Poznámky ke cvičením
Některé poznámky k proběhlým cvičením:
• Označme I — R \ Q množinu všech iracionálních čísel, tj. reálnych čísel, které nelze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Studujme strukturu (I,+), kde + je klasické sčítání reálných čísel.
1. Nejprve je třeba ověřit, zda je množina I prázdná. Pokud by totiž byla prázdná, dvojice (I, +) by formálně byla grupoid. Ukážeme, že \/2 není racionální. Předpokládejme, že ano a že lze psát \/2 — f pro nějaká a, b e N a bez úhony na
obecnosti, že (a, b) — 1, tj. a a b jsou nesoudělná. Potom 2 — ^ atedy a2 — 2b2. Odtud plyne, že 2 | a2 a protože 2 je prvočíslo, platí 2 | a. Potom ale 4 | a2 a z rovnice a2 — 2b2 plyne, že 2 | b2 a tedy 2 | b. Potom ale (a, b) > 2 a čísla a a b nejsou nesoudělná, což je spor s předpokladem. Platí tedy \/2 e I.
2. Je-li y/2 e I, musí také —y/2 e I, neboť pokud by nastalo —y/2 — | pro nějaká a, b e Z, potom y/2 — ^ a \/2 by bylo racionální, což je spor s předchozím argumentem. Potom už stačí jen uvést, že \/2 + (—\/2) = 0^1, jestlikož 0 je zřejmě racionální číslo. Proto (I, +) nemůže být grupoid.
• Uvažme množinu GL° (n, M) všech reálných singulárních čtvercových matic řádu n a • klasické násobení matic. Matice se nazývá singulární, má-li nulový determinant. Studujme strukturu (GL° (n, M), •):
1. Je grupoid. Plyne z Cauchyho věty:
Pokud totiž A, B e GL (n, M), potom \A ■ B\ = \A\ ■ \B\ = 0 • 0 = 0 a tedy A - B e GL° (n, M).
2. Je pologrupa, násobení matic je asociativní (předpokládejme, že je obecně známé).
3. Pro n > 1 není monoid, jelikož \In \ — 1 a tedy /„ ^ GL° (n, M).
4. Nemusím nyní uvádět, že tato struktura pro n > 1 není grupa, jelikož není monoid.
5. Anihilujícím prvkem je nulová matice 0„, platí totiž zřejmě 0„ G GL° (n,M) a 0„ • A — 0„ = A ■ 0„ pro libovolnou matici A e GL (n, M).
6. Pro n > 1 není komutativní. Protipříklad pro n — 2:
Přitom obě matice na levé straně mají nulový determinant. Protipříklady pro n > 2 jsou analogické.
7. Pro n — 1 množina GL° (n, M) splývá s množinou {0} a dvojice ({0}, •) tvoří dokonce komutativní grupu s jednotkovým prvkem 0.
\A-B\ = \A\.\B\
1
Úkoly
Charakterizujte následující struktury. O každé rozhodněte, zda jde o grupoid, po-logrupu, monoid, grupu, a zda je daná struktura komutativní, v případě negativní odpovědi uveďte příslušné protipříklady. Popište, pokud existují, neutrální, anihi-lující a (v případě, že je daná struktura monoid) všechny invertibilní prvky těchto struktur.
• (nZ, +) pro dané n e N, kde nZ — {nu | u e Z}, Z je množina všech celých čísel a + je klasické sčítání. Můžete předpokládat, že asociativita a komutativita sčítání celých čísel je obecně známý fakt a nemusíte jej dokazovat.
• (1Z (A), o), kde A je libovolná množina, 7Z (A) je množina všech binárních relací na množině A:
K (A) = 2AxA
ao:R (A) x 1Z (A) —>• 1Z (A) je operace skládání relací definovaná předpisem pro
R,S C A x A:
RoS= {(a, c) G A x A \ 3b e A : (a, b) e R A (b, c) G S}
• (S2, x), S2 C M3 je množina všech vektoru s jednotkovou normou:
(x, y, z) G S2 O x2 + y2 + z2 = 1 a x je operace vektorového součinu, tj:
Oi^i^i) x (^2,^2,^2) = (yiz2 -V2Z\,zíx2 -x1z2,x1y2 - x2y\)
Označení S2 znamená, že jde o tzv. dojrozměrnou sféru, čímž máme na mysli plášť koule.
• (N, ( , )), N je množina kladných přirozených čísel a (a, b) je nejmenší společný násobek čísel a a b. Můžete vycházet z následující dennice nejmenšího společného násobku (můžete si však zvolit kteroukoli jinou definici):
1 u\ a'b {a, b) = ——-
(a,b)
kde • je klasické násobení přirozených čísel a ( , ) je operace největšího společného dělitele. U obou těchto operací můžete předpokládat asociativitu a komutativitu jako již známou věc, tj. nemusíte ji dokazovat.
• Speciálně pro Petra (ostatní neřešte). (Set, x), Set je třída všech množin, x operace kartézského součinu dvou množin definovaný svou univerzální vlastností. Předpokládej, že pojem univerzální algebry relaxujeme vzhledem k libovolné třídě a axiomy zadaných struktur ověřujeme pouze až na izomorfizmus.
2