Algebra I — Cvičení
Podle následující sbírky probíhalo cvičení na PřF v semestru Jaro 2003. Příklady jsou rozděleny na ty, které
jsme dělali na cvičení (označeno C), úlohy na kterých lze procvičovat probranou látku (P), doplňující úlohy,
které přesahují sylaby předmětu nebo jsou obtížnější (D) a konečně zadání příkladů ze zápočtových testů (Z).
Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě doc. Kučery, doc. Poláka a Mgr. Kunce, s kterými
jsem dříve při přípravě cvičení spolupracoval.
Veškeré připomínky, opravy a komentáře jsou vítány na adrese klima@math.muni.cz.
Ondřej Klíma
Verze květen 2003.
Cvičení 1
C11 Rozhodněte, zda daný grupoid je pologrupa, zda obsahuje (levý, pravý) neutrální prvek, (levý, pravý)
nulový prvek, zda je to grupa a zda je operace komutativní.
1) Celá čísla s operací sčítání.
2) Reálná čísla s operací násobení.
3) Celá čísla s operací odečítání.
4) Přirozená čísla s operací největší společný dělitel.
C12 Pro dané množiny matic typu 2 krát 2 nad reálnými čísly rozhodněte zda je sčítání, resp. násobení,
matic operací na této množině. Pokud se jedná o operaci, zjistěte, zda je operace asociativní či komutativní,
zda obsahuje neutrální prvek, a zda se jedná o grupu.
1) Množina všech matic nad celými čísly.
2) Množina všech matic nad racionálními čísly.
3) Množina všech regulárních matic nad racionálními čísly.
4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.
5) Množina všech regulárních matic nad celými čísly.
C13 Pro množinu X značíme P(X) množinu všech podmnožin množiny X. Pro následující operace určete,
zda grupoid P(X) je pologrupou, zda je operace komutativní a nalezněte neutrální prvek.
1) Průnik.
2) Sjednocení.
3) Množinový rozdíl. (Y \ Z = {x ∈ Y | x ∈ Z})
4) Symetricky rozdíl. (Y ÷ Z = (Y \ Z) ∪ (Z \ Y ))
C14 Určete, zda operace na tříprvkové množině {a, b, c} daná tabulkou je komutativní, asociativní a zda
má neutrální prvek.
1)
◦ a b c
a b a a
b a b a
c a a a
2)
◦ a b c
a b a a
b a b c
c a c a
3)
◦ a b c
a a a a
b b b b
c c c c
1
C15 Prvek e pologrupy (G, ·) se nazývá idempotent jestliže e · e = e. Ukažte, že každá grupa obsahuje právě
jeden idempotent.
P11 Pro množinu X označme T(X) množinu všech transformací, tj. T(X) = {f : X → X}, a PT(X) množinu
všech parciálních transformací, tj. PT(X) = {f : Y → X | Y ⊆ X}. Ukažte, že (T(X), ◦) a (PT(X), ◦),
kde ◦ je operace skládání zobrazení, jsou monoidy. Pro danou množinu transformací (resp. parciálních transformací)
určete, zda společně s operací skládání zobrazení tvoří grupoid, pologrupu, či grupu. (Pozor: odpovědi se
mohou lišit v případech kdy X je jednoprvková, resp. konečná, resp. nekonečná.)
1) Všechna injektivní zobrazení.
2) Všechna surjektivní zobrazení.
3) Všechna bijektivní zobrazení.
P12 Doplňte následující tabulku operace na tříprvkové množině tak, aby výsledný grupoid byl pologrupou.
◦ a b c
a b a c
b
c
P13 Následující tabulku je možno jediným způsobem doplnit na tabulku operace · v pologrupě (S, ·), kde
S = {a, b, c, d, e, f}.
