1. termín závěrečné písemky — MB101 — jaro 2013 — 22. 5.
Na řešení je 100 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (5 bodů) Nalezněte všechny symetrické matice A rozměru 3 x 3 s jedničkami na diagonále, pro které platí A ■ (1,1,1)T = (1,2, 3)T.
2. (5 bodů) Nechť ip je shodné zobrazení prostoru IR3 do sebe a to symetrie podle roviny zadané rovnicí x\ — x% = 0. Určete matici zobrazení ip ve standardní bázi.
3. (5 bodů) Paní Podlahová, aby si přivydělala k penzi, se rozhodla, že zavaří a prodá ovoce ze své zahrady. Má k dispozici 70 zavařovacích sklenic, 40 kg třešní, 30 kg hrušek a cukr, z něhož vyrobí 9 kg nálevu. Na jednu sklenici zavařených třešní spotřebuje 0,6 kg třešní a 0, lkg nálevu, kdežto na sklenici zavařených hrušek spotřebuje 0,5 kg hrušek a 0,2 kg nálevu. Přitom sklenici třešní prodá za 30 Kč a sklenici hrušek za 40 Kč.
Určete kolik má čeho paní Podlahová vyrobit, pokud chce utržit co nejvíce peněz.
4. (5 bodů) Uvažujme jako Leslieho model růstu následující příklad, v němž farmář chová ovce, a to výhradně samice, neboť má speciální vyšlechtěné plemeno, kde se samci rodí naprosto výjimečně, a proto s nimi v našem příkladě vůbec nepočítáme.
Farmář ovce rozděluje do tří věkových kategorií: jehňata (0-1 rok), mladé ovce (1-2 roky) a staré ovce (2-3 roky). Na konci každé sezóny - v říjnu - farmář přepočítává stádo, přičemž pravidelně zjišťuje, že vždy polovina mladých ovcí mu během roku porodila jedno zdravé jehně a druhá polovina mladých ovcí buď neporadila, nebo porodila jehně, které nepřežilo do konce sezóny. Farmář proto přes zimu odešle na jatka tuto druhou polovinu mladých ovcí a dále všechny staré ovce, protože staré ovce se mu dále nevyplatí chovat. První polovinu mladých ovcí si ponechá a ony mu během následujícího léta, nyní již jako staré ovce, porodí po jednom jehněti. Stejně tak si v chovu ponechá všechna jehňata, která se dožila říjnového sčítání a která mu potom během léta, nyní jako mladé ovce, porodí nová jehňata již popsaným způsobem. Takto se stará o své stádo ovcí již mnoho let.
Určete, jak se farmáři daří. Tj. rozhodněte, zda se chov rozšiřuje, je stabilizován na nějakém počtu nebo vymírá. Dále určete, k jakému poměru se blíží počty ovcí v jednotlivých věkových kategoriích.
Výsledky
1. Matici A hledáme ve tvaru
A =
Podmínka A ■ (1,1,1)T = (1,2, 3)T dává následující soustavu rovnic pro neznámé a, b, c.
1 + a + b = 1 a + 1 + c = 2 b+c+1   = 3
Řešením soustavy dostaneme a = —\, b = \, c = |. Proto matice A existuje jediná a to
/ 1    -1 ^
'   x 2 2
A =
1 1 3
2 2
W  § v
Bodováni: tvar matice lb, sestaveni soustavy lb, vyřešeni soustavy 2b, výsledek lb.
2. Normálový vektor roviny je u\ = (1,0,—1) a můžeme dále volit dva vektory ze zaměření roviny: např. u2 = (1, 0,1) a u3 = (0,1, 0). V bázi a = (ui,u2, u3) má zobrazení ip matici
Pomocí vztahu (</?)e,e = (*d)e,a • (f)a,a ' (ýd)a,e dostaneme
Pro návod jak se počítají matice přechodu (id)t^a a (id)a^ doporučujeme znovu přečíst vzorové řešení druhé vnitrosemestrální písemky.
Bodování: výběr vhodné báze lb, matice zobrazení ve vhodné bázi lb, matice přechodu 2xlb, výsledek lb.
3. Označíme-li x\ počet sklenic třešní a x2 počet sklenic hrušek, potom se jedná o úlohu lineárního programování maximalizovat funkci 30 • x\ + 40 • x2 při omezeních
x\ + x2 < 70 ,
0,6-ari < 40,
0,5-x2 < 30,
0,1 -xx + 0,2-x2 < 9.
Po načrtnutí příslušných přímek, vyznačení polorovin určení směrnic hraničních přímek omezené oblasti zjišťujeme, že maximum se nalézá v průsečíku přímek x\ + x2 = 70 a 0, 1 • X\ + 0, 2 • x2 = 9, tj. v bodě [50, 20]. Maximální zisk tak lze docílit vyrobením 50 sklenic třešní a 20 sklenic hrušek, a činí 2 300 Kč.
Bodování: sestavení úlohy lineárního programování 2b, geometrické řešení 2b, výsledek lb. (Uhádnutí výsledku bez zdůvodnění 2b.)
4. Označme počty jehňat, mladých ovcí a starých ovcí v n-té sezóně postupně jn, mn a sn. Pro počty na konci následující sezóny platí vztahy
1
1
Maticově můžeme zapsat předchozí vztahy pomocí Leslieho matice
(° 1 l\
L =    1   0 0
\o \ o)
jako (jn+i, í^n+i, Sn+i)T = L • (jn,mn, sn)T. Charakteristický polynom matice L je —A3 + |A + |. Dominantní vlastní číslo je A = 1 a chov je tudíž stabilizovaný. Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu A = 1 je (2,2,1). Proto se chov stabilizuje ve struktuře: 40% jehňat, 40% mladých ovcí a 20% starých ovcí. Jinými slovy: jehňat bude stejně jako mladých ovcí a starých ovcí bude polovina tohoto počtu.
Poznamenejme, že daná matice L je primitivní (je třeba spočítat L5) a tedy jakákoli počáteční struktura stáda skutečně konverguje k popsané stabilní struktuře.
Bodováni: sestaveni matice 2b, vlastni kladné reálné číslo lb, příslušný vlastní vektor lb, interpretace lb.