Vlastnosti lineárních zobrazení - 7. přednáška
Matice lineárních zobrazení, vlastní čísla a vektory
Ondřej Klíma 4. 4. 2013
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Osnova přednášky
• Definice lineárního zobrazení
• Matice lineárního zobrazení
• Matice přechodu
• Vlastní čísla a vektory
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Připomenutí definic a pojmů
Definice
Nechť U a V jsou vektorové prostory nad polem skalárů K. Zobrazení ip : U    V se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí:
O Vu,veU : <p(u+v) = tp(u) + </>(v),
O Va e K, Vív e 1/ : ip{a- u) = a- <p(u).
• </?: M2    M, </>((x, /)) = xy - není lineární zobrazení.
• ip : M2    M, </>((x, /)) = x2 + 3y - není lineární zobrazení
• ip : M2    M, ip((x, y)) = 3x + 1 - není lineární zobrazení.
• tp : M2 ->• R2, tp{{x,y)) = (ax + by, cx + c/y) - je lin. zob.
zd.W(*.y»=(2 5)-(í>
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Příklady lineárních zobrazení
Následující zobrazení jsou lineární z R2 do sebe:
• Prodloužení nebo zkrácení vektoru La((x, y)) = a - (x, y).
• Rotace o § v kladném smyslu Lr((x, y)) = (-/, x).
• Obecněji, rotace o úhel ip v kladném smyslu
.,,    „    / cos V'  - sin ip \ ( x \ L«x>y»={s\n1, cos^JUl
• Projekce vektoru na osu y, např. Lp((x, y)) = (0,y).
<w«=(S!)-
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Matice lineárního zobrazení
• U vektorový prostor s bází a = (ív-i , u2,..., un), dimU = n, V vektorový prostor s bází (3 = (v-\, v2,..., vm), dimV = m.
• ip : U    V lineárni zobrazení.
• Pro u = a-i ív-i + a2u2... anun máme
ip{u) = aw{ui) + a2(p{u2) + ■■■ + an<p{un).
• Tedy ip : U    V je zadáno hodnotami na vektorech z a.
• Máme (a-i, a2,..., an) = (u)a a tedy
(v(w))í = ai       )) J + 32{if{u2))l + ■■■ + a„{<p{u„))l,
(V(W))J = ( (^(U2))/3, • • • , (^K))/?) • (íV)I-
• (</?(u))J =A(i/)£, kde A matice m x n.
• A = {(f)i3ta — matice lineárního zobrazení (od a k (3).
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Lineární zobrazení při reprezentaci prostorů
u
v
m
Příklad
Nechť ip : M3    M2 je pro dáno předpisem:
<p(u) = xA vA + (x3 - x2) v2,
kde u = (x1,x2,x3), v-\ = (2, -1), v2 = (1,-2). Určete matici lineárního zobrazení ip
a) v bázích e3 = fa, e2, e3) a e2 = (e^, e2) (standardní báze prostorů M3 a M2),
b) v bázích e3 = fa, e2, e3) a /3 = (^, v2).
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Příklad - matice zobrazení - a)
• Definice: ip(u) = x^v^ + (x3 - x2) v2„ kde
u = (xA,x2,x3), vA = (2,-1), v2 = (1,-2).
• Z definice zobrazení
• Dle konstrukce matice zobrazení, potřebuje
(¥>(©i))£2 = ^(e0= =(2,-1), (v(e2))e2 = v(e2) = -^2 = (-1,2), Ke3))e2 = </?(e3) = i/2 = (1,-2).
• Při obou postupech jsme dostali
i) :
Příklad - matice zobrazení - b)
Řešení části b):
• Podle druhého postupu potřebujeme určit
(¥>(ei))0 = (vi)0 = (1,O), ^(e2))^ = (-i/2)^ = (0,-1), ^(e3))^ = (^ = (o,i).
• Dáme do souřadnice do sloupců
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Příklad - matice zobrazení - polynomy
Příklad
Uvažme zobrazení ip -. M2M dané předpisem
(p(g) = g' + x • g. Nalezněte matici zobrazení v obvyklých bazích a = (x2, x, 1) a (3 = (x3, x2, x, 1).
• Pro g = ax2 + bx + c máme
p(g) = (2ax + b) + (ax3 + bx2 + cx) = ax3 + bx2 + (2a + c)x + £>.
• Tj. (g)a = (a, fc, c) a (^(flf))^ = (a, /?, 2a + c, /?).
