Lineární modely - 13. přednáška
Kuželosečky a kvadratické formy
Ondřej Klíma 16. 5. 2013
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Osnova přednášky
• Kuželosečky - příklad
• Symetrické matice
• Klasifikace kuželoseček
• Kvadratické formy
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Kuželosečka - příklad
Příklad
Popište kuželosečku 3x2 + 8xy - 3y2 = 10.
Věta
Nechť A je symetrická matice, která je maticí lineárního zobrazení ip -. Rn    Rn. Potom platí následující.
9 Vlastní čísla jsou všechna reálná.
9 Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou navzájem kolmé.
9 Existuje ortonormální báze tvořená vlastními vektory v níž má zobrazení (p diagonální matici.
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Kvadratické formy
Mějme bilineární symetrickou formu F : 1" x 1" -í t. Pro libovolnou bázi na tomto vektorovém prostoru bude hodnota f (x) na vektoru x = x-i e-i h----+ xnen dána vztahem
f (x) = F(x, x) =     x(xyF(e/, e,-) = x7 • 4 • x
'j
kde /A = (a,y) je symetrická matice s prvky a,y = F(e,, ey). Takovýmto zobrazením f říkáme kvadratické formy a výše uvedený vzorec pro hodnotu formy s použitím zvolených souřadnic se nazývá analytický tvar formy. Jestliže změníme bázi e, na jinou bázi ďv..., e'n, dostaneme pro stejný vektor jiné souřadnice x = S • x' a tedy
f {x) = (S • x')7 ■ A ■ (S ■ x') = (x')7 • (S7 A ■ S) ■ x'.
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Ortonormální báze pro kvadratické formy
Předchozí výpočet na prostoru se skalárním součinem můžeme shrnout: matice bilineární formy F a tedy i kvadratické formy f se transformuje při změně souřadnic způsobem, který pro ortogonální změny souřadnic splývá s transformací matic zobrazení (skutečně, pak je S 1 = ST):
Věta
Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak vztah
ip^f,   f(u) = F(u,u) = {u,<p(u))
zadává bijekci mezi symetrickými lineárními zobrazeními a kvadratickými formami na V.
Pro každou kvadratickou formu f existuje ortonormální báze zaměření, ve které má f diagonální matici (a diagonální hodnoty jsou jednoznačně určeny až na pořadí).
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Euklidovská klasifikace kvadrik
Předpokládejme tedy přímo rovnici ve tvaru
n n
A/xf +     biXi + b = 0.
/'=1 /'=1
V dalším kroku pro souřadnice x( s A,- / 0 provedeme doplnění do čtverců, které „pohltí" kvadráty i lineární členy týchž neznámých (tzv. Lagrangeův algoritmus). Tak nám zůstanou nejvýše ty neznámé, pro které byl jejich koeficient u kvadrátu nulový, a získáme tvar
n
Y M*/ - Pi)2 +      Y,      bJxJ + c = °-
'=1 j splňující Ay = 0
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Případ S2, tj. kuželosečky v rovině
Původní rovnice má tvar
a-i -i x2 + a22y2 + 2a12xy + a! x + a2y + a = 0.
Volbou vhodné báze zaměření a následným doplněním čtverců dosáhneme tvaru (opět používáme stejného značení x, y pro nové souřadnice):
a-i-ix2 + a22y2 + a-,x + a2y + a = 0
kde a, může být nenulové pouze v případě, že a/,- je nulové.
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Případ S2, tj. kuželosečky v rovině - pokračování
Posledním krokem obecného postupu, tj. v dimenzi n = 2 jen případnou volbou posunutí, dosáhneme právě jedné z rovnic:
0	= x2/a2 + y2/62 + 1 = x2/a2 + y2//?2-1	prázdná množina
0		elipsa
0	= x2/a2-y2//?2- 1	hyperbola
0	= x2/a2 - 2py	parabola
0	= x2/a2+y2//?2	bod
0	= x2/a2-y2//?2	2 různoběžné přímky
0	= x2-a2	2 rovnoběžné přímky
0	= x2	2 splývající přímky
0	= x2 + a2	prázdná množina
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Lagrangeův algoritmus
Lagrangeův algoritmus doplňování na čtverce
Nechť V je reálný vektorový prostor dimenze n, f : V R kvadratická forma. Pak na V získáme polární bázi pro f takto: (1) Nechť A je matice f v bázi u = (u-\,...,un)na V a předpokládejme a-n ^ 0. Pak můžeme psát
r(xi,...,xn) = anxf + 2a12xi*2 + • • • + a22x| + ... = a^1 (an^ + a12x2 + • • • + a1nxn)2 + členy neobsahující x-i
Provedeme tedy transformaci souřadnic (tj. změnu báze) tak, aby v nových souřadnicích bylo
x\ = an^ + a12x2 + • • • + a1nxn, x^ = x2,...,x'n = xn.
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Lagrangeův algoritmus - 2. část
Báze vA = a^1 uA, v2 = u2- a^1 a12t/i,..., v„ = un - a^1 aAnuA a tak jak lze očekávat, v nové bázi bude příslušná symetrická bilinerání forma splňovat g(v-\, v,) = 0 pro všechny / > 0. Má tedy f v nových souřadnicích analytický tvar a^x\2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné x-\. Z technických důvodů bývá lepší zvolit v nové bázi ^ = tv1, opět dostaneme výraz f = f-\ + h, kde f-\ závisí pouze na x\, zatímco v h se x\ nevyskytuje. Přitom pak g(v-\, v-\) = au. (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x22 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření f =U +f2 + h, kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buď provedeme n - 1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme /-tém kroku bude prvek a„ dosud získané matice nulový.
