Lineární modely - 2. přednáška
Konečná pravděpodobnost
Ondřej Klíma 28. 2. 2013
2. přednáška Pravděpodobnost
Osnova přednášky
• Klasická pravděpodobnost
• Geometrická pravděpodobnost
• Podmíněná pravděpodobnost
• Princip inkluze a exkluze
Pozn.: Dlouhé slovo „pravděpodobnost" budeme občas nahrazovat zkratkou „prst".
2. přednáška Pravděpodobnost
Házení kostkami
Příklad (2 poctivé kostky)
Házíme červenou a modrou poctivou kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 6?
Pravděpodobnost je podíl počtu příznivých možností ku počtu všech možností. Máme 36 možností (uspořádané dvojice). Příznivých je 5:    (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). Pravděpodobnost je tedy 4, tj. cca 13,9%.
součet	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
prst	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
Další příklady:
Pravděpodobnost, že padne sudý součet, je \.
Pravděpodobnost, že na červené kostce padne 1, je .
Prst, že padne sudý součet a na červené kostce 1, je ^ = ^.
2. přednáška Pravděpodobnost
Hádání čísla
Příklad (Hádání čísla)
Myslím si číslo od 1 do 50. Každý student z 50 si tipne, jaké je to číslo. Jaká je pravděpodobnost, že se někdo trefí?
Pravděpodobnost, že se trefí jeden konkrétní student, je ^. Pravděpodobnost, že se tento student netrefí, je §§. Prst, že se netrefí padesát studentů, je (gf)50 ~ 0,364. Prst, že se trefí aspoň jeden student, je 1 - (§§)50-Odpověď je:
cca 63,6%.
Kontrolní otázka: Jak se změní odpověď, pokud může každý student volit 2 čísla?
Další příklad:
Prst, že studenti zvolí různá čísla je Mô ~ 3,42 • 10~21.
2. přednáška Pravděpodobnost
Volba předsedy
Příklad (Volba předsedy)
Pětice delegátů volí ze tří kandidátů A, B a C předsedu strany. Volba probíhá tak, že každý napíše na lístek jedno jméno a kadidát je zvolen pokud se objeví aspoň na 3 lístcích. Jaká je pravděpodobnost, že bude zvolen některý kandidát?
Vyřešte samostatně.
153 243
63%
řednáška)
Jaká je pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve sportce? (Na tiketu tipujeme pouze jednu šestici.)
Musí se uhodnout všech 6 čísel. Počet všech možností
/49\
13 983 816. Prst je 139813816 ~ 0,000 007151%.
2. přednáška Pravděpodobnost
Nejjednodušší model pravděpodobnosti
Q množina všech možných výsledků, tzv. základní prostor. V předchozím fi = {cj-i ,..., un} byla vždy konečná množina. Prvky ijjj jsou tzv. možné výsledky. Každá podmnožina /icfi představuje možný jev. Přičemž pravděpodobnost jevu A je
2. přednáška Pravděpodobnost
Vlastnosti pravděpodobnosti
Takto definovaná skalární funkce P : V (Q) ->Kmá vlastnosti:
• je nezáporná, tj. P(A) > 0 pro všechny jevy A,
m je aditivní, tj. P{A u B) = P{A) + P {B), kdykoliv je A n B = 0, (additivnost platí pro jakýkoliv konečný počet po dvou disjunktních jevů Aj cíl,íe /),
• P(íí) = 1,
• pro všechny jevy A platí P(AC) = 1 - P(A).
2. přednáška Pravděpodobnost
Složitější model pravděpodobnosti
Základní prostor Q nemusí být konečný.
Místo všech podmnožin /icfi uvažujeme jen některé. Tzn. ne
všechny „podmnožiny" mohou nastat. Hovoříme pak o jevovém
poli A. Zde každý jev A e A je podmnožina Q. Požadujeme
přitom:
• Q g A, tzn. základní prostor je jevem,
• pokud A, B e A, pak Au B e A, An B e A, Ac = Q\A e A. Tzv. Booleova algebra.
2. přednáška Pravděpodobnost
Terminologie
9 Celý základní prostor Q se nazývá jistý jev.
• Prázdná podmnožina 0 = Qc g A se nazývá nemožný jev.
• Jednoprvkové podmnožiny {u} efise nazývají elementární jevy.
• Společné nastoupení jevů A-„ i g /, odpovídá jevu n,-e/A-
• Nastoupení alespoň jednoho z jevů A-„ i g /, odpovídá jevu u/e/A--
• Jevy /A, fí g A jsou neslučitelné, je-li /A n B = 0.
• Jev A má za důsledek jev B, jestliže Ac B.
