IV120 Spojité a hybridní systémy Základní pojmy teorie řízení David Šafránek Jiří Barnat Jana Fabriková Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. NVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Problém řízení Mějme dynamický systém S definovaný stavovou rovnicí: x = f(x, u) Problém řízení Pro zvolenou dvojici iniciální stavu x(ŕo) a koncového stavu x(ri_) určit řídící veličinu u(t) umožňující dosažení x(ŕi) z x(ŕo) v konečném čase. » Problém lze rozdělit na existenční a konstruktivní část. • Existuje-li řešení problému řízení, nemusí být nutně jednoznačně určené. Proto je často hledáno optimální řízení, které vyhovuje zadané specifikaci. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 2/25 Pojem dosažitelnosti ve stacionárním systému Problém řízeení vyžaduje dosažitelnost koncového bodu v konečném čase. Pojem dosažitelnosti je tedy zásadní. Dosažitelnost Stav x je dosažitelný, pokud existuje řízení u(t), které za konečný čas převede stav x(řo) = 0 do stavu x. Systém je dosažitelný pokud každý jeho stav je dosažitelný. Z2 D IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 3/25 Pojem řiditelnosti ve stacionárním systému Při řízení systému může být důležitou vlastností dosažitelnost počátečního bodu v konečném čase. Řiditelnost Stav x je řiditelný, pokud existuje řízení u(t), které za konečný čas převede stav x do stavu 0. Jsou-li všechny stavy systému řiditelné, pak hovoříme o řiditelném systému. Ř Q X ■ť i str. 4/25 IV120 Základní pojmy teorie řízení Riditelnost a dosažitelnost Pojmy řiditelnosti a dosažitelnosti mohou splývat - potom je každý dosažitelný stav řiditelný a naopak. Existují systémy, kde množina dosažitelných stavů není totožná s množinou řiditelných stavů. IV120 Základní pojmy teorie řízení Riditelnost a dosažitelnost Pojmy řiditelnosti a dosažitelnosti mohou splývat - potom je každý dosažitelný stav řiditelný a naopak. Existují systémy, kde množina dosažitelných stavů není totožná s množinou řiditelných stavů. Nutno vázat oba pojmy na čas, tj. zkoumat dosažitelnost a riditelnost události (ř,x(ř)). IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 5/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Uvažujme lineární systém definovaný stavovou rovnicí: x = Ax + Bu Řešení stavové rovnice: x(ŕ) = e*řx(0) + eAt ľ e-ArBu{T)dT Jo Kritérium dosažitelnosti Předpokládejme x(0) = 0. Stav x je dosažitelný, pokud existuje časový okamžik t a řízení u(r), 0 < r < t splňující x = x(ř) = eAt J0ř e-ATBu{r)dT. Kritérium řiditelnosti Předpokládejme x(ř) = 0. Stav x je řiditelný, pokud existuje okamžik t a řízení u(r), 0 < r < t splňující x = x(0) = - J0ř e-ATBu(r)dT. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 6/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech • jaký je vztah mezi řiditelnými a dosažitelnými stavy lineárního spojitého systému? • existují stavy které jsou pouze řiditelné a nikoliv dosažitelné? » existují stavy pouze dosažitelné a nikoliv řiditelné? IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 7/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech • jaký je vztah mezi řiditelnými a dosažitelnými stavy lineárního spojitého systému? • existují stavy které jsou pouze řiditelné a nikoliv dosažitelné? » existují stavy pouze dosažitelné a nikoliv řiditelné? Řiditelné a dosažitelné stavy lineárního systému incidují. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 7/25 Každou konvergující nekonečnou maticovou řadu čtvercové matice A řádu n lze vyjádřit jako polynom v mocninách matice A, stupně P- Přitom platí: p je stupněm minimálního polynomu ^(A) matice A, tedy minimální p pro něž polynom 4>(A) = Xp + a^XP-1 + ... + 30 splňuje (A) =AP + a^AP-1 + ... + a0l = 0 kde / je jednotková matice, p < n. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 8/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Kritéria dosažitelnosti a řiditelnosti Exponenciální matici lze vyjádřit ve tvaru: P-i Dosadíme-li do kritéria řiditelnosti, dostaneme: p-i 'o x / ^a;{T)A'Bu{r)dT Jo /=o Dále rozepíšeme vektor řízení: r u(t) = uJ^eJ 7=1 kde ej je bázový vektor s _/-tou pozicí nenulovou. