Lineární modely - 12. přednáška
Lineární procesy
Ondřej Klíma 9. 5. 2013
12. přednáška        Lineární procesy
Osnova přednášky
• Příklad populačního modelu
• Leslieho model růstu
• Pozitivní a primitivní matice
• Markovovy procesy
12. přednáška        Lineární procesy
Příklad populačního modelu - stádo ovcí
Stádo ovcí, 5 kategorií: nová jehňata(O-l), stará jehňata(1-2), mladé ovce(2-3), ovce(3-4) a staré ovce(4-5). Počet kusů v čase t (např. roky od začátku chovu) značíme x0(t) (nová jehňata), x-i (ŕ) (stará jehňata) atd. Stav stáda v čase řje tedy X{t) = {x0{t),x^t),x2{t),x3{t),x4{t))T. Známe relativní roční změny:
• Úhyn v jednotivých kategoriích: x4(ř + 1) = 0.6 ■ x3(ř) x3(ř + 1) = 0.7 ■ x2(ř)
x2(ř + 1) = 0.8 • x (ŕ) x (ř + 1) = 0.95 • x0(ř)
» Reprodukce: x0(ř + 1) = 0.2 • x-i (ŕ) + 0.8 • x2(ř) + 0.6 • x3(ř) Tedy X(t + 1) = A ■ X(t) s konstantní maticí A:
A
( o
0.95 0 0
V o
0.2 0
0.8 0 0
0.8 0 0
0.7 0
0.6 0 0 0
0\
0
0
o
0.6 0/
12. přednáška        Lineární procesy
Stádo ovcí - pokračování
• Vlastní čísla (přibližně): 1.03, 0, -0.5, -0,27 + 0.74/, -0.27 - 0.74/ s velikostmi 1.03,0,0.5,0.78,0.78
• Ideální stav: pět různých vlastních čísel A,, tj. vlastní vektory v, tvoří bázi C5. Pouze pro A0 = 1.03 je |A0| > 1.
• Libovolný vektor v C5 lze (jednoznačně) vyjádřit
v = a0v0 + a-\V-\ h----+ a4v4 a můžeme spočítat
A ■ v = A ■ a0 ■ v0 + A ■ a-\ ■ v-\ -\----+ A ■ a4 • v4 =
= X0a0v0 + Aia-\ v-\ -\-----h \4a4vA.
Obecně Ak ■ v = Aqa0v0 + A^a-i ^ H----+ Xka4v4.
• Pro zvětšující se k se budou mocninyA^,..., A4 blížit 0. Tzn. pro velká k máme Ak ■ v ~ A^aoVb-
• Poměrná věková struktura stáda bude konvergovat k poměrům ve vlastním vektoru v0 (nebo vymře).
• Zde y0 je přibližně (30,27,21,14,8). (Součtem souřadnic je 100, tj. vidíme výsledné procentní rozložení populace.)
12. přednáška        Lineární procesy
Lineární iterované procesy
• Procesy bývají popsány prostřednictvím lineární transformace pro jednotlivá časová období (linearizovaný model). Budeme chtít studovat jeho chování během delší doby.
Například zkoumáme nějaký systém jednotlivců (pěstovaná zvířata, hmyz, buněčné kultury apod) rozdělený do m skupin (třeba podle stáří, fází vývoje hmyzu apod.).
• Stav, závisející na okamžiku tn, ve kterém systém pozorujeme, je tedy dán vektorem
Xn = (xA(n),...,xm(n))T.
• Lineární model vývoje takového systému je dán maticí A dimenze n, která zadává změnu z vektoru Xn na vektor Xn+i = A- Xn při přechodu z tn na řn+1.
12. přednáška        Lineární procesy
Leslieho model růstu
Příkladem lineárních procesů je Leslieho model růstu s maticí
(fy	h	h ••	fm-\	fm\
	0	0 ..	0	0
0		0 ..	0	0
0	0	73    • •	0	0
VO    0    0   ...   rm_! 0/
ve které:
• f, označuje relativní plodnost příslušné věkové skupiny (ve sledovaném časovém období vznikne z N jedinců v i-lé skupině f-,N jedinců nových, tj. ve skupině první);
• tj je relativní úmrtnost i-lé skupiny během jednoho období.
• Platí tj g [0,1] a f j > 0. Lze dokázat, že existuje jediné kladné reálné vlastní číslo. (Idea následuje.)
12. přednáška        Lineární procesy
Leslieho model růstu - charakteristický polynom
a =
-	A f2	h ■	1m-\	/m \
	-A	0	0	0
0		-A .	0	0
0	0		0	0
0	0	0	•• Tm_l	-V
			m-1	
	-ADm_i	+ fm(-	JJ	
/=1
m-1
tfm = (-1 )mDm = Acřm_i - /ml]7"'
^ = Am - (E \m-k ■ fk f] r,) fc=1 /'=1
12. prednáška        Lineární procesy
Perronova-Frobeniova teorie
Věta
Nechť A je reálná čtvercová matice dimenze m s nezápornými prvky, jejíž nějaká mocnina Ak má samé kladné prvky. Pak platí
O existuje reálné vlastní číslo Xm matice A takové, že pro všchna ostatní vlastní čísla X platí |A| < Am - tzv. dominantní vlastní číslo,
O vlastní číslo Xm má algebraickou násobnost jedna,
O vlastnípodprostor odpovídající Xm obsahuje vektor se všemi souřadnicemi kladnými
Q platí odhad min/   ■ a,y < Xm < max,- ^ ■ a,y.