2. přednáška Pravděpodobnost
Pravděpodobnostní funkce
Mějme základní prostor Q a konečné jevové pole A. Pravděpodobnostní funkce P : A ->• M je funkce, která má následující vlastnosti:
• nezápornost, tj. P(A) > 0 pro všechny jevy A,
• aditivnost pro jakýkoliv konečný počet neslučitelných jevů Aj c fi, / g /, tj.
P(u,e/A) = JI p(A), kdykoliv je A n Aj = 0, / ^ 7, ',7 e /■
9 P(Q) = 1.
2. přednáška Pravděpodobnost
Falešné kostky
Příklad (Falešné kostky)
Mějme dvě falešné kostky na kterých padá číslo 6 s větší pravděpodobností než číslo 1. Přesněji p(6) = \, p(5) = p(4) = p(3) = p(2) = i, p(1) = ±. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 6?
P(1, 5) = P(5, 1) = j2 " g' Pozn-: Fromálně správně P({(1,5)}).
P(2,4) = P(3,3) = P(4,2) = l-g, P(sívma6) = ^(1 + 2 + 2 + 2 + 1) = ^ = ±.
součet	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
prst	1	4	8	12	16	22	24	20	16	12	9
Další příklady:
Pravděpodobnost, že padne sudý součet, je j^. Pravděpodobnost, že na první kostce padne 1, je ^. Pravděpodobnost, že padne sudý součet a na první 1, je
2. přednáška Pravděpodobnost
Nekonečný základní prostor - příklad
Příklad (Náhodné číslo)
Volíme náhodně přirozené číslo, přičemž pravděpodobnost, že číslo bude větší nebo rovno 1 000 000 je 10 6 = 0.000 001 a ostatní čísla mají stejnou pravděpodobnost, tj. také 10 6. Jaká je pravděpodobnost, že dvě náhodně vybraná čísla jsou menší než 1 000 000 a budou mít stejný počet cifer?
Q = N. Jevy z A jsou konečná sjednocení elementárních jevů {n}, kde n < 1 000 000, a {x e N | x > 1 000 000}.
Vyřešte samostatně.
Ještě obecněji nemusí být jevové pole A konečné. Pak ale musíme mít další rozumné předpoklady ohledně nekonečně mnoha disjunktních jevů a sčítání jejich pravděpodobnostní. Předně musíme umět sčítat nekonečné součty.
2. přednáška Pravděpodobnost
Geometrická pravděpodobnost - příklad
Příklad (Setkání v menze)
Petr s Pavlem se dohodli, že se potkají v menze v době 12.00 až 14.30. Oba obědvají 30 minut a přijdou náhodně v intervalu 12.00 až 14.00. Jaká je pravděpodobnost, že se potkají?
• Základní prostor Q = (12,14) x (12,14) je čtverec v rovině - prvky jsou uspořádané dvojice časů příchodů.
• Jev, že se Petr s Pavlem potkají, je reprezentován jistým útvarem A ve čtverci Q, těch bodů (x, y), že \x - y\ < 0.5.
• Podíl obsahů      pak dává P(A) = ^. Další příklady:
Prst, že Petr přijde v době 12.00-13.00 a potkají se, je \ • ^. Prst setkání za předpokladu, že Petr přijde 12.00-13.00, je ^. Prst setkání za předpokladu, že oba přijdou 12.00-13.00, je \.
2. přednáška Pravděpodobnost
Geometrická pravděpodobnost
Q c R2 se známým obsahem.
Jevové pole A je vhodný systém podmnožin, u kterých
umíme určit jejich obsah. • Pravděpodobnostní funkce P : A
K '    vol Q
je dána vztahem
Příklad (Lámání úsečky)
Je dána tyč délky 2, na které náhodně zvolíme dva body v nichž tyč přeřízneme. Jaká je pravděpodobnost, že tři vzniklé úsečky tvoří strany trojúhelníku?
Vyřešte samostatně.
2. přednáška Pravděpodobnost
Podmíněná pravděpodobnost a nezávislé jevy
Definice
Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastane jev H je definována vztahem
pí a i m - p(Anhľ>
P(A\H)-    p{H) .
Pokud P(A | H) = P(A), říkáme, že jev A je nezávislý na H.
Vztah P(A) = P{A | H) znamená P{A n H) = P{A) ■ P(H) a tudíž i P(H) = P(H | A) (za předpokladu P(A) + 0). Častěji proto říkáme, že dvojice jevů A a H je (stochasticky) nezávislá.
Pozn.: Ještě lépe je nezávislost definovat přímo formulí P(An H) — P (A) ■ P(H). Pozn.: Všimněte si, že dva neslučitelné jevy nemohou být nezávislé.
2. přednáška Pravděpodobnost
Podmíněná pravděpodobnost - revize příkladů
Příklad (Setkání v menze - nezávislost jevů)
Jev A ... potkají se ... P{A) = ^.