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 9/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Kritéria dosažitelnosti a řiditelnosti Kritérium řiditelnosti přepíšeme po složkách vektoru řízení: ■ p—1 r ľY,Í2a^ÄBuÁT)eJdT Jo /=0j=l což lze dále přepsat: p—1 r ľaiWujWdTA'bj i=0 7=1 kde bj je j-tý sloupec matice B. Označíme-li (3y = — f* ai(r)ujdT, dostaneme pro stav p—1 r /=0 j=l IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 10/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Kritéria dosažitelnosti a řiditelnosti Máme maticový vztah pro stav x, o jehož řiditelnosti rozhodujeme: p—1 r /=0 j=l Pij je skalár, který může vhodnou volbou j-té složky řízení nabývat lib. konečné hodnoty. Lze tedy uzavřít: Stav x je řiditelný, pokud leží v prostoru generovaném množinou vektorů r r r [J bi U [J Abj U ... U J Ap-Xb} i=l i=l i=l K potvrzení řiditelnosti je tedy nutné nalézt n lin. nezávislých vektorů ve výše uvedené množině. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 11/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Kritéria dosažitelnosti a řiditelnosti Věta (kritérium řiditelnosti (dosažitelnosti)) Lineární spojitý systém definovaný stavovou rovnicí x = Ax + Bu je dosažitelný a řiditelný právě tehdy, když složená matice Rnxrn, R = [B, AB, A2B,A"-1 B], má hodnost h(R) = n. Definice Matice R z přechozí věty se nazývá maticí řiditelnosti (dosažitelnosti) systému. Poznámka « Jelikož kritérium je nezávislé na hodnotě /3/y, lze volit jakékoliv I t / 0 a platí: Je-li stav x řiditelný (dosažitelný), pak je řiditelný (dosažitelný) v libovolně krátké době. a Není-li systém řiditelný (dosažitelný), pak množina řiditelných (dosažitelných) stavuje podrpostorem generovaným sloupci matice R. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 12/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Kritéria dosažitelnosti a řiditelnosti Uvažme matici řiditelnosti Rk = [B, AB, A2B,A^B]. Nejmenší přirozené číslo re splňující rovnici: hod{RK) = hod{RK+1) se nazývá index řiditelnosti (dosažitelnosti) systému. Poznámka Index řiditelnosti (dosažitelnosti) je vždy shora neostře ohraničen řádem systému n. Pro řiditelný (dosažitelný) systém je re omezeno vztahem: n — < k < n — r + 1 r IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 13/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Kritéria dosažitelnosti a řiditelnosti - příklad Uvažte lineární systém: "1 1 0" "0 1" x(t) = 0 1 0 x(t) + 1 0 0 1 1 0 1 u(t) Sestavte matici řiditelnosti: IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 14/25 Riditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Kritéria dosažitelnosti a řiditelnosti - příklad Uvažte lineární systém: "1 1 0" "0 1" x(t) = 0 1 0 x(t) + 1 0 0 1 1 0 1 Sestavte matici řiditelnosti: P = [B,AB,A2B] IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 14/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Kritéria dosažitelnosti a řiditelnosti Pro lineární systémy byla formulována řada alternativních kritérií dosažitenosti/řiditelnosti. • test pomocí vlastních vektorů • test pomocí hodnosti • využití kanonických tvarů Pro detailní informace viz skripta [Štecha, Havlena]. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 15/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Nestacionární systémy Dosud jsme uvažovali stacionární systémy. Pro lineární nestacionární systémy je nutné upřesnit pojem dosažitelnosti/řiditelnosti. Definice Událost (t,x(t)) je dosažitelná, pokud existuje okamžik v < r a řízení u(t), v < t < r, které převede událost (^,0) do události (r,x(r)). Pokud tvrzení platí pro vš. stavy x(r) G M", říkáme, že systém je dosažitelný v čase r. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 16/25 Řiditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Nestacionární systémy Dosud jsme uvažovali stacionární systémy. Pro lineární nestacionární systémy je nutné upřesnit pojem dosažitelnosti/řiditelnosti. Definice Událost (t,x(t)) je dosažitelná, pokud existuje okamžik v < r a řízení u(t), v < t < r, které převede událost (^,0) do události (r,x(r)). Pokud tvrzení platí pro vš. stavy x(r) G M", říkáme, že systém je dosažitelný v čase r. Definice Událost (r,x(t)) je řiditelná, pokud existuje okamžik fi > r a řízení u(ŕ), t < t < fi, které převede událost (r,x(r)) do události (/i,0). Pokud tvrzení platí pro vš. stavy x(r) G M", říkáme, že systém je řiditelný v čase r. