1. vnitrosemestrální písemka — MB101 — jaro 2013 — 28. 3.
SKUPINA A
Na řešení je 45 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (4 body) Je dán rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB, přičemž A = [2, 3], B = [8,1] a bod C je v prvním kvadrantu (tj. má obě souřadnice kladné).
a) Určete souřadnice vrcholu C.
b) Určete obsah trojúhelníku ABC.
c) Rozhodněte, zda je z bodu P = [15, —2] vidět (přes neprůhledný A ABC) vrchol A.
Nápověda: pro výpočet souřadnic vrcholu C (u pravého úhlu) si uvědomte, jaké další vlastnosti má střed přepony rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku.
2. (4 body) V klobouku jsou 3 bílé, 4 červené a 5 modrých koulí. Postupně vytahujeme náhodně 3 koule. (Do klobouku se vytažené koule nevrací!) Určete pravděpodobnost, že
a) všechny vytažené koule jsou stejné barvy;
b) aspoň jedna vytažená koule je bílá;
c) třetí vytažená koule je modrá, za předpokladu, že první dvě koule byly modré.
3. (2 body) Pan Cech se vrací v noci domů a má vyjít z přízemí do prvního patra své vily třináct schodů. Snaží se jít co nejtišeji, aby nevzbudil děti, a proto dělá kroky jen o jeden nebo o dva schody. Navíc nechce šlápnout na sedmý schod, který vrže. Kolika způsoby může schodiště vyjít?
Doporučení: případnou rekurentní formuli pro pomocnou úlohu použijte pro výpočet potřebných hodnot a neztrácejte čas s řešením či vylepšováním této rekurentní formule.
1. vnitrosemestrální písemka — MB101 — jaro 2013 — 28. 3.
SKUPINA B
Na řešení je 45 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (4 body) Je dán rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník PQR s přeponou PQ, přičemž P = [1,0], Q = [7,4] a bod i? je v prvním kvadrantu (tj. má obě souřadnice kladné).
a) Určete souřadnice vrcholu R.
b) Určete obsah trojúhelníku PQR.
c) Rozhodněte, zda jez bodu A = [24, 0] vidět (přes neprůhledný A PQR) vrchol R.
Nápověda: pro výpočet souřadnic vrcholu R (u pravého úhlu) si uvědomte, jaké další vlastnosti má střed přepony rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku.
2. (4 body) V klobouku jsou 3 bílé, 5 červených a 5 modrých koulí. Postupně vytahujeme náhodně 3 koule. (Do klobouku se vytažené koule nevrací!) Určete pravděpodobnost, že
a) vytažené koule mají různou barvu;
b) aspoň jedna vytažená koule je modrá;
c) třetí vytažená koule je červená, za předpokladu, že první dvě koule byly červené.
3. (2 body) Pan Cech se vrací v noci domů a má vyjít schodiště z přízemí do prvního patra své vily, které má třináct schodů. Dělá kroky jen o jeden nebo o dva schody, přičemž chce šlápnout na sedmý schod. Kolika způsoby může schodiště vyjít?
Doporučení: případnou rekurentní formuli pro pomocnou úlohu použijte pro výpočet potřebných hodnot a neztrácejte čas s řešením či vylepšováním této rekurentní formule.
1. vnitrosemestrální písemka — MB101 — jaro 2013 — 28. 3.
SKUPINA X
Na řešení je 45 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.)
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (4 body) Je dán rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník XY Z s přeponou XY, přičemž X = [1,4], Y = [5, —2] a bod Z je v prvním kvadrantu (tj. má obě souřadnice kladné).
a) Určete souřadnice vrcholu Z.
b) Určete obsah trojúhelníku XY Z.
c) Rozhodněte, zda je z bodu A = [3,-11] vidět (přes neprůhledný A XY Z) vrchol Z.
Nápověda: pro výpočet souřadnic vrcholu Z (u pravého úhlu) si uvědomte, jaké další vlastnosti má střed přepony rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku.
2. (4 body) V klobouku jsou 3 bílé, 3 červené a 6 modrých koulí. Postupně vytahujeme náhodně 3 koule. (Do klobouku se vytažené koule nevrací!) Určete pravděpodobnost, že
a) všechny vytažené koule jsou stejné barvy;
b) aspoň jedna vytažená koule je modrá;
c) třetí vytažená koule je červená, za předpokladu, že první dvě koule byly bílé.
3. (2 body) Chystáme se vyjít schodiště, které má osm schodů, přičemž na posledním schodu se otočíme a schodiště opět sejdeme. Cestou nahoru děláme kroky o jeden nebo o dva schody a stejně tak při cestě dolů. Kolika způsoby můžeme schodiště vyjít?
Doporučení: případnou rekurentní formuli pro pomocnou úlohu použijte pro výpočet potřebných hodnot a neztrácejte čas s řešením či vylepšováním této rekurentní formule.
1. vnitrosemestrální písemka — MB101 — jaro 2013 — 28. 3.
SKUPINA Y
Na řešení je 45 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (4 body) Je dán rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník KLM s přeponou KL, přičemž K = [—3, —4], L = [9, 0] a bod M je v prvním kvadrantu (tj. má obě souřadnice kladné).
a) Určete souřadnice vrcholu M.
b) Určete obsah trojúhelníku KLM.
c) Rozhodněte, zda bod P = [—1,-2] leží v trojúhelníku KLM.
