Lineární modely - 8. přednáška Afinní geometrie Ondřej Klíma 11. 4. 2013 8. přednáška Afinní geometrie Osnova přednášky • Afinní (pod)prostory • Parametrický a implicitní popis • Soustavy rovnic - revize • Průniky a další standardní příklady • Afinní kombinace bodů • Konvexní množiny 8. přednáška Afinní geometrie Geometrie ve vícerozměrném prostoru • Cíl: geometrie v M3 (obecně Rn). • Potřebujeme kromě vektorů také body, tj. uvažujeme (B, V), kde B je množina bodů, V vektorový prostor. • Navíc máme operaci „přičtení vektoru k bodu": + : Bx V -+B. • Dále operaci „rozdíl bodů": - : B x B ->- V, [A,B)^ B-A = ÄÉ. 8. přednáška Afinní geometrie Afinní prostory Definice Buď V = W vektorový prostor. Standardní afinní prostor An= Mn je množina všech bodů v Rn spolu s operací, která bodu A = (a-i,..., an) g An a vektoru v = (v-\,..., vn) g V přiřadí bod A + v = (a-i + ^,..., an + vn) g -4n- Tato operace splňuje následující tři vlastnosti: O A + 0 = A pro všechny body /leina nulový vektor 0 e V, O /A + (ľ + w) = (/A + v) + w pro všechny vektory v, w g 1/, a body /A g A?, O pro každé dva body A,B e An existuje právě jeden vektor v e V takový, že A + v = B. Značíme jej B - A, nebo ÄB. Vektorový prostor V nazýváme zaměření afinního prostoru An- Pozn.: Abychom předešli nejasnostem, tak oddělíme formálně množinu An a V\aW, že body z An píšeme do hranatých závorek: A — [a-\,...,an] e An- 8. přednáška Afinní geometrie Afinní prostory - poznámky • Obecně lze místo Rn vzít jakýkoli vektorový prostor. Pozn.: Pak nelze použít konvence s hranatými závorkami a musí se dávat větší pozor ve formálních detailech. • Nebo ještě obecněji lze postupovat způsobem naznačeným na první straně: (B, V) .... Pozn.: Zde je pak opět potřeba zvýšené opatrnosti, protože stejný symbol + používáme pro dvě různé operace: přičtení vektoru ze zaměření V k bodu v afinním prostoru An, ale také sčítání vektorů v zaměření V. • Z definice standardního afinního prostoru okamžitě plyne pro libovolné body A, B, C v afinním prostoru An A-A=0eV B-A = -(A-B) {B-A) + {C-B) = {C-A). 8. přednáška Afinní geometrie Afinní souřadná soustava Pokud zafixujeme jeden pevný bod A0 e An a pevnou bázi a ve tak dostáváme pro každý bod A e A jednoznačné vyjádření A = A0 + x: t/-, h-----h xnun. Definice Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (A0; u^,...,un) zadané počátkem afinní souřadné soustavy A0 a bazí zaměření a. Afinní souřadnice bodu A v soustavě (A0; a) jsou souřadnicemi vektoru A - A0 v bázi a zaměření V. Afinní souřadnice bodu A = A0 + x-| ív-i h----+ xnt/n v soustavě (A) I*-/!,..., ívn) jsou [Xi,...,Xn]. 8. přednáška Afinní geometrie Afinní podprostory Definice Neprázdná podmnožina M afinního prostoru An se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v An, je-li podmnožina W = {B - A 6 V \ A, fí £ M} vektorovým podprostorem prostoru V a pro libovolné A&M, ve W \e A + v & M. '- • Pro afinní podprostor M v afinním prostoru se zaměřením V značíme vektorový podprostor Z{M) = {B-A\B,AeM}cV a hovoříme o zaměření afinního podprostoru M. • Dimenzí afinního (pod)prostoru rozumíme dimenzi jeho zaměření. • Afinní podprostor zapisujeme M = A + Z(M). • Průnik afinních podprostoru je afinní podprostor nebo 0. 8. přednáška Afinní geometrie Parametrický popis Nechť M = A + Z(M) je afinní podprostor v An a (ív-i,..., uk) je báze Z(.M) c W. Pak vyjádření podprostoru .M = {A + Uui +... + tkuk | el} nazýváme parametrický popis podprostoru M. Příklad Parametricky vyjádřete rovinu p:2x + 3y-z+1 = 0v A3. m Řešení: p = {(x, y, 2x + 3y + 1) | x, y g M} = {[0,0,1]+x(1,0,2) + y(0,1,3) |x,/gM}. • Všimněme si, že vektory tvořící bázi zaměření (1,0,2) a (0,1,3) jsou kolmé na vektor (2,3,-1) koeficientu v rovnici pro p. Tento vektor nazýváme normálový vektor roviny. • Podobně to dopadá, když uvažujeme jednu rovnici v Rn. 8. přednáška Afinní geometrie Příklad z přednášky o soustavách rovnic Příklad Soustava lineárních rovnic. í2 4 1 5 -1 1 ^ f 1 2 0 2 0 0 \ 1 2 0 2 0 0 0 0 1 1 -1 1 1 2 0 3 1 2 0 0 0 1 1 2 \2 4 2 5 -3 o) l o 0 0 0 0 0/ Řešení: [-4,0, -1,2,0] + ř(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2, -1,1). Jak lze určit dimenzi afinního prostoru řešení? 