· a b c d e f
a a b c d f
b b e c d b f
c c c f c c d
d d c d d f
e e b c d e f
f f f d f f c
1. Určete, kterému prvku z množiny S se rovná d · b, resp. a · e, v pologrupě (S, ·).
2. Určete všechny idempotenty.
3. Vypište všechny pravé neutrální prvky.
4. Vypište všechny levé nulové prvky.
5. Určete všechny podmnožiny G ⊆ S takové, že (G, ·) je grupa.
6. Lze původní tabulku doplnit tak, aby byla operace · v grupoidu (S, ·) komutativní?
D11 V pologrupě matic (Mat2(Q), ·) typu 2 krát 2 nad racionálními čísly s operací násobení matic určete
všechny idempotenty. Pro každý idempotent e určete některou netriviální podmnožinu, které společně s operací
· tvoří grupu s neutrálním prvkem e.
D12 = D31
Cvičení 2
Z2-A Uvažme na množině R = {ρ ⊆ X × X} všech relací na množině X operaci ◦ definovanou vztahem
ρ ◦ π = {(x, y) ∈ X × X | ∃z ∈ X : (x, z) ∈ π, (z, y) ∈ ρ}.
Ukažte, že ◦ je asociativní. Určete neutrální prvek. Rozhodněte zda (S, ◦), kde S = {ρ ∈ R | ρ symetrická }, je
grupoid.
2
Z2-B Uvažme na množině R = {ρ ⊆ X × X} všech relací na množině X operaci definovanou vztahem
ρ π = {(x, y) ∈ X × X | ∃z ∈ X : (x, z) ∈ ρ, (z, y) ∈ π}.
Ukažte, že je asociativní. Určete nulový prvek. Rozhodněte zda (T, ), kde T = {ρ ∈ R | ρ tranzitivní }, je
grupoid.
Z2-C Uvažujme množinu O = {(a, b) | a, b ∈ R, a < b} ∪ {∅} otevřených intervalů reálných čísel. Ukažte, že
průnik ∩ je operací na této množině. Rozhodněte, zda je operace ∩ asociativní a zda existuje neutrální a nulový
prvek. Je (O, ∩) grupa?
Z2-D Uvažujme množinu N = {(a, b) | a, b ∈ R, a < 0 < b} otevřených intervalů reálných čísel. Ukažte, že
sjednocení ∪ je operací na této množině. Rozhodněte, zda je operace ∪ asociativní a zda existuje neutrální a
nulový prvek. Je (N, ∪) grupa?
C21+P21 Rozhodněte, zda daný grupoid (G, ◦) je grupa.
1) G je množina nenulových racionálních čísel a operace ◦ je dána předpisem x ◦ y = |x · y|.
2) G je interval 0, 1) a operace ◦ je dána předpisem x ◦ y = x + y − [x + y], kde [z] značí celou část z čísla
z, tj. největší celé číslo menší nebo rovno z.
3) G je množina celých čísel a operace ◦ je dána předpisem x ◦ y = x + (−1)x
y.
4) G je množina uspořádaných dvojic reálných čísel, přičemž první z nich není 0 a operace ◦ je dána předpisem
(x, y) ◦ (u, v) = (xu, xv + y).
5) G je množina komplexních čísel, jejichž reálná i imaginární část je celočíselná a operace ◦ je sčítání
komplexních čísel.
C22+D21
1) Dokažte, že v libovolné grupě platí tzv. Zákony o krácení (ab = ac =⇒ b = c, ba = ca =⇒ b = c).
2) Dokažte, že konečná pologrupa v které platí zákony o krácení je grupa.
3) Udejte příklad nekonečné pologrupy, která není grupou, ale platí v ní zákony o krácení.
4) Udejte příklad tříprvkového grupoidu, který není grupou, ale platí v něm zákony o krácení. Ukažte, že
grupoid není pologrupou.
5) Udejte příklad pětiprvkového grupoidu s neutrálním prvkem, který není grupou, ale platí v něm zákony
o krácení. Ukažte, že grupoid není pologrupou.
C23 Určete kolik je dvouprvkových, resp. tříprvkových, resp. čtyřprvkových grup.
P22 Dokažte, že v konečné grupě o sudém počtu prvků existuje prvek, který je inverzní k sobě samému a
není to neutrální prvek.
P23 Doplňte tabulku operace ∗ tak, aby vznikla grupa ({a, b, c}, ∗):
◦ a b c
a
b c a
c
P24 Nechť (G, ◦) je grupa a a nějaký její pevně zvolený prvek. Dokažte, že potom (G, ) je také grupa, kde
operace je definována předpisem g h = g ◦ a ◦ h.
