Statická analýza Petriho sítí a její aplikace PA054-' Formální modely v systémové biologii David Šafránek 14.3.2012 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky, NVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Obsah Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Obsah Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Kvalitativní strukturní vlastnosti Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo). ORD M je ordinární, pokud Vx, y G P U T. f(x, y) ^ 0 f(x, y) = 1 HOM M je homogenní, pokud VP e P. t, f{P, t) = f{P, ť) CSV M je konzervativní, pokud Vře T. £pe.řf(p, t) = J2PetJ(t,P) SCF M je staticky bezkonfliktní, pokud Ví, ťe T. t jí ť »t n »ť = 0 SC M je silně souvislá pokud graf reprezentující M je silně souvislý Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Kvalitativní strukturní vlastnosti • -iO/?D =>• buď není živá nebo není 1-safe • CSV => strukturně ohraničená • SCF sítě generují deterministický přechodový • -iSC =>• buď není živá nebo není ohraničená Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Strukturní podtřídy Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo). SM Af je P-systém (State Machine), pokud Vt G T.\»t\ = \ f\ < 1 MG M je T-systém (Marked Graph), pokud Vp G P. |»p| = |p»| < 1 EFC M je Extended Free-Choice systém, pokud Vp, g G P. p» n g» = 0 V p» = g» .ES1 A/" je Extended Simple systém, pokud Vp, g G P. p» n g» = 0 V p» C q» V g» C p Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Kinázová kaskáda v signální dráze MAPK/ERK ORD, HOM, ^CSV, -nSCF, SC, ^ES Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Maticová reprezentace Petriho sítí Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo). • Maticí incidence C sítě M rozumíme matici C : P x T —> Z splňující C(p, t) = f (t, p) - f {p, t). • Vektorem míst x rozumíme vektor x : P —> Z (libovolný sloupec matice C). • Vektorem přechodů y rozumíme vektor y : 7" —> Z (libovolný řádek matice C). Pozn.: Uvažujeme sloupcové vektory. Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Maticová reprezentace Petriho sítí — Příklad /-ll 1 \ V o i o/ Index míst (substancí): s\...E, S2...S, S3...ES, S4. Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Maticová reprezentace Petriho sítí — Příklad (-1 1 -1 0 1 -1 \0 1 1 \ 1 -1 o/ Index míst (substancí): s\...E, S2...S, S3...ES, S4...P Matice C plně reprezentuje výše zobrazenou Petriho sít. Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Maticová reprezentace Petriho sítí • Incidenční matice nemusí plně reprezentovat Petriho sít • Postačující podmínkou pro plnou reprezentaci je vlastnost: Vx, y G P U T. f (x, y) ^ 0 => f {y, x) = 0 • Sít splňující tuto vlastnost se nazýva čistá (pure) Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí P-invarianty a T-invarianty Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo), necht C je matice incidence M. • Vektor míst x se nazýva P-invariant, pokud je řešením soustavy: xT -C = 0T • Vektor přechodů y se nazýva T-invariant, pokud je řešením soustavy: C-y = 0 Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Význam P-invariantů Uvažujme Petriho sít Af = (P, T, f, mo). Necht x = (xi, ...jX^)7" je P-invariant, k = \P\. Předpokládáme standardní indexaci míst (substancí) a přechodů (reakcí). Pak platí: k VtG T. ^x/-C(/, t) = 0 /=i Ekvivalentně lze přepsat: vt g r. £ *(p) = £ pe»t pet» Všechna místa P-invariantu jsou vždy ohraničená. Každý přechod se chová vůči P-invariantu konzervativně: Celkové množství substancí příslušných P-invariantu je konzervováno. Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Význam T-invariantů Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mn). Necht y = (yi,y^)7" je T-invariant, k = \ T\. Předpokládáme standardní indexaci míst (substancí) a přechodů (reakcí). Pak platí: k VPG P. ^C(p,i)-y = 0 7=1 Ekvivalentně lze přepsat: VpGP. ^y(r)=^y(r) te»p tep* Přechody T-invariantu mají nulový efekt na místa (nemění označkovaní). T-invarianty charakterizují stabilitu systému: T-invariant je konfigurace reakčního toku implikující stabilitu substancí. Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí P-invarianty a T-invarianty — Příklad X! = (1,1,0) = (A, B), a;9 = (0,0,l) = (E) Wi = (l,0,2) = (rl,2.r3), Va = (0,1,1) = (r2, í3) ä/3 = (1,1,3) = j/i +yi r3 xi,X2 ... minimální P-invarianty; yi,y2 ■■■ minimální T-invarianty minimální invarianty tvoří bazi prostoru invariantů y2 je triviální J-invariant (reversibilní reakce vždy tvoří T-invariant) Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Význam T-invariantů Uvažujme Petriho sít M — (P, T, f, itiq). Necht y — {yi, ...,y/<)T je T-invariant v M. T-invariant y se nazýva realizovatelný y označkovaní m, pokud existuje částečně uspořádaná sekvence prechodu a — a\a2--.an obsahující každý přechod t E y právě yt-krát a a je proveditelná v m. rl: 2 A 2 B r2/3: A = B rl i2 r.'i A 2 -1 1 B 2 1 -1 E 0 0 0 2 rl r3 Xl = (1,1,0) = (A, B), x2= (0,0,1) = (E) Kí = (1,0, 2) = (rl, 2 - r3), m = (o, i, i) = (r2, r3) to = (1,1, 3) = • sekvence ^3 je proveditelná v — (/4[2], B[0], £[1]), T-invariant y2 je tedy realizovatelný v • sekvence r^r^r^ je proveditelná v m — (/4[3], B[3], £[1]), T-invariant y3 je tedy realizovatelný v m Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Vlastnosti indukované invarianty • invarianty umožňují statickou analýzu z níž lze vyvozovat informace o dynamice • analýza invariantů je nezávislá na označkovaní • pokrytí sítě invarianty: CPI pokrytí P-invarianty (každé místo součástí P-invariantu) CPI =>• strukturní ohraničenost CTI pokrytí T-invarianty (každý přechod součástí T-invariantu) ->C77 A ohr. => existuje mrtvý přechod (neživost) SCTI (silné) pokrytí pouze netriviálními T-invarianty -^SCTI => možnost redukovat sít Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí P-invarianty a T-invarianty — Příklad indexace míst: S1...E, S2...S, S3...ES, S4... • P-invarianty: • (1,0,1,0): m(E) + m(ES) = 1 • (0,1,1,1): m(S) + m(ES) + m(P) = 1 • T-invarianty: • (1,0,1) • CPI, -.CTI => sít je strukturně ohraničená, není živá Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí P-invarianty a T-invarianty — Cvičení určete strukturní vlastnosti (ORD, HOM, CSV, SCF, SC) 2. zařaďte do strukturní třídy (SM, MG, EFC, ES) 3. najděte minimální P-invarianty a T-invarianty 4- vyvoďte závěry pro ohraničenost a živost Hint: (1-4) nástroje Charlie/SNOOPY http://www-dssz.informatik.tu-cottbus.de/software/charli (2-4) nástroj PIPE2 http://pipe2.sourceforge.net/ Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Konstrukce iniciálního označkovaní Problém Mějme Petriho sít M = (P, T, f, mo) v níž mo neznáme. Jak zkonstruovat mo, které vhodně reprezentuje netriviální chování Řešení Hledáme mo splňující následující podmínky: • každý P-invariant obsahuje alespoň jeden token • každý netriviální T-invariant je realizovatelný • mo obsahuje minimální počet tokenů • pro každý P-invariant je označeno nejméně aktivní místo (nebo místo reprezentující monomer) Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Konstrukce iniciálního označkovaní - Příklad indexace: s\...E, S2...S, S3...ES, S4...P, S5...EP • P-invarianty: (1,0,1,0,1), (0,1,1,1,1) • T-invarianty: (1,1,0,0,0,0), (0,0,1,1,0,0), (0,0,0,0,1, • konstrukce m^. • token pro {£, ES, EP}, token pro {S, ES, P, EP} • do rriQ vybereme £[1] a S[l] (monomery) • netriviální 7~-invariant (1,1,1,1,1) je proveditelný v m®: sekvence r\r$r*>r§Wi Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Zkonstruujte iniciální marking mo pro výše uvedenou sít. Marking by měl vhodně reprezentovat vstup-výstupní chování signální dráhy. Hint: Uvažujte T-invarianty pokrývající cesty z Raf do ERK-PP. Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní Zbylé slidy v této přednášce nebudou zkoušeny v závěrečném testu. Uvažujme Petriho sít M = (P, T, f, mo). Sifon Neprázdná množina míst D C P se nazývá sifon (deadlock) pokud platí: • D C D« Past Množina míst Q C P se nazývá past (trap) pokud platí: síti a její aplikace Analýza Petriho sítí Pasti a sifony - příklad sifony: {P0, Pi} (min.), {P0,Pi,P2} pasti: {P3,P4} (min.), {P2,P3,P4} P-invarianty: {P0, Pu P3, P4} Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní • Každé vstupní místo p G P, »p = 0 je (triviálním) sifonem: D = {p}, »D = 0 C D: • Každé výstupní místo q G P, q» = 0 je (triviální) pastí: Q = {q}, Q* = 0 C •(?. • Pro sít bez hraničních uzlů platí »P = P» = 7". Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní • Sifon (resp. past) X je minimální, pokud žádná vlastní neprázdná podmnožina X není sifonem (resp. pastí). • Past Q je maximální, pokud neexistuje past, jejíž je Q vlastní podmnožinou. Pozorování • Každý sifon zahrnuje právě jednu past, která je v něm maximální (vzhledem k inkluzi, může být i 0!). • Množina míst příslušných P-invariantu je vždy pastí i sifonem (obrácení obecně neplatí). Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní Vlastnost sifon-past Petriho sít M = (P, N, f, mo) splňuje vlastnost sifon-past (deadlock-trap property, DTP), pokud pro každý minimální sifon Q platí, že (neprázdná) past, která je v Q maximálni, obsahuje místo označkované mo- Pozorování Sít obsahující alespoň jedno vstupní místo nemá vlastnost sifon-past. Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní Necht M = (P, N, f, m0) je Petriho sít. Pak platí: M neobsahuje sifon => M je živá [Commonerova věta] 2. M má vlastnost ORD a sifon-past => M je slabě živá 3. M má vlastnost ORD, ES a sifon-past => M je živá 4- M má vlastnost ORD, EFC a sifon-past 44> M je živá (1) Jancar P. A concise proof of Commoner's theorem. Petri Nets Newsletter No. 49, October 1995, p.43 (2-4) J. Desel and J. Esparza. Free Choice Petri Nets. Cambridge University Press, New York, NY, USA, 1995. Statická analýza Petriho sítí a její aplikace Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní Sít je ORD a sifon-past vzhledem k danému mo, je tedy slabě živá. Silnou živost nelze statickou analýzou rozhodnout (sít leží mimo třídu ES).