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 16/25 Riditelnost a dosažitelnost v lineárních spojitých systémech Nestacionární systémy Charakterizace řiditelnosti a dosažitelnosti v nestacionárních systémech je komplikovanější a zjišťování poměrně obtížné. Řeší se pomocí transformace tzv. Gramovou maticí řiditelnosti. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 17/25 Řízení výstupu v lineárních spojitých systémech Někdy se zavádí pojem řiditelnosti i pro výstup systému. Uvažujme systém daný stavovou rovnicí a výstupní funkcí: x = Ax + Bu y = Cx + Du Řiditelnost výstupu Pokud existuje řízení, které převede výstup systému z dané hodnoty y(řo) na cílovou hodnotu y(ŕi) v konečném čase t\ — íq systém má řiditelný výstup. Tvrzení Lineární stacionární systém má řiditelný výstup, je-li hodnost matice Ry = [D, CB, CAB,CA^B] rovna počtu výstupů (velikosti výstupního vektoru m), hod(Ry) = m. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 18/25 Pozorovatelnost a rekonstruovatelnost systémů Typicky jsou vnitřní (stavové) veličiny systému skryté (neměřitelné). Pozorovat lze pouze vstup a výstup systému. Zajímá nás otázka, zda měřením vstupu a výstupu dovedeme detekovat stav systému. • pozorovatelnost - určujeme stav na počátku intervalu měření » rekonstruovatelnost - určujeme stav na konci intervalu měření IV120 Základní pojmy teorie řízení Pozorovatelnost a rekonstruovatelnost systémů Pozorovatel nost Systém je pozorovatelný pokud je možné měřením vstupu a výstupu na konečném intervalu určit hodnotu stavu systému na počátku měření. Nelze-li jednoznačně určit počáteční stav z těchto měření, pak říkáme, že systém obsahuje nepozorovatelné stavy. Pozn.: Nepozorovatelné stavy se neprojeví na výstupu. Rekonstruovatelnost Systém je rekonstruovatelný pokud je možné měřením vstupu a výstupu na konečném intervalu určit hodnotu stavu systému na konci měření. Jelikož uvažujeme deterministické systémy, pozorovatel nost vždy implikuje rekonstruovatelnost. Opačné tvrzení obecně neplatí. V reverzi bil nich systémech oba pojmy incidují. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 20/25 Pozorovatelnost a rekonstruovatelnost v lineárních spojitých systémech Uvažujme lineární systém definovaný stavovou rovnicí: x = Ax + Bu y = Cx + Du Řešení stavové rovnice: y(t) = Ce^ř-ř°)x(r0) + CeAt ľ e^TBu{r)c/t + Du(t) Jo "-v-' nezávislé na vnitřním stavu Je-li známé řízení u, lze odečíst vyznačené členy od y. Bez újmy obecnosti tedy budeme předpokládat nulové řízení. IV120 Základní pojmy teorie řízení Kritérium pozorovatelnosti Věta (kritérium pozorovatelnosti) Pro lineární stacionární spojitý systém platí: Systém je pozorovatelný právě tehdy, když matice pozorovatelnosti P, C P = CA ...CA"-1 má hodnost rovnu řádu systému, h(P) = n. Pozn.: Podobně jako v předch. případech, kritérium nezávisí na délce časového intervalu měření, proto lze měřit libovolně krátkou dobu. Analogicky jako v přech. případech lze definovat index pozorovatelnosti. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 22/25 Pozorovatelnost vs. rekonstruovatelnost Uvažme systém Si daný soustavou: x(ř) = ^(ř)x(í) + fi(řMt) y(t) = C(t)x(t) kde x G Rn, w G Mr a y G Mm. Dále uvažujme systém S2: ž(ř) = ^r(řMř) + Cr(ř)^(ř) v(t) = BT(t)z(t) kde z G M", w G Mm a 1/ G Mr. Princip duality Je-li Si dosažitelný (resp. řiditelný), je systém S2 pozorovatelný (resp. rekonstruovatelný) a naopak. IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 23/25 Pozrovatelnost a rekonstruovatelnost Nestacionární systémy Dosud jsme uvažovali stacionární systémy. Pro lineární nestacionární systémy je nutné upřesnit pojem pozorovatelnosti/rekonstruovatelnosti. Definice Stav x(t) je pozorovatelný v čase r, pokud existuje okamžik v, že znalost výstupu y(ř) pro r < t < v umožní určit x(r). Charakterizace a analýza je opět komplikovanější (viz skripta [Stecha, Havlena]). IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 24/25 Název prvního slajdu Telo • Hlava. • Ruce. • Nohy. Pohlaví • Muž ženu nebije, o IV120 Základní pojmy teorie řízení