D22 Dokažte, že grupy jsou právě ty pologrupy pro něž platí:
∀a, b ∃x, y : ax = b, ya = b.
3
D23 Určete všechny dvouprvkové pologrupy (až na izomorfismus, tj. přejmenování prvků).
Cvičení 3
Z3-A 1) Nechť S = {a, b} a pro operaci · platí: a · a = b, b · b = a. Ukažte, že (S, ·) není pologrupa.
2) Napište multiplikativní tabulku grupy (G, ·), kde G = {e, f, g}, víte-li, že e · f = g.
Z3-C 1) Nechť S = {a, b, c} a pro operaci · platí: a · a = c, c · c = c. Ukažte, že (S, ·) není grupa.
2) Napište multiplikativní tabulku komutativní pologrupy (M, ·), kde M = {e, f, g}, víte-li, že e · f = g a že
každý prvek je idempotentem.
D31 Dokažte, že v každé konečné pologrupě existuje idempotent.
C24+C31 Nechť
s =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 7 2 1 9 8 6 5
, t =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 2 1 4 3 8 7 6 9
, u =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 1 4 6 3 7 5 9 2
.
1) Rozložte permutace s, t, u na součin nezávislých cyklů.
2) Spočtěte součiny s ◦ t, t ◦ s, s ◦ u ◦ t. Použijte jak ”dvojřádkový” zápis, tak rozklad na nezávislé cykly.
3) Spočtěte s3
, s20
, t53
, t103
, u211
.
4) Určete inverzní prvky s−1
, t−1
, u−1
.
5) Spočtěte permutace (s120
◦ t−3
)17
◦ u23
a (u−23
◦ s)134
◦ t4
.
6) Permutace s, t, u rozložte na součin transpozic a určete jejich paritu.
C32 Napište permutace f = (2, 3, 4, 5)◦(1, 3, 6, 8) a g = (1, 4, 6)◦(2, 7, 4, 8, 3)◦(1, 5) jako součin 10 transpozic.
P31 Dokažte že permutace (s3
◦ t−17
)18
◦ s10
je sudá permutace pro libovolné permutace s, t ∈ S9.
C33 Určete všechny permutace a z grupy S8 takové, že a2
= (1, 2, 3)(4, 5, 6). Podobně určete b takové, že
b4
= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
P32 Určete všechny permutace f z grupy S8 takové, že f3
= (1, 2)(3, 4)(5, 6).
P33
1) Ukažte, že libovolnou permutaci v Sn lze rozložit na součin transpozic tvaru (1, i).
2) Ukažte, že libovolnou sudou permutaci v Sn lze rozložit na součin cyklů tvaru (1, 2, i).
P34 Jestliže a je cyklus délky n, pak ak
= id právě když n dělí k. Pokud n nedělí k pak je ak
součinem d
nezávislých cyklů délky n
d , kde d je největší společný dělitel n a k.
D32 Ukažte, že libovolnou permutaci v Sn lze rozložit na součin cyklů (1, 2) a (1, 2, . . . , n).
D33 Určete následující grupy symetrií (jako podmnožiny Sn, pro vhodné n, nebo alespoň určete počty
prvků).
1) D3 grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka,
2) D4 grupa symetrií čtverce,
3) Dn grupa symetrií pravidelného n-úhelníku (určete alespoň počet prvků),
4) grupa symetrií pravidelného čtyřstěnu.
5) ∗
grupa symetrií krychle.
4
D34∗
Určete které prvky a ∈ Sn lze psát ve tvaru b2
c2
pro vhodné b, c ∈ Sn.
Cvičení 4
Z4-A 1) Jsou dány permutace f, g ∈ S9. Platí f = (5, 8, 7, 6) ◦ (1, 4, 2), g = (1, 5, 2, 6) ◦ (2, 4, 7, 9, 5). Zapište
permutace f−1
, g21
, h = (f11
◦ g−3
)20
ve tvaru součinu nezávislých cyklů.
Permutace f a g napište jako součin transpozic a určete paritu těchto permutací.
