Lineární modely - 9. přednáška Euklidovská geometrie Ondřej Klíma 18. 4. 2013 9. přednáška Euklidovská geometrie Osnova přednášky • Euklidovské prostory • Velikost vektorů a vzdálenost podprostorů • Odchylky podprostorů • Objem 9. přednáška Euklidovská geometrie Euklidovské prostory Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto: Definice Standardní bodový euklidovský prostor £n je afinní prostor A, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor Rn se skalárním součinem (x,y) = xyT. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (Aq\a) s ortonormální bazí a. Vzdálenost bodů A, B e £n definujeme jako velikost vektoru WÄŠW , budeme ji značit p(A, B). Euklidovské podprostory v £n jsou afinní podprostory jejichž zaměření uvažujeme spolu se zúženými skalárními součiny. 9. přednáška Euklidovská geometrie Vzdálenost bodů Pro body A,B,Ce £n platí • p(A,B) = p(B,A), m p(A, B) = 0 právě, když A = B, 9 p(A,B) + p(B,C)>p(A,C). V každé kartézké souřadné soustavě (A0; e) mají body A = A0 + a-, e-i h-----h anen, = A0 + £>-, e-, h-----h £>nen vzdálenost ^/E"=i(a/- ^/)2- Příklad Určete vzdálenost bodu /A = [1,0,1] a roviny p: [0,0,0] + í(1,1,0) + s(0,1,1). 9. přednáška Euklidovská geometrie Vzdálenost bodu od roviny - příklad Vzdálenost A = [1,0,1] od p : [0,0,0] + ŕ(1,1,0) + s(0,1,1). • Základní idea: spustíme kolmici z bodu A na rovinu p. • Formálně hovoříme o kolmé projekci vektoru PA, zde P = [0,0,0], do podprostoru zaměření roviny p, tj. ({v,, v2}), kde v, = (1,1,0) a v2 = (0,1,1). • Tzn. pro vektor z = PA = (1,0,1) hledáme vektor zP = a ■ v-\ + b- v2 tak, aby z' = z - zP byl kolmý k zaměření roviny p, tj. k oběma vektorům v^,v2: 0 = (z', vA) = (z, vA) - a-(vA,vA) - b(v2, vA), 0 = (z', v2) = (z, v2) - a ■ (vA, v2) - b(v2, v2). • V našem příkladě dostaneme soustavu (pro a, b): 2-a+1 b= 1 1 - a + 2-b= 1 • Řešení a = b=\, dává zP = (3, §, g) a dále z' = (§,-§,§)■ Vzdálenost A od roviny p je ||z'|| = § • VŠ. 9. přednáška Euklidovská geometrie Ortogonální doplněk • Předchozí příklad šel také počítat tak, že bychom spočítali kolmou projekci z na přímku (jednodimenzionální vektorový podprostor) se směrovým vektorem u = (1,-1,1) což je vektor kolmý k rovině p. • Obecně, když hledáme vzdálenost bodu od podprostoru, se postupuje stejně. Místo jednoho směrového vektoru u máme ale k dispozici více vektorů kolmých na podprostor. • Buď U podprostor standardního euklidovského prostoru Rn, pak definujeme ortogonální doplněk jako U± = {v g Rn | VíV g U : U ± v} . Obvykle / dáno bází a U± se spočítá z matice. • Platí dim U + dim UL = n, neboť hodnost matice je dim U. • Je-li (ív-i ,..., Uk) ortogonální báze U a (ív/c+1 ,un) ort. báze U±, pak (t/i,..., un) je ortogonální báze Rn. • Pro libovolné i/ě!" existují jednoznačně určené vektory w g U a w g U± tak, že v = w + w. 9. přednáška Euklidovská geometrie Vzdálenost bodu od podprostoru Věta Je-li dán bod A a podprostor Q v £n, pak existuje bod P e Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru BA = A - B do Z(Q)L pro libovolný B e Q. Důkaz: • Vektor BA se jednoznačně rozkládá na BA = w + w, • Přitom w nezávisí na volbě B g Q. • P = A + (-W) = B + w g Q a \\A - B\\2 = \\w\\2 + ||W||2 > ||W||2 = \\A - P\\2. • Odtud již vyplývá, že minima je skutečně dosaženo, a to pro bod P. Vypočtená vzdálenost je tedy skutečně ||W||. 9. přednáška Euklidovská geometrie Vzdálenost podprostorů Věta Pro podprostory V aQv£n existují bod P e V a Q e Q minimalizující vzdálenosti bodů A g V a B g Q. Vzdálenost bodů Q a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A - B do Z{V + Q)L pro libovolné body B g QaAeV. Pokud chceme dopočítat body PePaQeQv nichž se vzdálenost realizuje, postupujeme takto: • Přičteme vektor w (onen kolmý průmět vektoru A - B) k Q, čímž dostaneme Q! = {X + w \ X g Q}. o Určíme průnik V n Q' a nějaký bod PePnQ'. • Protože w = QP dopočítáme Q = P + (-W). 