Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
PA054-' Formální modely v systémové biologii
David Šafránek
14.3.2012
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky, NVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Obsah
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Obsah
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Kvalitativní strukturní vlastnosti
Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo).
ORD M je ordinární, pokud
Vx, y G P U T. f(x, y) ^ 0     f(x, y) = 1 HOM M je homogenní, pokud
VP e P. t, f{P, t) = f{P, ť)
CSV M je konzervativní, pokud
Vře T. £pe.řf(p, t) = J2PetJ(t,P) SCF M je staticky bezkonfliktní, pokud
Ví, ťe T. t jí ť     »t n »ť = 0
SC M je silně souvislá pokud graf reprezentující M je silně souvislý
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Kvalitativní strukturní vlastnosti
• -iO/?D =>• buď není živá nebo není 1-safe
• CSV => strukturně ohraničená
• SCF sítě generují deterministický přechodový
• -iSC =>• buď není živá nebo není ohraničená
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Strukturní podtřídy
Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo).
SM Af je P-systém (State Machine), pokud Vt G T.\»t\ = \ f\ < 1
MG M je T-systém (Marked Graph), pokud
Vp G P. |»p| = |p»| < 1 EFC M je Extended Free-Choice systém, pokud
Vp, g G P. p» n g» = 0 V p» = g»
.ES1 A/" je Extended Simple systém, pokud
Vp, g G P. p» n g» = 0 V p» C q» V g» C p
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Kinázová kaskáda v signální dráze MAPK/ERK
ORD, HOM, ^CSV, -nSCF, SC, ^ES
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Maticová reprezentace Petriho sítí
Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo).
• Maticí incidence C sítě M rozumíme matici C : P x T —> Z splňující C(p, t) = f (t, p) - f {p, t).
• Vektorem míst x rozumíme vektor x : P —> Z (libovolný sloupec matice C).
• Vektorem přechodů y rozumíme vektor y : 7" —> Z (libovolný řádek matice C).
Pozn.: Uvažujeme sloupcové vektory.
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Maticová reprezentace Petriho sítí — Příklad
/-ll  1 \
V o   i o/
Index míst (substancí): s\...E, S2...S, S3...ES, S4.
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Maticová reprezentace Petriho sítí — Příklad
(-1 1
-1 0
1 -1
\0 1
1 \
1
-1 o/
Index míst (substancí): s\...E, S2...S, S3...ES, S4...P Matice C plně reprezentuje výše zobrazenou Petriho sít.
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Maticová reprezentace Petriho sítí
• Incidenční matice nemusí plně reprezentovat Petriho sít
• Postačující podmínkou pro plnou reprezentaci je vlastnost:
Vx, y G P U T. f (x, y) ^ 0 => f {y, x) = 0
• Sít splňující tuto vlastnost se nazýva čistá (pure)
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
P-invarianty a T-invarianty
Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo), necht C je matice incidence M.
• Vektor míst x se nazýva P-invariant, pokud je řešením soustavy:
xT -C = 0T
• Vektor přechodů y se nazýva T-invariant, pokud je řešením soustavy:
C-y = 0
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Význam P-invariantů
Uvažujme Petriho sít Af = (P, T, f, mo). Necht x = (xi, ...jX^)7" je P-invariant, k = \P\. Předpokládáme standardní indexaci míst (substancí) a přechodů (reakcí). Pak platí:
k
VtG T. ^x/-C(/, t) = 0 /=i
Ekvivalentně lze přepsat:
vt g r. £ *(p) = £
pe»t pet»
Všechna místa P-invariantu jsou vždy ohraničená.
Každý přechod se chová vůči P-invariantu konzervativně:
Celkové množství substancí příslušných P-invariantu je konzervováno.