• A je pozitivní, jestliže je čtvercová reálná matice jejíž všechny prvky jsou kladné.
• A je primitivní, jestliže je čtvercová reálná matice a existuje k tak, že Ak je pozitivní.
12. přednáška        Lineární procesy
Aplikace na Leslieho model
• Pokud je matice v Leslieho modelu primitivní, pak máme jediné dominantní vlastní číslo.
• Existuje příslušný vlastní vektor v0, který má kladné všechny složky. A tento vektor tvoří stabilní generační distribuci.
• Pokud jsou ostatní vlasní čísla velikosti menší než 1 a dominantní vlastní číslo je větší nebo roveno 1, pak každá počáteční generační distribuce konverguje k poměrům v stabilní distribuci v0 nebo konverguje k nulové distribuci (populace vymře).
• Pokud jsou všechna vlastní čísla menší než 1, pak každá počáteční generační distribuce konverguje k nulové distribuci.
• Leslieho matice je primitivní například pokud jsou všechny parametry fj, r, kladné.
12. přednáška        Lineární procesy
Příklady na Leslieho model růstu
V Leslieho modelu řešíme úlohy:
• Zjistit tendenci vývoje v dlouhodobém horizontu (viz příklad s ovcemi):
o vymření populace, stabilizace nebo expanze (přemnožení),
• poměrná struktura populace.
• Určit vhodnou modifikaci parametrů, aby došlo ke stabilizaci populace:
• odběr pěstovaných kusů na prodej,
• nasazení přirozených nepřátel zabraňujících přemnožení v modelu dravec-kořist.
Příklad
V příkladu „stádo ovcí" určete, kolik procent nových jehňat lze každý rok prodat.
12. přednáška        Lineární procesy
Příklad - stádo ovcí - kontrola populace prodejem
0.95 0 0
V o
0.2 0
0.8 0 0
0.8 0 0
0.7 0
0.6 0 0 0
0.6
0\
0
0
o
0/
Nyní chceme určit z tak, aby matice a měla vlastní vektor 1: /0  0.2  0.8  0.6 0\
a
z 0 0
Vo
o
0.8 0 0
o o
0.7 0
0 0 0
0.6
0 0 0
0/
P(A) = (-p(1) = 1 = 1 Odtud z
-1)5(A5
- f2Tl - /3T2T-1
-z(0.2 + 0.8-0.8 + 0.6 1   - 0.85. Cca 0.95
A3f2n -/4T3T2T-1
A2/37"2Ti - A/4T3T2T-1 - A/5T4T3T2T-1)
1.176
0.7
- z :
0.8) = 0.1
1 -z- 1.176 10% lze prodat.
12. přednáška        Lineární procesy
Příklad - stádo ovcí - poznámky
Není třeba počítat (natož znát zpaměti vzorec pro) charakteristický polynom Leslieho matice.
A - XE = A - E
(-\ 0.2 0.8  0.6 0 \
z -1 0     0 0
0 0.8 -10 0
0 0 0.7  -1 0
\ 0 0 0    0.6 -1/
• Pokud nechceme počítat se zlomky tak můžeme vzít matici 10A která má vlastní čísla desetinásobky vlastních čísel A.
12. přednáška        Lineární procesy
Markovovy procesy
• Další případ lineárních procesů popisuje systémy, který se nachází v m různých stavech s různou pravděpodobností.
• V určitém čase je systém ve stavu s, s pravděpodobností P\. Tzn. popis systému v daném čase ř je dán vektorem P{t) = (pí, Afc, • • •, pm). Přičemž £™ 1 p = 1, p g [0,1 ].
• K přechodu z možného stavu j do stavu / dochází vždy (tj. nezávisle na čase) s pravděpodobností a,y.
• Například pravděpodobnost stavu Si v čase t + 1 se spočítá jako p (ř + 1) = anpi (ř) + ai2p2(í) + • • • ^mpm(t).
• Rozdělení pravděpodobností pro čas n + 1 je dáno vynásobením pravděpodobnostní maticí přechodu A = {aij),\\. P(t+V = A-P(t).
m Přitom pro libovolné j platí Yľ?Ĺ-\ fy: = 1 ■ (Součet v sloupci.) Matice A = (a,y) je tzv. stochastická.
• Takovému procesu říkáme Markovův proces.
12. přednáška        Lineární procesy
Stochastické matice
Vlastnosti stochastických matic.
