Lineární modely - 6. přednáška Vektorové prostory, báze, dimenze, ortogonalizace Ondřej Klíma 28. 3. 2013 6. přednáška Vektorové prostory Osnova přednášky • Vektorové prostory • Báze a dimenze podprostorů • Souřadnice vektorů • Skalární součin, ortonormální báze 6. přednáška Vektorové prostory Motivace • Vektory - sčítání, násobky. • Uvažujme systém m lineárních rovnic pro n proměnných a předpokládejme, že jde o soustavu tvaru A ■ x = 0, tj. /au ... \ami ... \ / W W • Součet dvou řešení x — (x-\,..., xn) a y — (y-\,..., yn) splňuje A-(x + y) = A-x + A-y = 0 a je tedy také řešením. • Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a ■ x. • Máme tedy podmnožinu K" sestávající ze všech řešení soustavy M = {x e K" | A ■ x = 0} se sčítáním a násobky. 6. přednáška Vektorové prostory Vektorové prostory Vektorový prostor V nad polem skalám K je množina s operací sčítání, pro kterou jsou splněny axiomy komutativní grupy a násobení skaláry takové, že platí Připomenňme, že „axiomy komutativní grupy" jsou: • pro všechna u, v, w platí (u + v) + w = u + (v + w), • pro všechna u, v platí u + v = v + u, existuje vektor 0 tak, že pro všechna u je u + 0 = u, • pro všechna u existuje (-ív) tak, že u + (-u) = 0. a-(v + w) = a-v + a-w (a + b) ■ v = a ■ v + b ■ v a ■ (b ■ v) = (a ■ b) ■ v 1 • v = v (1) (2) (3) (4) 6. přednáška Vektorové prostory Vektorové prostory - příklady Rozumné (známé) příklady: • Vektory v rovině: M2. • Prostory vyšší dimenze: Rn. • Matice nad polem: Mar„,m(M). • Polynomy omezeného stupně: R4[x] = {<34*4 + a3x3 + a2x2 + a-,x + a0 | a4,a3,a2,a-,, a0 e M} Obecně Mn[x]. • Množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. • C vektorový prostor nad R. 6. přednáška Vektorové prostory Vektorové prostory - příklady II Poněkud složitější příklady: • Polynomy: R[x]. m Funkce: F(R) = {f : R ->• R}. 9 R vektorový prostor nad Q. Poslední dva jsou trochu divoké. Příklady množin, které netvoří vektorový prostor. • Z x Z nad R. m M = {x g Kn | A ■ x = b}, pro b nenulové. • Čtvercové matice s detrminantem 1. • Polynomy stupně n. 6. přednáška Vektorové prostory Vektorové prostory - vlastnosti Věta Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme skaláry a, b, a, e K a vektory u, v, u j e V. Potom 9 a ■ u = 0 právě když a = 0 nebo u = 0 9 (-1) • u = -U 9 a - (u - v) = a - u - a - v 9 (a - b) ■ u = a - u - b ■ u • (EÍLi Bi) ■ (££i uj) = E£i a/ • uy. 6. přednáška Vektorové prostory Výběr optimálních základních vektorů • Cíl: najít vhodnou, co nejmenší, základní množinu vektorů, tak aby bylo možné ostatní vektory pomocí nich vyjádřit. Definice • Výrazy tvaru a-\ • v-\ -\-----h ak • vk nazýváme lineární kombinace vektorů v-\,..., vk c V. 9 Množina vektorů M c V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá, jestliže pro každou /c-tici vektorů v-\,..., vk e M a každé skaláry a-i,..., ak g K platí: a-, - vi h-----h afc • vk = 0 ai = a2 = ■ ■ ■ = ak = 0. 9 M je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. 9 Pokud je M závislá, pak aspoň jeden z jejích vektorů je vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. (Platí i opak, pro M / 0.) 