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Význam T-invariantů
Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mn). Necht y = (yi,y^)7" je T-invariant, k = \ T\. Předpokládáme standardní indexaci míst (substancí) a přechodů (reakcí). Pak platí:
k
VPG P. ^C(p,i)-y = 0
7=1
Ekvivalentně lze přepsat:
VpGP. ^y(r)=^y(r) te»p tep*
Přechody T-invariantu mají nulový efekt na místa (nemění označkovaní). T-invarianty charakterizují stabilitu systému:
T-invariant je konfigurace reakčního toku implikující stabilitu substancí.
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
P-invarianty a T-invarianty — Příklad
X! = (1,1,0) = (A, B), a;9 = (0,0,l) = (E)
Wi = (l,0,2) = (rl,2.r3), Va = (0,1,1) = (r2, í3)
ä/3 = (1,1,3) = j/i +yi
r3
xi,X2 ... minimální P-invarianty; yi,y2 ■■■ minimální T-invarianty minimální invarianty tvoří bazi prostoru invariantů
y2 je triviální J-invariant (reversibilní reakce vždy tvoří T-invariant)
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Význam T-invariantů
Uvažujme Petriho sít M — (P, T, f, itiq). Necht y — {yi, ...,y/<)T je T-invariant v M. T-invariant y se nazýva realizovatelný y označkovaní m, pokud existuje částečně uspořádaná sekvence prechodu a — a\a2--.an obsahující každý přechod t E y právě yt-krát a a je proveditelná v m.
rl: 2 A 2 B r2/3:    A   = B
	rl	i2	r.'i
A	2	-1	1
B	2	1	-1
E	0	0	0
2 rl
r3
Xl = (1,1,0) =	(A, B),
x2= (0,0,1) =	(E)
Kí = (1,0, 2) =	(rl, 2 - r3),
m = (o, i, i) =	(r2, r3)
to = (1,1, 3) =	
• sekvence ^3 je proveditelná v     — (/4[2], B[0], £[1]), T-invariant y2 je tedy realizovatelný v
• sekvence r^r^r^ je proveditelná v m — (/4[3], B[3], £[1]), T-invariant y3 je tedy realizovatelný v m
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Vlastnosti indukované invarianty
• invarianty umožňují statickou analýzu z níž lze vyvozovat informace o dynamice
• analýza invariantů je nezávislá na označkovaní
• pokrytí sítě invarianty:
CPI pokrytí P-invarianty (každé místo součástí P-invariantu)
CPI =>• strukturní ohraničenost CTI pokrytí T-invarianty (každý přechod součástí T-invariantu)
->C77 A ohr. => existuje mrtvý přechod (neživost) SCTI (silné) pokrytí pouze netriviálními T-invarianty
-^SCTI => možnost redukovat sít
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
P-invarianty a T-invarianty — Příklad
indexace míst: S1...E, S2...S, S3...ES, S4...
• P-invarianty:
• (1,0,1,0): m(E) + m(ES) = 1
• (0,1,1,1): m(S) + m(ES) + m(P) = 1
• T-invarianty:
• (1,0,1)
• CPI, -.CTI
=> sít je strukturně ohraničená, není živá
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
P-invarianty a T-invarianty — Cvičení
určete strukturní vlastnosti (ORD, HOM, CSV, SCF, SC)
2. zařaďte do strukturní třídy (SM, MG, EFC, ES)
3. najděte minimální P-invarianty a T-invarianty 4- vyvoďte závěry pro ohraničenost a živost
Hint: (1-4) nástroje Charlie/SNOOPY http://www-dssz.informatik.tu-cottbus.de/software/charli (2-4) nástroj PIPE2 http://pipe2.sourceforge.net/
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Konstrukce iniciálního označkovaní
Problém
Mějme Petriho sít M = (P, T, f, mo) v níž mo neznáme. Jak zkonstruovat mo, které vhodně reprezentuje netriviální chování
Řešení
Hledáme mo splňující následující podmínky:
• každý P-invariant obsahuje alespoň jeden token
• každý netriviální T-invariant je realizovatelný
• mo obsahuje minimální počet tokenů
• pro každý P-invariant je označeno nejméně aktivní místo (nebo místo reprezentující monomer)
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Konstrukce iniciálního označkovaní - Příklad
indexace: s\...E, S2...S, S3...ES, S4...P, S5...EP
• P-invarianty: (1,0,1,0,1), (0,1,1,1,1)
• T-invarianty: (1,1,0,0,0,0), (0,0,1,1,0,0), (0,0,0,0,1,
• konstrukce m^.
