Poznámky ke cvičením
V některých mých skupinách jsme stihli a v jiných ne řešit kombinatorickou úlohu následujícího typu:
• Popište všechny homomorfizmy Z4 —>• Z$. Homomorfizmus je plně určen tím, kam pošleme generátory Z4. Protože je grupa Z4 cyklická, stačí popsat, co se děje s prvkem 1. Rád prvku [1)4 v grupě Z4 je 4 a řád prvku [y(l)]6 v Z6 musí dělit 4. To nám značně omezuje možnosti, jak homomorfizmus zadat. Prvky, jejichž řád v Z6 dělí 4, jsou [0]6 a [3]6- Jediné možnosti máme [1]6 *->• [0]6 a [1]6 >->• [3]6- Proto dostáváme právě dva homomorfizmy:
X	0    12 3
if2(x)	0 0 0 0 0   3   0 3
Přičemž homomorfizmus tpi je určen přiřazením [1)4 i->- [0]6, neboť definiční vlastnost homomorfizmu nám určuje:
ip([u}4) = ip(u ■ [1]4) = u ■ ip([í}4) — u ' 0 — 0
proto ifi přiřazuje každému [u]4 G Z4 prvek [0]6. Homomorfizmus ip2 je určen přiřazením [1]4 1 y [3]6, neboť opět z vlastnosti homomorfizmu:
<p([2}4) = ip(2 ■ [1]4) = 2 • ^,([1)4) = 2 • [3]6 = [6]6 = [0]6 V([3]4) = V(3 • [3]4) = 3 • ^([1]4) = 3 • [3]6 = [3]6
Ještě pro vysvětlení definiční vlastnost homomorfizmus (p : G —>• ií nám implikuje pro každé g G G a n e N:
<p(gn) = <P(9---9)=<p(9)---<p(9) = [<p(g)]n
tj. homomorfizmus zachovává mocniny prvků. Pak si stačí jen uvědomit, že mocnina v Z4 má tvar:
(M4)™ — N4 + .. . + [u]4 — n ■ [u]4 — [n ■ u]4
• Popište všechny homomorfizmy Z2 x Z2 —>• Z6. V tomto případě je situaci o něco komplikovanější, neboť Z2 x Z2 není cyklická. Stačí ale pořád uvažovat jen generátory, zvolme třeba ([1]2, [0]2) a ([0]2, [1]2). Stejně tak bychom ale mohli začít dvojicemi generátorů {([1]2, [0]2), ([1]2, [1]2)} nebo {([0]2, [1]2), ([1]2, [1]2)}. Každý z těchto prvků má řád 2 a můžeme je tedy zobrazit pouze na prvek [0]6 nebo [3] 6-Dostáváme tedy následující homomorfizmy:
X	(0,0)	(1.0)	(0,1)	(1.1)
	0	0	0	0
if2(x)	0	3	0	3
	0	0	3	3
ip4(x)	0	3	3	0
1
Přičemž homomorfizmus ipi je určen přiřazením ([1]2, [0)2) >->• [0]6 a ([0]2, [1]2) ^ [0]6, což dopočítáme následujícím způsobem. Zřejmě v?i(([0]2, [0)2)) — neboť každý homomorfizmus zobrazuje neutrální prvek na neutrální prvek a zbývá dopočítat, jak se ifi vyhodnotí na prvku ([1]2, [1b)- Využijeme definiční vlastnosti homomorfizmu:
^(([1]2,[1]2)) = ^(([1]2,[0]2) + ([0]2,[1]2))
= ¥»i(([l]2, [0]2)) + vi(([0]2, [1]2)) = [0]6 + [0]6 = [0]6
Homomorfizmus ip2 je určen přiřazením ([1]2, [0]2) i->- [3]6 a ([0]2, [1]2) i->- [0]6 a dopočítáme:
¥>2(([1]2,[1]2)) = ^2(([1]2,[0]2) + ([0]2,[1]2))
= V2(([l]2, [0]2)) + y2(([0]2, [1]2)) = [3]6 + [0]6 = [3]6
Podobně homomorfizmus ^3 je určen přiřazením ([1]2, [0]2) i->- [0]6 a ([0]2, [1]2) ^ [3]6 a homomorfizmus (£4 přiřazením ([1]2, [0)2) >->• [3]6 a ([0]2, [1]2) ^ [3]6-
2
Úkoly
U následujících předpisů rozhodněte, zda korektním způsobem zadává homomorfi-zmus. V kladném případě rozhodněte, zda je injektivní nebo surjektivní, a popište jeho jádro a obraz. V případě negativní odpovědi vždy uvádějte konkrétní protipříklad.
• p : Z4 x Z3 ->• Z12, ip([a]4, [6] 3) = [a - b}12
• p : Z ->• Z2, v?(a) = [|a|]2
Popište všechny homomorfizmy typu:
• Z4 -)• Z2 x Z2
• Z6 ->• Z6
Přičemž řešení nemusíte rozepisovat do takových podrobností jako v předchozích poznámkách. Napište tabulku všech homomorfizmů a ukažte, čím jsou jednotlivé homomorfizmy zadány. Rovněž můžete využívat konvence psát u místo [u]&, pokud by nedošlo k nějakému nedorozumění.
3