Poznámky ke cvičením
Některé poznámky k proběhlým cvičením:
• Mějme podmnožinu H* = {a + by/2 \ a, b e Q} \ {0} C R* = M \ {0}. Ukažme, že (H*, ■) je podgrupa (M*, •):
1. Uzavřenost na násobení. Pro x, y E H* musíme ukázat x ■ y e H*. Z definice množiny H* mají x a y tvar:
x — a + by/2   a   y — c + dy/~2
pro nějaké a, b, c, d e Q. Potom:
x ■ y — (a + 6\/2) • (c + aV2) = (ac + 2bd) + (6c + ad) y/2
Protože ac + 2bd G Q a 6c + ad G Q, platí (ac + 26d) + (6c + ad)y/2 G íf*.
2. Inverze. Pro x e íf*, x — a + by/2, a, b e Q, platí:
1 (a — 6\/2) « 6 r-
~ a + 6\/2 ~ (a + 6\/2)(a - by/2) ~ a2 - 2b2 ~ a2 - 2b2
Nejprve je třeba si uvědomit, že a— by/2 ± 0 pro žádná dvě racionální čísla a, b e Q, která nejsou současně rovna nule. Jinak bychom nemohli předchozí úpravu (rozšíření zlomku) korektně provést. Předpokládejme pro spor, že a — by/2 = 0. Potom máme dva případy:
(a) Pokud b ^ 0, potom a — by/2 — 0 implikuje f — y/2, což je spor, neboť | je racionální a y/2 není.
(b) Pokud a^O, potom a — by/2 — 0 implikuje ^ = \/2, což je opět spor, neboť ^ je racionální, kdežto y/2 není.
Potom jasně platí:
a b a2 -2b2'~a2- 2b2 G ^
a tedy x^1 e iř*.
Proto je (H*, ■) podgrupa (M*, •).
• Model domácí úlohy: Uvažme podgrupu ({í,—í,i,—i},-) grupy (C*,-)> C* — C \ {0}. Její tabulka:
	1 -1	i	—i
1	1 -1	i	—i
-1	-1 1	—i	i
i	i —i	-1	1
—i	—i i	1	-1
Protože násobení neutrálním prvkem je zřejmé, můžete první řádek a první sloupec vynechat a uvést pouze tabulku:
1
	-1	i	—i
-1	1	—i	i
i	—i	-1	1
—i	i	1	-1
Řády prvků:
X	1  -1  i -i
o(x)	12     4 4
neboť:
(-1)2 = 1=>0(-1) = 2
í2 = -l   i3 = -i   i4 = l => o(i) = 4 H)2 = -l   {-íf = í   (-í)4 = 1     o(-i) = 4
Tato grupa je tedy cyklická, neboť obsahuje prvek řádu 4, dokonce má takové prvky dva, a sice i a —i. Systém podgrup:
{1,-1, i,-i} {1,-1} {1}
To, že jde o podgrupy, je zřejmé (v úloze nemusí být argumentováno). Musíme však argumentovat, proč neexistují žádné další podgrupy. V tomto případě vše plyne z faktu, že tato grupa je cyklická. Podgrupy cyklických grup jsou v bijekci s děliteli velikosti této grupy, což jsou v tomto případě právě 1, 2 a 4.
Úkoly
Pro následující grupy určete:
1. Cayleyho tabulku této grupy.
2. Rád každého prvku.
3. Rozhodněte, zdaje grupa cyklická. V případě kladné odpovědi uveďte alespoň jeden prvek, kterým je generována.
4. Systém všech podgrup.
Své řešení vždy doprovoďte výpočtem, který podporuje vaše tvrzení.
2
• (Z2 x Z2, +). Grupa Z2 x Z2 obsahuje:
Z2xZ2 = {(0,0),(l,0),(0,l),(l,l)} a sčítání je definováno po složkách, tj. (a, b) + (c, d) — (a + c,b + d).
• (ZÍ4,-)
• Grupa (Aijo) < (54,0) všech sudých permutací:
A4 = {1,(1, 2,3), (1,3, 2), (1,2, 4), (1,4, 2), (2,3, 4), (2,4,3),
(1,3, 4), (1,4, 3), (1,2) o (3, 4), (1,3) o (2, 4), (1,4) o (2, 3)}
Přičemž 1 označuje identickou permutaci.
• Grupa (£?4,o) symetrií čtverce:
D4 = {1, i?f, i?„ Ä^, Oi, 02,03,04}
kde 1 reprezentuje identickou transformaci, Ra rotace o úhel aaO; osovou symetrii postupně podle první a druhé diagonály, horizontální a vertikální symetrii.
3