2) Určete pro která přirozená čísla n ∈ N existuje permutace s ∈ S9 taková, že sn
= (1, 2, 3).
Z4-B 1) Jsou dány permutace f, g ∈ S9. Platí f = (8, 6, 7, 5) ◦ (1, 4, 2), g = (1, 8, 2, 5) ◦ (2, 4, 7, 9, 8). Zapište
permutace f−1
, g20
, h = (f11
◦ g−4
)−20
ve tvaru součinu nezávislých cyklů.
Permutace f a g napište jako součin transpozic a určete paritu těchto permutací.
2) Určete pro která přirozená čísla n ∈ N existuje permutace s ∈ S9 taková, že sn
= (1, 2, 3, 4).
Z4-C 1) Jsou dány permutace f, g ∈ S9. Platí f = (1, 7) ◦ (2, 8) ◦ (3, 5, 6, 4, 9), g = (3, 8, 4, 5, 7) ◦ (1, 6, 9, 3, 4).
Zapište permutace f−1
, g10
, h = (f9
◦ g−5
)20
ve tvaru součinu nezávislých cyklů.
Permutace f a g napište jako součin transpozic a určete paritu těchto permutací.
2) Rozhodněte zda existuje permutace s ∈ S9 taková, že (s ◦ (1, 2, 3))2
◦ (s ◦ (2, 3, 4))2
= (1, 2, 3, 4). (Uveďte
příklad nebo důkaz.)
Z4-D 1) Jsou dány permutace f, g ∈ S9. Platí f = (1, 7) ◦ (2, 8) ◦ (3, 5, 9, 4, 6), g = (1, 3, 2, 4, 5) ◦ (3, 4, 7, 9, 6).
Zapište permutace f−1
, g27
, h = (f9
◦ g−3
)30
ve tvaru součinu nezávislých cyklů.
Permutace f a g napište jako součin transpozic a určete paritu těchto permutací.
2) Rozhodněte zda existuje permutace s ∈ S9 taková, že s2
◦ (1, 2) ◦ s2
= (1, 2) ◦ s2
◦ (1, 2). (Uveďte příklad nebo
důkaz.)
C41+P41 Spočtěte 1) [4]−1
15 v Z15, 2) [17]−1
181 v Z181, 3) [49]−1
226 v Z226, 4) [49]−1
225 v Z225, 5)
[125]−1
1296 v Z1296.
C42+P42 Spočtěte 1) [2k
+1]−1
22k+1
v Z22k+1, 2) [2k
−1]−1
22k+1
v Z22k+1, 3) [m2
−m+1]−1
m3−1 v Zm3−1.
C43+P43 Určete kolik prvků má grupa (Z∗
n, ·) pro následující n a popište její multiplikativní tabulku.
1) n = 5, 2) n = 7, 3) n = 8.
C44 Určete kolik prvků mají grupy (Z∗
n, ·) pro následující n:
1) n = 24, 2) n = 306, 3) n = 5225.
C45 Určete řád permutace (1, 2, 4, 5) ◦ (3, 7, 8) ◦ (6, 9) resp. (1, 2, 4, 5, 3, 6, 7, 9) ◦ (3, 7, 8) ◦ (6, 2, 9).
C46 Určete řád prvku [k]n v (Zn, +).
C47 Určete řády všech prvků v (Z∗
n, ·) pro n = 7, 8, 12, 13.
P44 V GL2(Z3) (grupa regulárních matic nad Z3) určete řády prvků
1 0
2 1
a
1 1
1 2
.
P45 Ukažte, že pro libovolné n > 2 je ϕ(n) sudé číslo.
P46 Určete všechna přirozená čísla m, pro která platí ϕ(m) = 18.
D41 Určete všechna přirozená čísla n taková, že ϕ(n) | n.
Cvičení 5
Z5-A 1) Určete [49]−1
1000 v Z1000.
5
2) Určete řád prvku [4]35 v grupě Z∗
35.
Z5-C 1) Určete [45]−1
478 v Z478.
2) Určete ϕ(1000).
C51+P51 Určete zbytek po dělení daných čísel číslem 17.
1) 250
+ 350
+ 450
, 2) 540
+ 640
+ 740
+ 840
, 3) 444
+ 555
, 4) 131313
+ 151515
.