6. přednáška Vektorové prostory Lineární kombinace - příklad • Prostor /7-tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad q. • Např. pro m = 2, jsou vektory (1,0), (0,1) e R2 lineárně nezávislé, protože z a • (1,0) + b ■ (0,1) = (0,0) plyne a = b = 0. • Dále, vektory (1,0), (V2,0) g R2 jsou lineárně závislé nad R, protože V2 • (1,0) = (y/2,0). • Ovšem stejná dvojice vektorů (1,0), (V2,0) g R2 je lineárně nezávislá nad q! 6. přednáška Vektorové prostory Odstraňování přebytečných vektorů Základní množina vektorů, aby byla co nejmenší, musí být lineárně nezávislá. Jak to poznáme? Příklad Rozhodněte, zda jsou vektory v-\ =(1,1,1), v2 = (-1,0,1) a i/3 = (1,2,3) lineárně nezávislé (v reálném prostoru M3). /1 -1 1 °\ 1 0 2 0 \1 1 3 0 Soustava má řešení x-i = -2t,x2 = -t,x3 = t. Nás zajímá nějaké konkrétní vyjádření. Volme tedy t = 1. Potom -2- - v2 + v3 = 0, tzn. 1/3 = 2-1^ + v2. Zkouška: 2^ + v2 = (2,2,2) + (-1,0,1) = (1,2,3) = v3. Odpověď: zadané vektory jsou lineárně závislé. 6. přednáška Vektorové prostory Odstraňování přebytečných vektorů II Rozhodněte, zda jsou vektory x3 - x + 1, 2x3 + x2 - 2x, x4 + x3 - x a x4 - x2 + 1 lineárně nezávislé. x4 : / 0 0 1 1 o \ x3: 1 2 1 0 0 x2: 0 1 0 -1 0 x1 : -1 -2 -1 0 0 x°: \ 1 0 0 1 o ) Odpověď: jsou lineárně závislé. Postup (obecně): vektory dáme do (sloupců) matice a řešíme. Pozn.: Jde i jinak. Dává se do řádků, ale pak musíte umět interpretovat. 6. přednáška Vektorové prostory Podprostory Umíme se zbavovat přebytečných vektorů z potencionální základní množiny. Máme jich ale dost? Tj. stačí na vyjádření všech vektorů? K tomu definujeme další užitečný pojem. Definice Podmnožina U c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Va, bsK, y v, w g U, a - v + b ■ w g U. Příklady: • Rn[x] c R[x]. • tec. • M = {x g Kn j A ■ x = 0} c Kn. m Sudé funkce/polynomy {f g M4[x] | f(x) = f{-x)} c M4[x]. Přesněji: {f g M4M | (Vc g M)(/:(c) = ř(-c))}. 6. přednáška Vektorové prostory Generování podprostorů • Nechť Wj, i g /, jsou podprostory ve V, a, b g K, u, v g D/e/ Wj. Pak pro všechny / g /, a • ív + b ■ v g což znamená, že a • u + £> • y g f]iel Wj. o Tzn. průnik podprostorů je opět podprostor. • Zejména je tedy podprostorem průnik všech podprostorů W c V, které obsahují danou množinu vektorů Mel/. 9 Říkáme, že M generuje podprostor (M), nebo že prvky M jsou generátory podprostorů (M). Pro každou podmnožinu M c V platí (M) = {a-, • ív-h-----vak- uk\ k g N, a,- g K, g M}. 6. přednáška Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Definice • Podmnožina M c V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. • Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze nazýváme dimenzí V. 9 Nemá-li V konečnou bázi,!/je nekonečněrozměrný. a Píšeme dim V e N, resp. dim V = oo. 9 Je-li V konečněrozměrný, pak bázi rozumíme uspořádanou /c-tici a = ,..., vk) bázových vektorů. Pozn.: Všimněme si, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je "prázdnou"bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Důležitá otázka Rádně si promysleme, co znamená (M) konečné množiny generátorů. (N), kde M, N jsou 6. přednáška Vektorové prostory Báze - základní poznatky Věta • Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. 9 Všechny báze V mají stejný počet vektorů. 9 Předchozí defince dimenze je korektní. Zapamatujme si: • Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. 