9. přednáška Euklidovská geometrie Příklad - vzdálenost přímek Příklad Určete vzdálenost přímek v V? p: [1,-1,0] + f(-1,2,3), a q: [2,5,-1] + s(-1,-2,1). • Ortogonální doplněk je: ((-1,2,3),(-1,-2,1))^ = ((8,-2,4)); v = (4,-1,2). • Spojnicí přímek p, q je například úsečka AB, kde y4 = [1,-1,0]ep,fl=[2,5,-1]eg. • Promítneme tedy vektor z = [1,-1,0] - [2,5,-1] = (-1,-6,1). Hledáme tudíž zP = a ■ v tak, že (z - av, v) = 0. • Proto a = a pro vzdálenost přímek pak dostáváme: PÍP, Q) a- \\v\ |((-1,-6,1),(4,-1,2))| ll(4,-1,2)|| /21 9. přednáška Euklidovská geometrie Příklad - vzdálenost podprostorů Příklad Určete vzdálenost podprostorů v TI5: a: [3,3,5,4,1] + a(0,1,0,2,-1) + í>(1,-1,1,0,-1) p: [2-1,2,2,3] + s(1,-1,1,-1,1). U= ((0,1,0,2,-1), (1,-1,1,0,-1), (1,-1,1,-1,1)) ^ = ((1,0,-1,0,0),(1,3,1,-2,-1)) 9. přednáška Euklidovská geometrie Odchylka Platí 0 < wjmĚi < 1, má tedy smysl následující definice. Definice Odchylka ip(u, v) vektorů u, v e V v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem (u, v) COS íf{U, V) = , 0 < íf{U, V) < 7T. • V rovině M2 pro odchylku vektorů skutečně platí • Ve vícerozměrných prostorech je odchylka dvou vektorů vždy měřena v rovině, kterou tyto vektory generují (nebo je nula). 9. přednáška Euklidovská geometrie Odchylka - obecná definice Definice Nechť U-\, U2 jsou podprostory v euklidovském prostoru V. Odchylka podprostorů U-\, U2 je reálné číslo a = (p(U-\, U2) e [0, |] splňující: (1) Je-li dim = dim U2 = 1, = (u), U2 = (v), pak COS a \(u, v)\ IMIIMI (2) Jsou-li dimenze U^, U2 kladné a Ui n t/2 = {0}, pak je odchylka minimem všech odchylek jednorozměrných podprostorů a = m\n{(p((u), (v)) \ 0Ž u € Ui,0^ v € U2}. Je ovšem nutné ukázat, že takové minimum skutečně vždy existuje. 9. přednáška Euklidovská geometrie Odchylka - obecná definice - pokračování Definice (3) Je-li t/| c U2 nebo U2 c (zejména je-li jeden z nich nulový), je a = 0. (4) Je-li U^nU2^ {0} at/^^n^ / U2, pak a = ^ n {U: n Lfe)^ ^2 n (U, n l^)- Odchylka podprostorů Qi, Q2 v bodovém euklidovském prostoru £n se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Qi), Z(Qz). ^^^^ ' Všimněme si, že odchylka je vždy dobře definována, zejména v posledním případě je {U: n n Už)1) n (L/2 n {U: n t/2)±) = {0} můžeme tedy opravdu odchylku určit podle bodu (2). 9. přednáška Euklidovská geometrie Odchylka přímky a podprostoru Lemma Nechť v je vektor v euklidovském prostoru V a U c V libovolný podprostor. Označme v-\ e U, v2 e U± (jednoznačně určené) komponenty vektoru v, tj. v = v-\ + v2. Pak pro odchylku

= 60°. 9. přednáška Euklidovská geometrie Odchylka podprostorů - příklad II Příklad Určete odchylku rovin [1,0,2] + (1,-1,1)r+(0,1,-2)s [3,3,3] + (1,-2,0)r+(0,1,1)s Průsečnice má směrový vektor (1,-1,1), kolmá rovina na ni má pak s danými rovinami průniky generované vektory (1,0, -1) a (0,1,1). Tyto jednorozměrné podprostory svírají úhel 60°. 9. přednáška Euklidovská geometrie Objem rovnoběžnostěnu Podobně jako v rovině, lze objem počítat pomocí determinantu. Příklad Určete objem rovnoběžnostěnu daného vektory (a, b, c),(d, e, f),(g,h,i) Řešení a b c d e f g h / • Znaménko determinantu má opět jistou geometrickou interpretaci související s tím, zda uvažovaná trojice má souhlasnou orinetaci jako báze. • U čtyřstěnu musíme použít koeficient g. 9. přednáška Euklidovská geometrie Rovnoběžnostěn Definice Nechť ív-i,..., Uk, jsou libovolné vektory v zaměření Rn, A e A, je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; u-\,..., Uk) c An je množina Vk{A;Ui,...,uk) = = {A + c-, ui H-----h ckuk | 0 < c,- < 1, / = 1,..., k}. Jsou-li vektory u^,...,Uk nezávislé, hovoříme o /c-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk(A; u-\,...,Uk) Q An- Tj. rovnoběžník v M3 je rovnoběžnostěn (dimenze 2). 9. přednáška Euklidovská geometrie Požadavky Umět počítat: • Vzdálenost bodu a podprostoru • Vzdálenost přímek (osa mimoběžek) • Projekci vektoru do podprostoru • Ortogonální doplněk • Odchylku dvou přímek • Odchylku dvou rovin mající jednodimenzionální průnik zaměření • Objem rovnoběžnostěnu 9. přednáška Euklidovská geometrie