C52+P52 Určete zbytek po dělení čísla a99
−310
číslem 44, pro a = 8, 9, 10, 11.
P53 Ukažte, že číslo 260
+ 730
je dělitelné číslem 13.
D51 Dokažte, že pro libovolné n ∈ N je číslo 222n+1
+ 3 číslo složené.
D52 Dokažte Čínskou zbytkovou větu: Nechť je dáno k ∈ N a k-tice m1, · · · , mk po dvou nesoudělných
přirozených čísel. Pak pro libovolnou k-tici c1, · · · , ck přirozených čísel existuje x ∈ N takové, že x ≡ ci(mod mi)
pro i = 1, . . . , k. Navíc je toto x určeno jednoznačně mod m1 · · · · · mk; přesněji, všechna tato čísla dávají stejný
zbytek po dělení číslem m1 · · · · · mk.
C53+P54 Ukažte, že podmnožina kladných reálných čísel, resp. kladných racionálních čísel, resp. Q(
√
3) =
{a + b
√
3 | a, b ∈ Q} je podgrupa grupy (R∗
, ·).
C54 Popište všechny podgrupy grupy (Z, +).
C55 Popište všechny podgrupy grupy (Z10, +).
P55 Popište všechny podgrupy grupy (Zn, +).
P56 Ukažte, že množina sudých permutací tvoří podgrupu grupy Sn pro libovolné n ∈ N.
D53 Popište všechny podgrupy grupy symetrií Dn pro n = 3, 4.
Cvičení 6
Z6 Určete zbytek po dělení čísla A 888
+111111
, B 777
+121212
číslem 20, resp. C 888
+131313
, D 777
+212121
číslem 18.
C61 Popište svaz podgrup S3 a A4.
C62+P61 Určete podgrupu S8 generovanou množinou X:
1) X = {(4, 5, 2, 1) ◦ (4, 6, 3, 1, 5, 2), (4, 5, 2, 1) ◦ (4, 5, 6) ◦ (2, 1, 3)},
2) X = {(1, 5, 8) ◦ (1, 4, 2, 5) ◦ (1, 5, 2), (1, 2, 6, 4, 8, 5) ◦ (1, 4, 6, 2)},
3) X = {(1, 8, 2, 3, 5) ◦ (1, 2, 6, 7, 8), (4, 7, 6, 2) ◦ (2, 4, 8)},
4) X = {(1, 2)(3, 4), (2, 3)(4, 5)}.
5) X = {(2, 4, 6), (4, 7, 2), (3, 2, 4)}. D
D61 Určete podgrupu Sn generovanou množinou {(1, 2), (1, 2, 3, . . . , n)}.
C63 V (Z60, +) určete podgrupu generovanou množinou {[6]60, [15]60}.
P62 V GL2(Z2) (grupa regulárních matic řádu 2 nad Z2) určete podgrupu generovanou množinou X:
1) X =
1 1
0 1
, 2) X =
1 1
1 0
,
0 1
1 1
, 3) X =
1 1
1 0
,
1 1
0 1
.
6
A podobně v GL2(Z3) určete podgrupu generovanou množinou
Y =
2 1
0 2
,
2 0
2 2
.(D)
P63 V grupě (R, +), resp. (R∗
, ·), určete podgrupu generovanou prvkem 3
√
2.
P64 V grupě (C∗
, ·) určete podgrupu generovanou prvkem
√
2
2 + i
√
2
2 .
D62 Určete všechny konečné podgrupy grupy (R∗
, ·), resp. (C∗
, ·).
P65 V grupě z příkladu P21-3) určete podgrupu generovanou množinou prvků a) {3}, b) {6}, c) {3, 7}.
D63 Určete všechny podgrupy grupy z příkladu P21-3).
Cvičení 7
Z7 Určete podgrupu grupy S8 generovanou množinou C – {(1, 8)(2, 3)(4, 5), (1, 3, 5, 8, 2, 4)(6, 7)}, resp. A —
{(1, 2, 3), (1, 2)(3, 5)}. Kolik má tato podgrupa prvků?
