Lineární modely - 4. přednáška
Geometrie v rovině
Ondřej Klíma 14. 3. 2013
4. přednáška
Geometrie v rovině
Osnova přednášky
• Afinní geometrie
• Euklidovská geometrie
• Shodná a lineární zobrazení
• Matice lineárního zobrazení a jeho determinant
4. přednáška
Geometrie v rovině
Souřadný systém
Motivace: chceme umět
• počítat s body a přímkami,
• měřit vzdálenosti a úhly,
• pracovat s přirozenými transformaci roviny.
Naším modelem bude afinní a Euklidovská geometrie.
Pozn.: Kořeny - Euklides (3. st. př. n. I.) axiomatická teorie.
Pozn.: Další možné geometrie: sférická, hyperbolická — není teď pro nás.
Souřadný systém:
• Počátek a dva základní posuny (kroky): (B, é}, e2).
• Bod X = B + a - ě\ + b - ě\ reprezentujeme dvojicí [a, b].
• Tedy B ~ [0,0], E, ~ [1,0].
• Rovinu reprezentujeme jako M2.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Přímky
Příklad
Popište přímku p procházející body P = [200,0] a O = [0,100]. Chceme znát směr této přímky. Víme b~Ó = bP> + P(3. Proto
PO = bo - bP> ~ [0,100] - [200,0] = (-200,100).
Konvence - body... hranaté závorky vektory ... kulaté závorky. Parametrický popis: P+t- PO = [200,0] + ř• (-200,100), tzn.
p = {[200 -200ř, 100r] | řeE}
nebo
p : x = 200 - 200ř, y = 100ŕ.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Přímky — obecná rovnice
• p : x = 200 - 200ř, y = 100í
Obecný popis - množina bodů daných vlastností: x + 2y = 200.
• Přechody
• par. -> ob. : x = 200-200r,y = 100řdá r = = odkud 200   x = 2y
• ob.^ par. : q : 2x - 9y = 10 vyřešíme y = §x - ^ a můžeme psát q : x = s,y — |s - ^
• = (-200,100) nebo násobek, např. (-2,1), je tzv. směrový vektor přímky.
• x + 2y = 200; koeficienty (1,2)- tzv. normálový vektor přímky.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Průsečík přímek
Příklad
Určete průnik (průsečík) přímek p : x + 2y = 200 a q: 2x-9y = 10.
• Obě přímky zadané obecnou rovnicí: řešíme soustavu.
• Jedna přímka obecně, jedna parametricky : dosadíme.
• Obě přímky zadané parametricky : sestaví se soustava a vyřeší.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Průsečík přímek — obecná diskuse
• Musí průsečík existovat?
(Ne, přímky mohou být rovnoběžné.)
Ekvivalentně:
ax + by cx + dy --
■- r s.
b d
o Eliminací x dostaneme rovnici {ad - bc)y = as - er, tj. záleží zda ad - be = 0.
Definice		
Pro matici	CS)	nazýváme hodnotu ad - bc determinant.
4. přednáška        Geometrie v rovině
Skalární součin vektorů (Euklidovská geometrie)
Definice
Pro dvojici vektorů u = (a, b) a v = (c, d) definujeme
(u, v) = ac + bd, tzv. skalární součin vektorů.
• u a v jsou kolmé, právě když (u, v) = 0.
• píšeme u _L v
• příklad: směrový a normálový vektor přímky
4. přednáška
Geometrie v rovině
Velikosti vektorů a úhlů (Euklidovská geometrie)
Definice
Velikost vektoru u = (a, b) je ||ív|| = \f{u, u) = V a2 + b2.
• Pro dvojici vektorů u = (a, b) a v = (c, d) se jejich odchylka spočítá pomocí vztahu:
cos q
(u, v) \u\\ ■ \\v\\
Rozlišujeme odchylku vektorů a přímek. Pro přímky:
\(u, v)\
COS q
\u\\ ■ \\v\
4. přednáška
Geometrie v rovině
Obsah trojúhelníka
Příklad "	
Mějme body A= [1,1],fl = [7,2], C = [5,5].	
Určete obsah AABC.	
Určete velikost úhlu u vrcholu A.	
	