• Každý pravděpodobnostní vektor p = (p-i, p2,..., pm) je opět zobrazen na vektor se součtem souřadnic jedna:
• Z toho také plyne, že součin dvou stochastických matic je stochastická matice. Proto je stochastická každá matice Ak, kde A je stochastická a k libovolné přirozené číslo.
• Protože je součet každého sloupce matice A roven 1, je součet každého sloupce matice A - E roven 0. Jsou proto řádky matice A - E lineárně závislé a matice A - E má nulový determinant.
• Tedy \ A - E\ = 0 a A = 1 je vlastní číslo matice A a musí k ní existovat vlastní vektor.
12. přednáška        Lineární procesy
Aplikace Perronovy-Frobeniovy věty
Důsledkem Perronovy-Frobeniovy věty pro Markovovy procesy s maticí, která nemá žádné nulové prvky (nebo jejíž některá mocnina má tuto vlastnost), je
• existence vlastního vektoru Poo pro vlastní číslo 1, který je pravděpodobnostní vektor
• přibližování hodnoty iterací Akp(0) k vektoru p^ pro jakýkoliv pravděpodobnostní vektor p0.
První tvrzení vyplývá přímo z kladnosti souřadnic vlastního vektoru zmíněné v Perronově-Frobeniově větě, druhé pak z toho, že absolutní hodnoty všech ostatních vlastních čísel musí být ostře menší než jedna.
Druhou vlastnost je také možné formulovat tak, že posloupnost matic Ak konverguje, při zvětšujícím se k, k matici B, jež je tvořena stejnými sloupci, a to p^.
12. přednáška        Lineární procesy
Markovův proces - příklad
Příklad (Sledovanost televizí)
Vysílají tři televizní stanice. Z veřejného výzkumu vyplynulo, že po jednom měsíci přejde 1 /4 diváků první stanice ke druhé stanici a 1 /4 diváků ke třetí stanici. Tzn. 1 /2 diváků zůstane u první stanice. Dále, že z diváků druhé stanice přejde 1 /3 diváků k první stanici a 1 /3 diváků ke třetí stanici. Konečně z diváků třetí stanice přejde 1 /2 diváků k první stanici a 1 /2 diváků ke druhé stanici. Popište časový vývoj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces.
A
Matice má dominantní vlastní hodnotu 1, příslušný vlastní vektor je (4,3,2). Poměr diváků se ustálí na poměru 4 : 3
12. přednáška        Lineární procesy
Příklad bez Perronovy-Frobeniovy věty
Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se 100 Kč. Vždy všechno, co aktuálně má. Sází vždy na černou (v ruletě je 37 čísel, z toho je 18 černých, 18 červených a nula). Hráč skončí, pokud nic nemá, nebo pokud získá 800 Uvažte tuto úlohu jako Markovův proces a napište jeho matici.
Jednotlivé stavy systému jsou dány aktuální hodnotou, kterou hráč má. Jsou to tedy částky 0, 100, 200, 400 a 800 Kč. Výsledná matice je:
A
n
o o o
Vo
a 0 b 0 0
a 0 0 b 0
0\
0
0
o
V
kde a
Ifab
18 37-
12. přednáška        Lineární procesy
Příklad bez Perronovy-Frobeniovy věty - pokračování
/1	a a		a 0^		/1 a	+ ab	a + ab		a	o\
0	0 0		0 0		0	0		0	0	0
0	b 0		0 0	,A2 =	0	0		0	0	0
0	0 b		0 0		0	b2		0	0	0
\o	0 0		b \)		\o	0		b2	b	1/
		n	a + ab + ab2		a + ab	a	0)			
		0	0		0	0	0			
\3 =		0	0		0	0	0	,A* =	A3	
		0	0		0	0	0			
		\o	b3		b2	b	1^			
• Proto Ak = /A3 pro libovolné k > 3. Matice /A není primitivní.
• Nicméně lze počítat Ak ■ P(0) pro libovolný počáteční pravděpodobnostní vektor P(0).
• Zejména Ak • (0,1,0,0,0)7 = (a + ab + a/?2,0,0,0, £>3)
12. přednáška        Lineární procesy
Permutační matice - příklad
• Příklad
• Můžeme psát
A
m Potom
B 0
0 C
A"
A
f°	1	0	0	o\
1	0	0	0	0
0	0	0	0	1
0	0	1	0	0
	0	0	1	o)
kde B
0 1
1 0
Bk 0
0
Ck
e2
E2,C3
• Tedy A6 = E. A dochází k periodickému opakování.
12. přednáška        Lineární procesy
Požadavky
Příklad který se může objevit na zkoušce:
• Leslieho model růstu - určit tendenci vývoje v dlouhodobém horizontu.
• Leslieho model růstu - modifikovat parametry tak, aby došlo ke stabilizaci populace.
• Markovovy procesy s primitivní maticí - určit limitní pravděpodobnostní rozložení (vektor).
Ve všech případech je třeba umět zkonstruovat matici ze slovního zadaní. Je také vhodné umět rozhodnout, zda matice je primitivní a vědět zda lze použít Perronovu-Frobeniovu teorii v plném rozsahu.
12. přednáška        Lineární procesy