C71 Nechť je dána grupa G a její dvě podgrupy H a K. Dokažte, že
H ∪ K = {a1b1 . . . anbn | n ∈ N, ai ∈ H, bi ∈ K}.
C72 Dokažte, že (Z∗
7, ·) je izomorfní s (Z6, +) a (Z∗
8, ·) je izomorfní s (Z2, +) × (Z2, +). (Ukažte, že předpis
f([a]6) = [3]a
7 definuje izomorfismus f : (Z6, +) → (Z∗
7, +).)
P71 U každého z následujících předpisů (kde a, b ∈ Z, p, q ∈ Z \ {0}) rozhodněte zda zadává zobrazení.
Pokud ano, rozhodněte, zda se jedná o homomorfismus či dokonce izomorfismus grup.
α, α : (Z4, +) × (Z3, +) → (Z12, +)
α(([a]4, [b]3)) = [6a + 4b]12
α(([a]4, [b]3)) = [a − b]12
β : (Z∗
3, ·) × (Z5, +) → (Z5, +)
β(([a]3, [b]5)) = [b|a|
]5
γ : (Q \ {0}, ·) → (Q \ {0}, ·)
γ(p/q) = q/p
δ : (Z15, +) → (Z5, +) × (Z3, +)
δ([a]15) = ([a]5, [a]3)
, : (Z3, +) → (A4, ◦)
([a]3) = (1, 2, 4) ◦ (1, 3, 2)a
◦ (1, 4, 2)
([a]3) = (1, 2)(3, 4) ◦ (1, 2, 3)a
C73 Dokažte, že předpis f([a]20) = (1, 2, 3, 4, 5)a
definuje homomorfismus f : (Z20, +) → (S7, ◦).
C74+P72 Pro libovolnou grupu (G, ·) označme Aut(G) = {f : G → G | f izomorfismus} množinu všech
automorfismů grupy G a End(G) = {f : G → G | f homomorfismus} množinu všech endomorfismů grupy G.
i) Ukažte, že (End(G), ◦), kde ◦ je skládání zobrazení, je monoid a Aut(G) je podmnožina invertibilních
prvků, tj. (Aut(G), ◦) je grupa.
7
ii) Dokažte, že pro libovolný prvek a ∈ G je zobrazení ρa automorfismus grupy G, kde ρa : G → G je
definováno vztahem ρa(x) = axa−1
. (Hovoříme o vnitřních automorfismech.)
iii) Ukažte, že množina všech vnitřních automorfismů Inn(G) = {ρa | a ∈ G} je podgrupa grupy (Aut(G), ◦).
iv) Dokažte, že zobrazeni ρ : G → Aut(G) dané předpisem ρ(a) = ρa je homomorfismus grup.
C75 Popište všechny endomorfismy a automorfismy grupy (Z, +). Určete čemu je izomorfní monoid End(Z)
a grupa Aut(Z).
P73 Popište všechny endomorfismy a automorfismy grupy (Zn, +). Určete čemu je izomorfní monoid End(Zn)
a grupa Aut(Zn).
D71 Popište všechny homomorfismy z grupy (Zn, +) do grupy (Zk, +).
P74 Nechť f : G → H je izomorfismus grup. Ukažte, že řády prvků a a f(a) jsou stejné. Co lze říci o řádech
prvků a a f(a) v případě, že f : G → H je homomorfismus.
P75 Dokažte, že zobrazení f : G → G definované předpisem f(x) = x−1
je izomorfismus právě tehdy, když
grupa G je komutativní.
P76 Dokažte, že pro libovolné grupy G a H jsou grupy G × H a H × G izomorfní.
D72 Nechť X = {1, . . . , n}. Ukažte, že grupa (P(X), ÷) z příkladu C13-4) je izomorfní grupě Zn
2 . (Zn
2 je
součin n kopií grupy Z2.)
P77 Uvažme grupu (G, ·) matic typu 3 krát 3 nad Z, které jsou v horním trojúhelníkovém tvaru s jedničkami
na hlavní diagonále, tj.