• Tzn. hledaná matice A má vlastnost A • (a, b,c)T = (a, jb, 2a + c, b)T.
• Proto
/ 1 o 2
V o
o \
0
1
0/
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Příklad - matice zobrazení - polynomy - pokračování
• Zadání: ip(g) = g' + x ■ g, a = (x2, x, 1) a (3 = (x3, x2, x, 1).
Druhý postup:
• <p(x2) = 2x + x3, tj. (^(x2)^ = (1,0,2,0).
• <p(x) = 1 + x2, tj. {<p{x))p = (0,1,0,1).
• y>(1) = 0 + x,tj. (^(x)^ = (0,0,1,0).
• Opět
/ 1   0  0 \ , 0 10
VP)p,a =       2    0 1'
\0  1 0/
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Transformace souřadnic - matice přechodu
Definice
Buď dán vektorový prostor dimenze n a jeho dvě báze a a (3. Matice přechodu od báze a k bázi (3 je taková matice A , že (u)p = A-(u)a.
• Z předchozího víme, že A = (id)^ a umíme ji spočítat.
• Matice přechodu od (3 k a je matice B, pro kterou platí
/A • B = B ■ A = E. Tj. B = {\ó)a:f3 = A^ - umíme spočítat.
• Obecněji: ip: U^-Vaip: V^-W lineární zobrazení. Dále a báze U, (3 báze V, 7 báze W. Pak
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Skládání lineárních zobrazzení
Jako příklad skládání lineárních transformací R2    R2 uveďme
složení dvou rotací. Jak jsme dříve ukázali, rotace o úhel S
v kladném smyslu je (ve standardní bázi) reprezentována maticí
cos 5 sin S
- sin ó
COS Ô
podobně pro matici     rotace o úhel
Jejich složení (v libovolném pořadí) zřejmě odpovídá rotaci
o úhel 5 + u, proto
ícos(S + u) - s\n(S + u)\_ícosu - sin cj \/cos <5 -siná \sin(<5 + íj)   cos(á + uj) ) ~ \ sin u   cosu)\sm5 cosá
Odtud mj. dostáváme platnost známých součtových vzorců pro goniometrické funkce.
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Příklad
o Definice: ^(u) = x-| ^ + (x3 - x2) v2, kde u = (x1,x2,x3), y, = (2,-1), u-2 = (1,-2).
9 Spočítali jsme (^)e2,Ě3 = í _i    2  -2 )'
» Matice přechodu od báze /3 = (i/í, v2) k bázi e2 je
(id)e2,/3 = ((l/1)[2,(l/2)e2)7 = (l/1,l/2) =
a Proto
(id)Ae2 = (id)^
{<Ph,ca = (id)/3,e2(^)e2,e3 = \ » Vynásobením opět {<p)p,e3 =
2     1 \ /   2   -1     1 \
—1 —2 / V —1   2 -2 y"
1    o o \ 0-1 1 j"
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Příklad — geometrické zobrazení
Příklad
Napište matici zobrazení ve standardní bázi, které je transformací prostoru M3 a to symetrií podle přímky se směrovým vektorem (1,1,1).
Výsledek:
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Vlastní čísla a vektory
V předchozím příkladě byly užitečné vektory splňující rovnici ip(u) = A ■ u pro nějaké skaláry A. (konkrétně A = 1, A = -1).
Definice
Skaláry A vyhovující rovnici ip(u) = A • u pro nenulový vektor u d V nazýváme vlastní čísla (hodnoty) zobrazení <p (eigenvalues), příslušné vektory u pak vlastní vektory zobrazení <p (eigenvectors).
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Vlastní čísla a vektory - příklad
Příklad
Uvažujme matici A a vektory u a v, kde
Jsou tedyA-i = -1 a A2 = 2 vlastní hodnoty matice A a jejich příslušné vlastní vektory jsou právě vektory u (proA-i = -1) a v (pro A2 = 2).
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Vlastní čísla a vektory - jak na ně?
Příklad ^		
Matice B = prostoru M2.	{ -10 -3) (V prostoru C	nemá vlastní čísla a vektory v 2 vlastní čísla a vektory má.)
• Buď íp : V    V lineárni zobrazení na vektorovém prostoru
dimenze n nad skaláry K. m Rovnost <p(u) = X ■ u zapsaná s využitím matice zobrazení:
A-x-X-x = (A-X-E)-x = 0.
• Taková soustava rovnic má netriviální řešení x ^0 právě tehdy když det(^\ - A • E) = 0.