Příklad	
Nalezněte formulku pro výpočet obsahu AABC, pokud v = A~é = (a, b) a u = AČ = (c, d).	
	
Obsah rovnoběžníku zadaného vektory u a v je	
	
Užitečné je ale i znaménko.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Orientovaný obsah a viditelnost
• Pro přímku p a bod x nám orientovaný obsah poskytuje nástroj jak rozhodnout, v které polorovině určené přímkou p se bod x nalézá.
• Nechť p má směrový vektor A~é. Vektory A~é a A~ř dáme do řádků matice. Pokud je determinant kladný, je bod x „nalevo od vektoru" äb . Pokud je determinant záporný je bod „napravo".
Pozn.: Nezáleží zda do řádků nebo sloupců. Důležité je pořadí vektorů.
Příklad
Jsou dány následující body: A = [10, -4], b = [18,6],
c = [25,18], p = [14,14] a r = [15,3].
Rozhodněte, které strany a vrcholy aabc jsou vidět z bodu P.
Rozhodněte, zdaje bod r uvnitř aabc.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Změna souřadného systému
• Máme dva souřadné systémy a = (B, áí, e2) a
• Známe (X)a = [x, y] a chceme určit (X)p = [?, ?].
• P~Ř = P~é + B~Ř = P~é + xď] + ye2.
• Potřebujeme znát {B)p, {e-\)p, {e2)p.
• Pokud (B)p = [aA,a2], (áí)^ = (/?i,/?2), (e2)/3 = (cA,c2), potom
4. přednáška        Geometrie v rovině
Podobnosti a shodnosti
Zkoumáme zobrazení F : R2 M2.
• Posunutí-jednoduché, přičítáme vektor w, F(u) = u + w. m Předokládejme v dalším, že F([0,0]) = [0,0].
• Základní vlastnost (lineární zobrazení):
F(u +v) = F(u) + F (v), F(t-u) = t- F(u), pro lib. ř e M.
• F(( y )) = F(xďl + yé^ = xF(ďl) + yF(é^'
Pokud F(ě\) = a-\ě\ + a2e2,F(e2) = b-\ě\ + b2ě2 potom
• Pozor linearita ještě neznamená podobnost.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Shodnosti a lineární zobrazení
• F(( y )) = A{ y )-kde^eMař2,2(M).
• Sloupce A jsou F( ^ ^   ) a F( ^ ^ ^), což pomáhá, když
chceme matici A určit.
• Skládání lineárních zobrazení odpovídá násobení příslušných matic.
Příklad
Napište formuli pro otočení o úhel a kolem počátku.
]
Příklad
Je dán pravidelný šestiúhelník se středem v bodě [2,2] a jedním vrcholem v bodě [3,3]. Napište souřadnice všech jeho vrcholů.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Shodná zobrazení
Příklad
Popište všechna shodná zobrazení roviny do sebe.
y
)
a b c d
9 Platí a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1, ab + cd = 0. Odtud
nebo
a c -c a
• Jedná se o rotaci nebo rotaci složenou se symetrií podle osy x.
• Rotace o úhel a má matici.
cos a -siná sin a    cos q
4. přednáška
Geometrie v rovině
Shrnutí, požadavky
• Příklady s přímkami — průsečíky úlohy s časem.
• Velikosti úseček a úhlů.
• Obsahy /i-úhelníků.
• Úlohy s aplikacemi shodných zobrazení.
• Úlohy na viditelnost.
4. přednáška
Geometrie v rovině
Přídavek
Příklad
Máme kulečníkový stůl o rozmněrech 200 x 100, tj. „levý dolní roh" má souřadnice [0,0] a „pravý horní roh" má souřadnice [200,100]. Ze středu [100,50] vyšlu kouli do bodu [160,100]. Do kterého bodu (po dvou odrazech) dopadne koule na „spodní hraně"?
■
[120,0]
Příklad
Napište formuli pro osovou souměrnost kolem osy, která svírá úhel a s osou x.
4. přednáška
Geometrie v rovině