8. přednáška Afinní geometrie Hodnost matice Definice Buď dána matice A s n řádky a m sloupci, tj. každý z m sloupců je prvek Rn a každý z n řádků je prvek Rm. 9 Hodnost matice A je počet nenulových řádků po Gaussově eliminaci. • Sloupcová hodnost matice A je dimenze podprostoru Rn generovaného sloupci. • Řádková hodnost matice A je dimenze podprostoru Rm generovaného řádky. • Pro libovolnou matici se všechny uvedené hodnosti rovnají. • Soustava A ■ xT = b má řešení právě tehdy když hodnost matice A je rovna hodnosti rozšířené matice (A \ b). m Pokud má soustava A ■ xT = b řešení, pak se jedná o afinní podprostor dimenze m - k, kde m je počet sloupců v matici A a k je hodnost této matice. 8. přednáška Afinní geometrie Od parametrického vyjádření k implicitnímu • Každá soustava zadává tedy nějaký afinní podprostor. • Platí to i naopak? Je libovolný afinní podprostor An-řešením nějaké soustavy? Příklad Nalezněte nějakou soustavu lineárních rovnic, jejíž řešení je [-4,0, -1,2,0] + ř(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2, -1,1). • Ano, vždy to jde. Hovoříme o implicitním vyjádření afinního podprostoru. o Povšimněme si, že jeden afinní podprostor má více implicitních a více parametrických vyjádření. • V případě nadrovin, tj. podprostoru dimenze n - 1, kde n je dimenze celého prostoru, stačí najít normálový vektor. 8. přednáška Afinní geometrie Od parametrického vyjádření k implicitnímu II Věta Nechť (A0; a) je afinní souřadný systém v n-rozměrném afinním prostoru A. Afinnípodprostory dimenze k v A, vyjádřené v daných souřadnicích, jsou právě množiny řešení řešitelných systémů n - k lineárně nezávislých lineárních rovnic v n proměnných. 8. přednáška Afinní geometrie Průnik afinních podprostorů Metoda výpočtu průniku afinních podprostorů MaJ\í závisí na vyjádření prostorů. (Totožné s tím co jsem již dělali v geometrii v rovině. • Oba implicitně: vytvoří se velká soustava. • Jeden implicitně a druhý parametricky: dosazení. • Oba parametricky: porovnáním prarametrických vyjádření vznikne soustava. Příklad Parametricky vyjádřete průnik následujících rovin v A3: o-:2x + 3y-z+1=0 a p:x-2y + 5 = 0. Vyřešte samostatně. Řešení: přímka [-5,0, -9] + ř(2,1,7). 8. přednáška Afinní geometrie Standardní příklady na afinní podprostory I Příklad Najděte příčku přímek (úsečku, jejíž jeden koncový bod leží na jedné z přímek, druhý pak na druhé z nich) p: [1,1,1] + ř(2,1,0), q: [2,2,0] + í(1,1,1), takovou, že přímka jí určená prochází bodem [1,0,0]. Hledaný bod Qeq najdeme jako průnik přímky q s rovinou [1,1,1] + í(2,1,0) + s(0,1,1). Jde o úsečku s krajními body [5,5,3] e q, [7/3,5/3,1] e p. Příklad Najděte příčku přímek p : [1,0,0] + ř(0,0,1) q : [0,1,0] + ř(1,0,1), takovou, že přímka jí určená prochází bodem [0,1,1]. Nemá řešení. 8. přednáška Afinní geometrie Standardní příklady na afinní podprostory II Příklad Určete osu mimoběžek (příčku, která je kolmá k oběma zadaným přímkám) p: [3,0,3] +(0,1,2)í q: [0,-1,-2] + (1,2,3)í. Řešení: úsečka ([2,3,4], [3,1,5]). Příklad Zjistěte, zda leží body [0,2,1], [-1,2,0], [-2,5,2] a [0,5,4] z A3 v jedné rovině. 8. přednáška Afinní geometrie Standardní příklady na afinní podprostory Libovolná dvojice zadaných bodů z afinního prostoru a3 určuje vektor (jeho souřadnice jsou dány po složkách rozdíly souřadnic daných dvou bodů). To, že dané čtyři body leží v rovině je ekvivalentní tomu, že jsou tři vektory dané jedním vybraným bodem a vždy jedním ze tří zbylých lineárně závislé. Vybereme např. bod [0,2,1] (na výběru nezáleží), pak uvažujeme vektory [-1,2,0] - [0,2,1] = (-1,0,-1), [-2,5,2] - [0,2,1 ] = (-2,3,1) a [0,5,4] - [0,2,1] = (0,3,3). Vidíme, že součet dvojnásobku prvního vektoru s třetím vektorem je roven druhému vektoru. Vektory jsou tedy lineárně závislé. Dané body tedy leží v rovině. Obecný postup: dáme vektory do matice a určíme eliminací, jakou má matice sloupcovou hodnost, tj. dimenzi. 