• det(/A - A • E) je ve skutečnosti polynom stupně n -hledáme jeho kořeny. (Příklad: (-1 - A)(-3 - A) + 10 = A2 + 4A + 13 nemá reálné kořeny.)
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Charakteristický polynom
Definice
Pro matici A dimenze n nad K nazýváme polynom \A - XE\ g Kn[\] charakteristický polynom matice A. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní hodnoty matice A. Je-li A matice zobrazení <p : V ->• V v jisté bázi, pak \A - XE\ nazýváme také charakteristický polynom zobrazení <p.
i<
Z definice vlastních čísel je zřejmé, že jejich výpočet nemůže záviset na volbě báze. Skutečně, jako přímý důsledek trasformačních vlastností a Cauchyovy věty pro výpočet determinantu součinu dostáváme jinou volbou souřadnic (podobnou) matici A' = F' 1AP s invertibilní maticí P a
\P ^AP - XE\ = \P-\A-XE)P\ = \P-^\\{A-XE)\\P\ = \A-XE
protože násobení skalárů je komutativní a |P~11 = |P|~1.
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Podprostor vlastních vektorů
Je-li u vlastní vektor matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také libovolný jeho (nenulový) násobek vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože
A (au) = a (Au) = a (Au) = A (au).
Podobně, jsou-li u, v vlastní vektory matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také jejich součet vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože
A(u +v) = (Au) + (Av) = (A u) + (A v) = A (u + v).
Vlastní vektory příslušející téže vlastní hodnotě tedy tvoří (společně s nulovým vektorem) podprostor vektorového prostoru Kn. To také zdůvodňuje terminologii „vlastní prostor".
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Podprostor vlastních vektorů - příklad
Příklad "		
Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice A =	CO CM CM O	•
l/A - A El
2-A 3 0 2-A
(2 - \f
• Proto je A-i = 2 (násobnosti 2) jediná vlastní hodnota.
• Výpočet vlastního prostoru pro A-i = 2:
{A-\iE\0) = (A-2E\0)
0 3 0 0
• Vlastní prostor pro A-i = 2 je ((1,0)).
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Obecné poznatky
Věta
Vlastní vektory lineárního zobrazení (p : V V príslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé.
Věta
Jestliže existuje n navzájem různých kořenů A, charakteristického polynomu zobrazení ip -. V    V, d i m V = n, pak existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má <p diagonální matici (s vlastními čísly na diagonále). Příslušnou bázi obdržíme řešením n systémů homogenních lineárních rovnic o n neznámých s maticemi (A - A, • E), kde A je matice <p.
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Obecné poznatky II
Věta
Symetrické matice nad R mají všechna vlastní čísla reálná.
Věta
Pro ortognormální matici A nad R (resp. C), tj. sloupce tvoří oronormální bázi, mají vlastní čísla absolutní hodnotu 1.
Pro ortognormální matici A platí, že A~1 = AT.
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Shodná zobrazení
Odtud lze analyzovat geometrická zobrazení (shodnosti) v M3.
• Polynom stupně tři má vždy reálný kořen.
• Trojnásobný kořen 1 — identita.
• Trojnásobný kořen -1 —středová souměrnost.
• Kořen 1 a dvojnásobný kořen -1 —osová souměrnost.
• Kořen -1 a dvojnásobná 1 — souměrnost podle roviny.
• Jednoduchý kořen 1 a dva komplexně sdružené nereálné kořeny — otáčení kolem osy vlastního vektoru příslušnému vlastnímu číslu 1, o argument komplexního vlastního čísla.
• Jednoduchý kořen -1 a dva komplexně sdružené nereálné kořeny — složení dvou předchozích zobrazení.
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Příklad na ortonormální matici
Příklad
Ve standardní bázi je dána následující matice zobrazení. Určete o jaké zobrazení se jedná.
• Vlastní vektory: dvojnásobná 1 a jednoduchá -1.
• Vlastní prostor pro 1: rovina kolmá k (1,1,1).
• Vlastní vektor pro -1: (1,1,1).
• Závěr: souměrnost podle zmíněné roviny.
7. přednáška        Lineárních zobrazení
Požadavky
• Určit matici lineárního zobrazení ve standardní bázi.
• Změna báze - matice přechodu.
• Výpočet vlastních čísel a vektorů.
o Identifikovat vK2aK3 geometrické zobrazení analýzou vlastních čísel a vektorů.
7. přednáška        Lineárních zobrazení