9 Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny. • Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů. 6. přednáška Vektorové prostory Báze - příklady • M2: báze ((1,0), (0,1)); dimenze 2. • Rn: báze fa, e2,..., en), kde e, = (O,..., 0,1,0..., 0); dimenze n. • Matn,m{R)'- dimenze nm. m R4[x]\ báze (x4,x3,x2,x, 1); dimenze 5. (M4[x] = {a4x4 + a3x3 + a2x2 + a-,x + a0 | a4, a3, a2, a!, a0 g M}) • C: báze (1, /'); dimenze 2. (nad R) Ovšem pokud uvažujeme C jako vektorový prostor nad C, pak má dimenzi 1. • ({(1,1,1), (-1,0,1), (1,2,3)}) = ({(1,1,1), (-1,0,1)}) dimenze 2. 6. přednáška Vektorové prostory Báze - příklad s polynomy Příklad Je dán vektorový prostor V = R4[x]. Určete bázi a dimenzi podprostorů P, Q, P n Q, kde P = {f g R4[x] I (Vc g M)(f(c) = f(-c)) } , Q = ({x3 - x + 1, 2x3 + x2 - 2x, x4 + x3 - x, x4 - x2 + 1 }) . • Už jsem spočítali bázi a dimenzi Q: dimenze je 3 a báze (x3 - x + 1, 2x3 + x2 - 2x, x4 + x3 - x). • P má bázi (x4, x2,1) a dimenzi 3. • Hledáme skaláry a, £>, c, p, q, r tak, aby ax4 + ibx2 + c = pv-\ + qv2 + rv3. • To vede na řešení následující soustavy. 6. přednáška Vektorové prostory Báze - příklad s polynomy - pokračování /1 0 0 0 0 1 \ ( 1 0 0 0 0 1 \ 0 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -1 -2 -1 0 0 0 1 2 1 \o 0 1 1 0 o ) ^ o 0 0 0 0 o / • Řešení: q, r volné promněné, p = -r - 2q. • V průniku jsou tedy vektory tvaru {-r - 2q) • (x3 - x + 1) + q • (2x3 + x2 - 2x) + r • (x4 + x3 - x) = q ■ (x2 - 2) + r ■ (x4 - 1). • Proto P n Q má bázi (x2 - 2, x4 - 1) a dimenzi 2. 6. přednáška Vektorové prostory Součet podprostorů Definice Nechť Vj, i g /, jsou podprostory ve V. Pak podprostor (U/e/ Vi)> nazýváme součtem podprostorů V-,. Značíme ^(g/ V-,. • Pro V,,...,VkcV, v^+--- + vk = (v^uv2u---uvk) = = {vA+--- + vk; Vjt Vj,i=-\,...,k}. Pro U, W podprostory v konečněrozměrném V platí 9 dim U < dim V, 9 U = V právě když dim U = dim V, 9 dim U + dim W = d\m(U + W) + dim(L/ n W). Vektorové prostory Příklad s polynomy - součet podprostorů Příklad Určete bázi a dimenzi podprostorů P + Q. • Sjednotíme báze a dostaneme množinu generátorů. • Z ní vybereme bázi P + Q. • Protože to už máme mimoděk spočítáno: báze P + Q je například (x4, x2,1, x3 - x + 1) a dimenze je 4. • Zkouška: dim P + dim Q = dim(P + Q) + dim(P n Q). • Závěr. Báze a dimenze P + Q a P n Q lze počítat současně. 6. přednáška Vektorové prostory Souřadnice vektoru • Když je a = ,..., vn) baze V, můžeme každý vektor v d V psát jako lineární kombinaci v = a-i v-\ h-----Y anv, • Pokud to lze udělat dvěma způsoby v = a\ ľi + • • • + anvn = £>i + • • • + bnvn, potom 0 = (a-i — • y-i h-----h (a„ - b„) • y„ a proto a, = £>, pro všechna / = 1,..., n. • Závěr, každý vektor lze zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinace bázových vektorů. Definice Koeficienty této jediné lineární kombinace, vyjadřující daný vektor / e l/ve zvolené bázi a = ,..., vn), se nazývají souřadnice vektoru v této bázi. Píšeme (v)a = (a-i,..., an). 6. přednáška Vektorové prostory Souřadnice vektoru - příklad Určete souřadnice vektoru u = (3,1,2) bázi a = ((1,1,1), (1,1,0), (2,0,0)) prostoru R3. • Hledáme skaláry a, b, c takové, že a(1,1,1) + Ď(1,1,0) + c(2,0,0) = (3,1,2). • Tudíž potřebujeme vyřešit soustavu • Tedy (u)a = (2,-1,1). • Tzn. opět dáváme vektory do sloupců a eliminujeme. • Označíme-li e = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)), tzv. kakonickou bázi, pak (u)e = (3,1,2). • Transformace souřadnic pro různé báze - příště. 