Nápověda: pro výpočet souřadnic vrcholu M (u pravého úhlu) si uvědomte, jaké další vlastnosti má střed přepony rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku.
2. (4 body) V klobouku jsou 4 bílé, 4 červené a 4 modré koule. Postupně vytahujeme náhodně 3 koule. (Do klobouku se vytažené koule nevrací!) Určete pravděpodobnost, že
a) vytažené koule mají různou barvu;
b) aspoň jedna vytažená koule je bílá;
c) třetí vytažená koule je červená, za předpokladu, že první dvě koule byly červené.
3. (2 body) Chystáme se vyjít schodiště, které má patnáct schodů, přičemž děláme kroky o jeden nebo o dva schody. Navíc chceme stoupnut na patý a na desátý schod. Kolika způsoby můžeme schodiště vyjít?
Doporučení: případnou rekurentní formuli pro pomocnou úlohu použijte pro výpočet potřebných hodnot a neztrácejte čas s řešením či vylepšováním této rekurentní formule.
Výsledky
Skupina A:
1. a) Máme vektor A~É = B — A = (6, —2). Jeho polovina je vektor (3, —1) a tudíž pro střed X strany AB platí X = A + (3, —1) = [5,2]. Střed strany je zároveň patou výšky a středem
kružnice opsané, proto vektor X Ô je kolmý ke straně AB a má stejnou velikost jako vektor AX.
Odtud XC je (1,3) nebo ( — 1, —3). V druhém případě by bod C neležel v prvním kvadrantu. Proto C = [5,2] + (1,3) = [6,5].
b) Obsah lze spočítat různými způsoby. Například vezmene stranu AB, která má velikost
\AB\ = V62 + 22 = V4Ô = 2y/ÍÔ. Délka výšky je \xí\ = y/32 + l2 = VTĎ. Obsah trojúhelníku ABC je tedy \ ■ 2VTĎ • VTÔ = 10.
Jiný způsob: vezmene A~É = (6, —2) a = (4, 2) a určíme determinant matice tvořené touto dvojicí vektorů: 12 + 8 = 20. To je obsah rovnoběžníku a obsah A ABC je polovina, tj. 10.
c) Ano. Uvažme vektor A~É = (6, —2) a podívejme se, na které straně přímky určené tímto vektorem se nalézá bod P. Vezměme A~P = (13, —5) a určeme determinant, kde první řádek matice je A~P a druhý A~P. Tento determinant je roven —30 + 26 = —4 < 0. Tudíž P je napravo od A~É. Protože bod C je nalevo od A~P, je vrchol A videtelný z bodu P.
2. a) Počet všech možných vytažení koulí je (g2) = 220. Počet příznivých možností je: všechny bílé - 1 možnost; všechny červené (g) = 4; všechny modré = 10, tj. celkem 1 + 4 + 10 = 15 možností. A hledaná pravděpodobnost je ^ = J^.
b) Spočítáme pravděpodobnost opačného jevu C, tj. že nebude vytažena žádná bílá koule. P{C) =       = ||. Proto pravděpodobnost vytažení aspoň jedné bílé koule je 1 — || = ||.
c) Pokud jsme vytáhli dvě modré, pak klobouk obsahuje 3 bílé, 4 červené a 3 modré. Tj. celkem 10 koulí a pravděpodobnost vytažení modré koule je ^.
3. Nejdříve připomeňme úlohu o vyjití n schodů bez omezení. Označíme-li fn počet vyjití n schodů, pak platí rekurentní vztah fn+2 = fn+i + fn a základní podmínky f\ = 1, f2 = 2. Odtud dostaneme další hodnoty f% = 3, f'4 = 5, f$ = 8, fa = 13, fj = 21, /§ = 34. (Tzv. Fibonacciho posloupnost). V našem případě musí pan Cech šlápnout na šestý schod a následně udělat krok délky 2 a šlápnout na osmý schod. Kombinujeme tedy vyjití prvních 6 schodů a posledních 5 schodů: Celekem /6 • /5 = 13 • 8 = 104 způsobů.
Skupina B:
1. a) R= [2,5], b) S = 13, c) Ne.
2. a) Celkem 13 koulí a tedy (g3) = 13• 11 • 2 = 286 možných vytažení. Počet příznivých 3-5-5.
Tedy pravděpodobnost       b) 1 —       = uf' c) n-
3. f7 ■ f6 = 21 • 13 = 273 způsobů.
Skupina X:
1. a) Z = [6,3], b) S = 13, c) Ne.
9   a\ _ J_   M 1 _ III _ 10    „\ _3_
^- A)   (12^   — io, u; 1   (12^ — n , io-3. f s ■ f8 = 34 • 34 způsobů.
Skupina Y:
1. a) M = [1,4], b) S = 40, c) Ano.
9   „\  4^4 _ 16   M 1 - -ÍII _ 41       \ J_ _ 1 (s2) _ 55' (s2) _ 55 '       10 _ 5'
3. f5-f5-f5 = 83 = 512 způsobů.