Jev B... Petr přijde před jednou hodinou ... P(B) = \.
P{A n6) = ^ = P(B) ■ P(A), jevy AaB jsou nezávislé.
Jinak též P(A | B) = ^ = P(A).
Jev C ... oba přijdou před jednou hodinou ... P(C) = \ .
P{A | C) = | ý P(A)> Jevy Aa C nejsou nezávislé.
Kontrolní otázka: Je jev A nezávislý na jevu „Petr přijde v době 12.00-12.30"?
2. přednáška Pravděpodobnost
Podmíněná pravděpodobnost - revize příkladů - II
Příklad (Hádání čísla - nezávislost jevů)
Jev A ... někdo se trefí... P(A) ~ 0,636.
Jev B ... studenti zvolí různá čísla ... P(B) ~ 3,42 • 10
P(A | B) = 1 / P(A), jevy A a B nejsou nezávislé.
Příklad (Poctivé a falešné kostky)
Jev padnutí sudého součtu a jev padnutí 1 na první kostce, jsou jevy stochasticky nezávislé pro poctivou kostku, ale nejsou stochasticky nezávislé pro falešnou kostku.
2. přednáška Pravděpodobnost
Stochasticky nezávislé jevy
Jevy Ai,...,Ak jsou stochasticky nezávislé,jestliže pro libovolné z nich vybrané jevy A^,... ,Aie, ~\ < £ < k platí
P(A1n---nA,) = P(A1)--..-P(A,).
Příklad (Dvanáctistěnná kostka)
Základní prostor Q = {1,2,..., 12}.
Jev A = {2,4,6,8,10,12}- padne sudá - P(A) = \.
Jev B = {3,6,9,12}- padne číslo dělitelné 3 - P{B) = ±.
AnB = {6,12}; P{A n B) = \ = P{A) ■ P{B).
Jev C = {1,2,3,4,8,9}; P(C) = \.
AnC = {2,4,8}; P(An C) = £ = \ = P(A) • P(C).
ß n C = {3,9}; P(B n C) = ^ = i = P(ß) • P(C).
yinßnC = 0; P(/lnßnC) = 0^ = ±*± = P{A)P{B)P{C).
Jevy A, B a C jsou po dvou nezávislé, ale nejsou nezávislé.
2. přednáška Pravděpodobnost
Stochasticky nezávislé jevy - vlastnosti
• Podsystém nezávislých jevů je opět nezávislý.
• Pro dva stochasticky nezávislé jevy A, B platí
P(A n Bc) = P(A \B) = P(A) - P{A n B)
= P(^)(1 - P{B)) = P(A)P(BC).
• Odtud lze odvodit, postupnou volbou A = AH n • • • n Ak_^, že záměnou jednoho (nebo více) nezávislých jevů za jejich opačné jevy obdržíme opět nezávislé jevy.
2. přednáška Pravděpodobnost
Sjednocení nezávislých jevů
Často se hledá pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden ze stochasticky nezávislých jevů, tzn. hledáme P(A-\ u • • • u Ak).
Protože
A:u---uAk = (A% n • • • n Ack)c,
dostáváme
P(A, u • • • u Ak) =1 -P(^n- • -nAfi = 1 -(1 -P(A,))... (1 -P(Ak)).
Pozn.: Vzpomeňme příklad Hádání čísla.
2. přednáška Pravděpodobnost
Pravděpodobnost sjednocení jevů
• Stochasticky nezávislé - předchozí strana.
• Neslučitelné jevy
P{A, DA2u---uAk) = P(A,) + P{A2) + ■■■ + P{Ak).
• Obecně - složitější, ale zvládunutelné.
• a U b = (a \ b) U (a n b) U (b \ a), kde p(a \b) = p{a) - p(a n b). Odtud p(a U8) = p(a) + p{b) - p{a n 6).
» P(/Au BuC) = P(/\) + p{b) + p{c)- p(an B)
-p(a n C) - P(B nC) + P(/A n B n C).
Princip inkluze a exkluze.
Příklad (Dvanástistěnná kostka - sjednocení)
P{AuBuC) = P{A) + P(B) + P(C) - P{Anfí)- P{An C) -
P(enC) + P(/menC) = ^ + ^ + ^- ^-]-i + o =
^(6 + 4 + 6-2-3-2) = ^ = |
Zde 4 UfluC = {1,2,3,4,6,8,9,10,12}.
2. přednáška Pravděpodobnost
Příklad na princip inkluze a exkluze
Příklad (Rozesílání dopisů)
Máme poslat čtyři dopisy na čtyři adresáty. Napíšeme dopisy vložíme do obálky a zalepíme. Nyní nevíme, na kterou obálku která adresa patří, a proto napíšeme adresy náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že nikdo nedostane svůj dopis?