6. přednáška Vektorové prostory Reprezentace konečněrozměrných prostorů • Uvažme zobrazení ipa, které vektoru u = a^v^ -\-----\- anvn přiřadí jeho souřadnice v bázi a = (i^,..., vn). Tj. ipa : V ->• Kn, (fa{u) = (u)a- Zřejmě je 0 a je roven 0 pouze při v = 0. • Termín „bilineární symetrická forma" znamená: • (u, v) = (v, u) • (u+v,w) = (u, v) + (w, v) • (a-u,v) = a- (u, v) • My budeme pracovat s klasickým případem, kdy V = Rn a ((xt ,x2,...,xn), (/i,y2, • • •,yn)) = + • • • + xnyn ■ • Zajímavější příklady jsou V = F(R) a (u, v) = /J u ■ vdt. • Předchozí lze uvažovat např. v M3[x]. 6. přednáška Vektorové prostory Ortogonální a ortonormální báze Definice Velikost vektoru v se definuje jako IMI = vV>v) ■ 9 Vektor v se nazývá normovaný, jestliže ||y|| = 1. 9 Vektory v, w e V se nazývají ortogonální, jestliže (v, w) = 0. 9 Báze prostoru V složená z ortogonálních vektorů se nazývá ortogonální báze. 9 Jsou-li bázové vektory navíc i normované, je to ortonormální báze. 6. přednáška Vektorové prostory Ortogonální báze - příklad Příklad Nalezněte ortogonální a ortonormální bázi podprostoru p = ({(1,1,1,1), (1,0,0,3)}) vektorového prostoru R4 s obvyklým skalárním součinem. • Rádi bychom zaměnili u2 = (1,0,0,3) nějakým vhodným vektorem v2, který by byl kolmý k vektoru ^ =(1,1,1,1). • Chceme ({^, v2}) = P, proto v2 = au-\ + bu2 = av-\ + bu2. m Zřejmě nemůže vyjít b = 0. • Když má v2 vlastnosti ({^, v2}) = P, v2 _l v-\ pak má tytéž vlastnosti i libovolný nenulový násobek v2. Proto lze hledat v2 ve tvaru av-\ + bu2, kde b = 1. • Z (av-\ + u2, v-\) = 0 dostaneme a - (v-\, v^) + (t/2, ľi) =0. Odtud a = - . V našem případě a = -1. • Tedy v2 = -vA +u2 = (0,-1,-1,2). 6. přednáška Vektorové prostory Ortogonální báze - příklad - pokračování Příklad Nalezněte ortogonální a ortonormální bázi podprostoru R = ({(1,1,1,1), (1,0,0,3), (1,2,1,0)}) vektorového prostoru R4. • Už víme R= ({v^, v2, ív3}) a zaměníme ív3 = (1,2,1,0) vektorem v3 = u3 + av-\ + bv2. • Z (t/3 + av-\ + bv2, v-\) = 0 s využitím v2 _l Ví dostaneme (ív3, v,) + a- (vA,vA) = 0. • Podobně (ív3, v2) + b - (v2, v2) = 0. • Zde konrétně vyjde a= -\,b = \, tzn. v3 = (1,2,1,0) + (-1,-1,-1,-1) + (0,-1 -i,1) = (0,1,-1,0). • Na závěr normujeme, pokud chceme ortonormální bázi. 6. přednáška Vektorové prostory Existence ortonormální báze Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces: Věta Nechť (ív-i ,..., Uk) je lineárně nezávislá k-tice vektorů prostoru V se skalárním součinem. Pak existuje ortogonální systém vektorů (v-\,..., vk) takový, že v,- e (tv-i,...,Uj), i = ~\,...,k. Získáme je následující procedurou: 9 Z nezávislosti vektorů u-, plyne u-\ ^ 0. Položíme v-\ = u-\. 9 Máme-li již vektory v-\,..., vt potřebných vlastností klademe (ui+-\, Vj) vw=ue+i+aivi+--- + aeve, a\= _ Kdykoliv máme ortogonální bázi vektorového prostoru V, stačí vektory vynormovat a získáme bázi ortonormální. 6. přednáška Vektorové prostory Požadavky Typické příklady: • Určit bázi a dimenzi podprostoru. (užitečné dovednosti: výběr báze zezadané množiny generátorů, doplnění množiny vektorů na bázi). • Průnik a součet podprostoru - opět báze a dimenze. • Určit souřadnice vektoru v bázi. • Najít v podprostoru ortogonální, resp. ortonormální bázi. 6. přednáška Vektorové prostory