4; [i4 -> 0] 2 4 i4 ->- A; [A -> 0] 3 Diskrétní modely regulačních interakcí Stavový prostor - autoregulace přechodový systém pro negativní autoregulaci (S, T, Sq = S) : 4 0 f f 3 1 Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Přiklad modelu složené regulace gene a gene b Diskrétní modely regulačních interakcí Diskrétní charakteristika dynamiky gene a gene b i i i 0 1 0 12 • identifikace diskrétních úrovní exprese Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Diskrétní charakteristika dynamiky • spontánní (tzv. bázová) transkripce: A —> 1, B —> 2 Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Charakteristika regulace - autoregulace • místo projevu regulace B —> B (ß = 2 => regulace aktivní) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Charakteristika regulace - autoregulace -o( protein A ) gene a gene b 0 1 © 1 2 cílový bod regulace B B (ß = 2 =>- ß 0) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Charakteristika regulace - vstupní funkce • místo projevu regulace B —> A (ß £ {1,2} =>• reg. aktivní) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Charakteristika regulace - vstupní funkce • místo projevu regulace A —> A (A = 1 => reg. aktivní) Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Charakteristika regulace - vstupní funkce • AND-kompozice regulací A —> A A B —> A: i4 = lAße {1, 2} =>• regulace aktivní Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Charakteristika regulace - vstupní funkce A = lAB€{l,2}=>A^>0 Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Stavový prostor - synchronní sémantika • přechodový systém (S, T, So) . S = {0,1} x {0,1, 2} • So C S, uvažujeme So — S • T C S x S přechodová relace (zobrazení): zdrojový stav aktivní regulace cílový stav [0,0] 0; [A 1, B 2] [1,1] [0,1] B A; [A 0, B 2] [0,2] [0,2] 6 6 A 6 A [A 0, B 0] [0,1] [1,0] ,4 A [4 0, B 2] [0,1] [1,1] -4 -4 A e A [-4 0, e 2] [0,2] [1,2] -4 ^ A B ^ A 6 6; [4 0, B 0] [0,1] Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Stavový prostor - synchronní sémantika přechodový systém (S, T, So = S) V v Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Stavový prostor - asynchronní sémantika • přechodový systém (S, T, So) . S = {0,1} x {0,1, 2} • So C S, uvažujeme So — S • T C S x S přechodová relace: zdroj, stav aktivní regulace cílové stavy [0,0] 0; [A^Í,B^ 2] [1,0], [0,1] [0, i] B A; [A 0, B 2] [0,2] [0,2] 6 6 A 6 A [A 0, B 0] [0,1] [1.0] A A; [A 0, B 2] [0,0], [1,1] [1.1] A^- AAB^- A; [A 0, B 2] [0,1], [1,2] [1,2] -4 -4 A 6 ^ A B B; [A 0, B 0] [0,2], [1,1] Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Stavový prostor - asynchronní sémantika přechodový systém (S, T, So = S) rv- i_i i_i Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Vlastnosti diskrétních sémantik • synchronní sémantika • efekt aktivních regulací uplatněn pro všechny proteiny ve stejný okamžik • nerealistická approximace, dává však deterministický přechodový systém • asynchronní sémantika • efekt aktivních regulací uplatněn pro každý protein individuálně (interleaving) • nutno uvažovat všechny možné souběhy • věrnější aproximace, dává však nedeterministický přechodový systém • možnost definovat priority Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Nástroj GINsim nástroj Gene Interaction Network simulation (GINsim) http://gin.univ-mrs.fr/GINsim/accueil.html • umožňuje asynchronní i synchronní simulaci transkripční regulace • inherentně diskrétní model (vícehodnotová logika) • místo přesné hodnoty koncentrace rozlišujeme několik diskrétních úrovní s každou regulací spjat aktivační interval diskrétních úrovní specifikující kdy je regulující protein aktivní • u každého proteinu je specifikován individuální/kompozitiní projev vstupních regulací • možnost neregulované (bázové) transkripce • grafové algoritmy pro transkripční sít i přechodový systém Modelování regulačních sítí Diskrétní aproximace Diskrétní modely regulačních interakcí Literatura U de Jong. Modeling and simulation of genetic regulatory systems: A literature review. Journal of Computational Biology (2002), 9(1):69-105 Q Bower, J.M. & Bolouri, H. Computational Modeling of Genetic and Biochemical Networks. Bradford Book, 2001. 13 A.G. Gonzalez, A. Naldi, L. Sanchez, D.Thieffry, C. Chaouiya. GINsim: a software suite for the qualitative modelling, simulation and analysis of regulatory networks. Biosystems (2006), 84(2):91-100 13 Kauffman, S. A. (1969). Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets. Journal of Theoretical Biology, 22:437-467