8. přednáška Afinní geometrie Vzájemná poloha afinních podprostoru Mějme podprostory M a N . • Jsou si rovny pokud M n N ^ 0 a Z(M) = Z(N). • Jeden je podprostorem druhého, např. M c M, pokud .A/ínAA^0aZ(.A/í) cz(4 o Podprostory jsou rovnoběžné pokud .M n A/" = 0 a platí buď Z(.M) c Z{M) nebo Z(A0 c Z{M). • Podprostory jsou různoběžné pokud M n TV ^ 0 a neplatí ani Z(.M) c Z(A0 ani Z(AT) c Z(.M). • Podprostory jsou mimoběžné pokud M n M = 0 a neplatí ani Z(.M) c Z(A0 ani Z{M) c Z(.M) Umíme počítat, neboť všechny podmínky umíme prověřit. 8. přednáška Afinní geometrie Afinní obal množiny • Průnik libovolného systému afinních podprostorů je buď afinní podprostor nebo prázdná množina. • Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou množinou M je průnik všech afinníh podprostorů, které obsahují M. m Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M v A. m Příklad: afinní obal dvou přímek A + t ■ u a B + t ■ v\e A + ({u, v,AĚ}). 8. přednáška Afinní geometrie Afinní kombinace bodů Nechť AQ,...,Ak jsou body v afinním prostoru A. Jejich afinní obal ({A0..., Ak}) můžeme zapsat jako {A) + h{A,-Ao) + --- + tk{Ak - A)) I h, ■ ■ ■, tk g R} . o V An nebo v afinních souřadnicích (tj. A-, je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako k (A), ...,Ak) = {t0A0 + Mi + • • • + fcAt I ti g R, ti = 1 }• • Obecně výrazy t0AQ + tAAA + • • • + tkAk, kde Y^Lo fi = 1 rozumíme body A0 + Yl^i ř/(A - AQ) a nazýváme je afinní kombinace bodů. • Říkáme, že body A0,...,Ak jsou v obecné poloze, jestliže generují /c-rozměrný podprostor. 8. přednáška Afinní geometrie Úsečky a trojúhelníky • Dle předchozího, přímka procházející body A a B je {tA + sB\ ř,sel,t + s= 1}. • Úsečka daná krajními body A a fí je potom {i4 + sfí | ř, s g M, ř + s = 1, ř > 0, s > 0}, tzn. {tA + sB\ t,S€ [0,1],r + s= 1}. • Trojúhelník daný vrcholy A, B, C: • „Nekonečný rovnoběžník": A + s(B-A) + t(C - A), kde s, t > 0 • Úsečka BC je dána podmínkou s + ř = 1, a body trojúhelníka musí tedy splňovat s + ř < 1. • Zavedením r — 1 - s - ř dostaneme množinu {rA + sB + tC | r, s, ř e M, r + ŕ + s = 1, r, s, ŕ > 0}. 8. přednáška Afinní geometrie Simplexy Definice Nechť A0,...,Ai<\ek + '\ bodů afinního prostoru A v obecné poloze. Pak -rozměrný simplex A = A(A0,Ak) generovaný těmito body je definován jako množina všech afinních kombinací bodů A, s pouze nezápornými koeficienty tzn. k A = {t0A0 + tiA,+--- + tkAk | ř,-g [0,1],^ř( = 1}. /'=0 Jednorozměrný simplex je úsečka, dvourozměrný trojúhelník. Nestačínám to. Chceme čtyřúhelníky a složitější prostorová tělesa. Příště. 8. přednáška Afinní geometrie Požadavky • Přechod od implicitního popisu k parametrickému a obráceně • Průnik afinních podprostorů • Afinní obal množiny bodů. • Nalezení afinního podprostorů daných vlastností. Zde končí požadavky na 2. vnitrosemestrální test. • Příklady na simplexy budou příště (kdy plynule navážeme). 8. přednáška Afinní geometrie Transformace souřadnic Dvě libovolně zvolené afinní soustavy souřadnic (A0, a), (B0, (3) se obecně liší posunutím počátku o vektor (B0 - A0) a jinou bazí zaměření. Transformační rovnice tedy vyčteme ze vztahu pro obecný bod X e A X = B0 + x\vA + • • • + x'nvn = B0 + (Aq - Bq) + Xt+ • • • + xnun. Označme y = (/1,..., yn)T sloupec souřadnic vektoru {Aq - B0) v bázi (3 a M = (a,y) buď matice přechodu od báze a k bázi (3. Potom x\ =yA + a-|-|X-| +--- + a1nxn x'n = yn + an^ +--- + annxn tj. maticově x' = y + M ■ x. 8. přednáška Afinní geometrie