• Jev Aj... /-tý dopis bude v /-té obálce.
• ... všechna pořadí čísel 1,2,3,4. Tedy     = 4! = 24
• Chceme určit pravděpodobnost jevu (A U A2 U A3 u A)c - použijeme princip inkluze a exkluze.
• A-\ = {1234,1243,1324,1342,1423,1432},|A| = 3! = 6. Podobně |A| = 3! pro všechna /'.
• A n A = {1234,1243}, | A n Aj\ = 2! pro všechna / ^ j.
• A-\ n A2 n A3 : pokud dáme tři dopisy do správných obálek, pak dáme i čtvrtý. Tedy pro trojice máme \A-: C\AjC\Ak\ = 1.
2. přednáška Pravděpodobnost
Příklad na princip inkluze a exkluze - pokračování
\(AAuA2uA3uA4)c\   =   \n\ -\AA\ -\A2\ -\A3\ -\A4\
+\A, nA2\ + --- + \A3nA4\ -|A| n A2 n A3\ - ... - \A2 n A3 n A4 +\A-\ n/A2n/A3n/A4|
=  4! -4-3! + 6-2! -4-1 +1 =  24-24+ 12-4 + 1 = 9
Pravděpodobnost, že nikdo nedostane svůj dopis je
§5 = | = 37,5%.
Kontrolní otázka: Ověřte výpisem všech devíti možností.
Příklad (Rozesílání dopisů - obecně)
Řešme stejnou úlohu, kde rozesíláme n dopisů.
2. přednáška Pravděpodobnost
Princip inkluze a exkluze - finále
Pro A, n AÍ2 n • • • n Alk máme |A, n Aiz n • • • n Aik\ = {n- k)\
Počet všech /c-prvkových podmnožin je (£).
Proto je hledaná velikost množiny (A u A2 u • • • U An)c rovna
„l_n.(„_1)l + Q(„_2)l_Q(„_3)l + ...(_1)»Qoi
= EM)' (J) («-*)!= £(-1 )* £ = * • É(-1 )* tjí Následně pravděpodobnost, že nikdo nedostane dopis je
1-1+2T-3l + 4T-^-- = ^^2Í-4ô + ---36'8% Konverguje k hodnotě \.
2. přednáška Pravděpodobnost
Shrnutí, požadavky
• Pravděpodobnost: elementární příklady.
» Podmíněná a geometrická pravděpodobnost: obtížnost příkladů z přednášky.
• Princip inkluze a exkluze: příklady typu rozesílání dopisů (n < 5).
2. přednáška Pravděpodobnost
Princip inkluze a exkluze - přídavek
Příklad (Studenti u zkoušky)
Ke zkouškám ze tří předmětů přišlo 100 stejných studentů, přičemž známe následující statistiku. U předmětu A uspělo 60 studentů, u předmětu B uspělo 50 studentů a u předmětu C 70. Dále 35 studentů uspělo zároveň u předmětů A i B, 30 zvládlo B i C, a 40 A i C. Konečně 20 studentů uspělo u všech tří zkoušek. Kolik je studentů, kteří neuspěli ani u jedné zkoušky?
Vyřešte samostatně.
Příklad (Rozesazování s omezením)
Kolika způsoby můžeme posadit do řady 3 Němce, 3 Francouze a 3 Angličany tak, aby žádní tři krajané neseděli vedle sebe?
2. přednáška Pravděpodobnost
Rozesazování s omezením - řešení
Vlastnosti podle kterých dělíme všechna rozesazení jsou tři: 3 Angličani (resp. Francouzi, resp. Němci) sedí vedle sebe.
• Celkový počet všech rozesazení je 9!.
• Počet všech rozesazení, kdy sedí vedle sebe 3 Angličani: (i) pro pořadí Angličanů máme 3! možností, (ii) pro rozesazení 6 osob a jednoho bloku (trojice Angličanů) máme 7! možností. Tzn. celkem 3! • 7!.
Stejně pro trojici Francouzů (resp. Němců).
• Počet všech rozesazení, kdy sedí vedle sebe 3 Angličani a zároveň 3 Francouzi: počet pořadí Angličanů, krát počet pořadí Francouzů, krát počet rozesazení 3 Němců a dvou trojic (tedy 5 osob/bloků); celkem (3!)2 • 5!.
• Rozesazení, že sedí vedle sebe 3 Angličani, zároveň 3 Francouzi a zároveň 3 Němci je (3!)4.
• Celkem podle principu inkluze a exkluze dostáváme 9! - (3) • 3!7! + (l) ■ (3!)2 • 5! - (3!)4 = 283824.
2. přednáška Pravděpodobnost