• token pro {£, ES, EP}, token pro {S, ES, P, EP}
• do rriQ vybereme £[1] a S[l] (monomery)
• netriviální 7~-invariant (1,1,1,1,1) je proveditelný v m®: sekvence r\r$r*>r§Wi
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Zkonstruujte iniciální marking mo pro výše uvedenou sít. Marking by měl vhodně reprezentovat vstup-výstupní chování signální dráhy.
Hint: Uvažujte T-invarianty pokrývající cesty z Raf do ERK-PP.
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Statická analýza závislá na označkovaní
Zbylé slidy v této přednášce nebudou zkoušeny v závěrečném testu.
Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo).
Sifon
Neprázdná množina míst D C P se nazývá sifon (deadlock) pokud platí:
• D C D«
Past
Množina míst Q C P se nazývá past (trap) pokud platí:
síti a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Pasti a sifony - příklad
sifony: {P0, Pi} (min.), {P0,Pi,P2} pasti: {P3,P4} (min.), {P2,P3,P4}
P-invarianty: {P0, Pu P3, P4}
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Statická analýza závislá na označkovaní
• Každé vstupní místo p G P, »p = 0 je (triviálním) sifonem: D = {p}, »D = 0 C D:
• Každé výstupní místo q G P, q» = 0 je (triviální) pastí: Q = {q}, Q* = 0 C •(?.
• Pro sít bez hraničních uzlů platí »P = P» = 7".
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Statická analýza závislá na označkovaní
• Sifon (resp. past) X je minimální, pokud žádná vlastní neprázdná podmnožina X není sifonem (resp. pastí).
• Past Q je maximální, pokud neexistuje past, jejíž je Q vlastní podmnožinou.
Pozorování
• Každý sifon zahrnuje právě jednu past, která je v něm maximální (vzhledem k inkluzi, může být i 0!).
• Množina míst příslušných P-invariantu je vždy pastí i sifonem (obrácení obecně neplatí).
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Statická analýza závislá na označkovaní
Vlastnost sifon-past
Petriho sít M = (P, N, f, mo) splňuje vlastnost sifon-past (deadlock-trap property, DTP), pokud pro každý minimální sifon Q platí, že (neprázdná) past, která je v Q maximálni, obsahuje místo označkované mo-
Pozorování
Sít obsahující alespoň jedno vstupní místo nemá vlastnost sifon-past.
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Statická analýza závislá na označkovaní
Necht M = (P, N, f, m0) je Petriho sít. Pak platí:
M neobsahuje sifon => M je živá [Commonerova věta]
2. M má vlastnost ORD a sifon-past => M je slabě živá
3. M má vlastnost ORD, ES a sifon-past => M je živá 4- M má vlastnost ORD, EFC a sifon-past 44> M je živá
(1) Jancar P. A concise proof of Commoner's theorem. Petri Nets Newsletter No. 49, October 1995, p.43 (2-4) J. Desel and J. Esparza. Free Choice Petri Nets. Cambridge University Press, New York, NY, USA, 1995.
Statická analýza Petriho sítí a její aplikace
Analýza Petriho sítí
Statická analýza závislá na označkovaní
Sít je ORD a sifon-past vzhledem k danému mo, je tedy slabě živá.
Silnou živost nelze statickou analýzou rozhodnout (sít leží mimo třídu ES).