13. přednáška
Lagrangeův algoritmus - 3. část
(3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek ajj ^ 0 s j > i, pak stačí přehodit /-tý prvek báze s y-tým a pokračovat podle předešlého postupu.
(4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci ayy = 0 pro všechny y > i. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek aík ^ 0 s y > /', k > /', pak jsme již úplně hotovi neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že    7^ 0. Použijeme pak transformaci Vj = Uj + Uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. x'k = xk - xy, ostatní zůstávají). Pak
h(Vj, Vj) = h(Uj, Uj) + h(uk, uk) + 2h(uk, uj) = 2ajk /0a můžeme pokračovat podle postupu v (1).
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Signatura kvadratické formy
Po výpočtu polární báze Lagrangeovým algoritmem můžeme ještě vylepšit bázové vektory pomocí násobení skalárem tak, aby v příslušném analytickém vyjádření naší formy vystupovaly v roli koeficientů u kvadrátů jednotlivých souřadnic pouze skaláry 1, -1 a 0.
Počty jedniček a mínus jedniček nazýváme signaturou kvadratické formy. Opět tedy dostáváme úplný popis kvadratických forem ve smyslu, že dvě takové formy jsou převoditelná jedna na druhou pomocí afinní transformace tehdy a jen tehdy, když mají stejnou signaturu:
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Věta o setrvačnosti
Věta (věta o setrvačnosti)
Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na reálném vektorovém prostoru V existuje celé číslo 0 < p < r a r nezávislých lineárních forem </?i,... ,ipr e V* takových, že
f(u) =    (u))2 + ■■■ + {Vp{u)f - (^p+1 (u))2-----(Mu))2-
Existuje tedy polární báze, ve které má f analytické vyjádření
f(X-|, . . . , Xn) = X2 + • • • + Xp — Xp+1 — • • • — xf.
Počet p kladných diagonálních koeficientů v matici dané kvadratické formy nezávisí na volbě polární báze. Dvě symetrické matice A, B dimenze n jsou maticemi téže kvadratické formy v různých bazích právě, když mají stejnou hodnost a když matice příslušných forem v polární bázi mají stejný počet kladných koeficientů.
13. přednáška
Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Definitnost forem
Při diskusi symetrických zobrazení jsme hovořili o definitních a semidefitních zobrazeních. Tatáž diskuse má jasný smysl i pro symetrické bilineární formy a kvadratické formy.
Kvadratickou formu f forma na reálném vektorovém prostoru V nazýváme
O positivně definitní, je-li f(u) > 0 pro všechny u ^ 0
O positivně semidefinitní, je-li f(u) > 0 pro všechny u e V
Q negativně definitní, je-li f(u) < 0 pro všechny u ^ 0
O negativně semidefinitní, je-li f(u) < 0 pro všechny u g V
Q indefinitní, je-li f(u) > 0 a f (v) < 0 pro vhodné u, v g V.
Stejné názvy používáme i pro symetrické reálné matice, jsou-li maticemi patřičných kvadratických forem. Signaturou symetrické matice pak rozumíme signaturu příslušné kvadratické formy.
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Požadavky
Dnes nic. Provedeme rekapitulaci nejpodstatnějších požadavků a témat během semestru.
• (1) Kombinatorika: elementární příklady na princip součtu a součinu; permutace, variace a kombinace s opakováním i bez; rekurentní metody.
• (2) Pravděpodobnost: elementární příklady, podmíněná a geometrická pravděpodobnost, princip inkluze a exkluze (n < 5).
• (3,5,7) Matice a soustavy lineárních rovnic: determinant, inverzní matice, vlastní čísla a vektory.
• (4) Geometrie v rovině: velikosti úseček a úhlů, viditelnost, obsah, otáčení, pravidelné /i-úhelníky.
• (6) Vektorové prostory: báze a dimenzi podprostorů, souřadnice vektorů, skalární součin a ortogonální báze.
• (7) Lineární zobrazení: matice lineárního zobrazení v dané bázi, změna báze - matice přechodu, identifikace shodných zobrazení analýzou vlastních vektorů.
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice
Požadavky II
• (8) Afinní geometrie přímek a rovin (zejména) - implicitní a parametrický popis, průničíky, příčky a osy mimoběžek.
• (9) Euklidovská geometrie: vzdálenost podprostorů, kolmá projekce, ortogonální doplněk, odchylka dvou přímek.
• (10) Lineární programování: geometrické řešení úlohy v rovině nebo algoritmické řešení zjednodušené úlohy.
• (11) Lineární diferenční rovnice (řádu 2 a 3): homogenní i nehomogenní, i s násobými a komplexními kořeny charakteristického polynomu.
• (12) Lineární procesy: Leslieho model růstu, Markovovy procesy s primitivní maticí.
Přeji mnoho zdaru.
13. přednáška        Kuželosečky, kvadratické formy a symetrické matice