G =





1 a b
0 1 c
0 0 1

 | a, b, c ∈ Z



,
kde · je násobení matic. Definujme nyní zobrazení f : (G, ·) → (Z, +), které matici


1 a b
0 1 c
0 0 1


přiřadí číslo a − c. Dokažte, že zobrazení f je homomorfismus grup.
Cvičení 8
Z8 U následujících předpisů (kde a, b ∈ Z, s ∈ S6) rozhodněte zda zadávájí zobrazení. Pokud ano, rozhodněte,
zda se jedná o homomorfismus či dokonce izomorfismus grup. Odpovědi zdůvodněte!
A α : (Z2, +) × (Z5, +) → (Z10, +), α(([a]2, [b]5)) = [a + b]10; β : (S6, ◦) → (S6, ◦), β(s) = (1, 2) ◦ s ◦ (1, 2).
B α : (Z2, +) × (Z5, +) → (Z10, +), α(([a]2, [b]5)) = [5a + 2b]10; β : (S6, ◦) → (S6, ◦), β(s) = s2
.
C α : (Z4, +) → (C∗
, ·), α([a]4) = ia
; β : (Z, +) → (Z3, +), β(a) = [|a|]3.
D α : (Z5, +) → (C∗
, ·), α([a]5) = ia
; β : (Z, +) → (Z2, +), β(a) = [|a|]2.
C81+P81 Určete jádra a obrazy homomorfismů z příkladů Z8.
P82 Buď α homomorfismus grupy (Z30, +) do grupy (Z20, +) definovaný předpisem α([a]30) = [6a]20. Dále
nechť β je homomorfismus grupy (Z20, +) do grupy (S5, ◦) definovaný předpisem β([b]20) = (1, 2, 3, 4, 5)b
. Určete
jádra homomorfismů α, β a β ◦ α.
P83 Určete jádro homomorfismu f z příkladu P77. Ověřte, že se jedná o normální podgrupu grupy G.
(Uvědomte si, že jádro je vždy normální podgrupa.)
8
C82 Popište všechny normální podgrupy grup (S3, ◦) a (A4, ◦). Ukažte, že An je normální podgrupa grupy
Sn pro libovolné n ∈ N. (Povšimněte si, že existuje normální podgrupa N grupy H — normální podgurpy grupy
(A4, ◦) — která není normální podgrupou (A4, ◦).)
D81 Nechť n ∈ N, n > 4. Dokažte, že An nemá vlastní normální podgrupy a že je to jediná netriviální
normální podgrupa Sn.
C83+P84 Uvažme grupu (GL2(Q), ·) regulárních matic dva krát dva nad racionálními čísly. Nechť G je
podgrupa všech matic, které jsou v horním trojúhelníkovém tvaru s jedničkou v pravém dolním rohu, H je
podgrupa všech diagonálních matic a N její podgrupa, kde čísla na diagonále jsou si rovna.
G =
a b
0 1
| a ∈ Q∗
, b ∈ Q , H =
a 0
0 b
| a, b ∈ Q∗
, N =
a 0
0 a
| a ∈ Q∗
.
Určete, zda jsou tyto podgrupy normální.
P85 V příkladech P62—65 určete normální podgrupu generovanou danou množinou.
D82 Které podgrupy z příkladu D63 jsou normální?
P86 Dokažte, že Inn(G) v P72-iii) je normální podgrupa.
C84 Buď dána grupa (G, ◦) nekonstantních lineárních zobrazení reálných čísel
G = {f : R → R | f(x) = ax + b, a ∈ R∗
, b ∈ R}
s operací skládání zobrazení ◦. Uvažme v této grupě dvě podgrupy:
T = {f : R → R | f(x) = ax, a ∈ R∗
},
S = {f : R → R | f(x) = x + b, b ∈ R}.
Která z nich je normální podgrupou grupy (G, ◦)? Popište u obou pravý i levý rozklad.
P87 Popište levý rozklad grupy (A4, ◦) sudých permutací na množině {1, 2, 3, 4} podle podgrupy generované
permutací (2, 1, 4).
P88 Určete počet levých tříd grupy (Z, +) × (Z, +) podle podgrupy H = {(m, n) ; 6 | (m − 2n)}.
P89 Nechť konečná grupa (G, ·) má sudý počet prvků 2n a H je její n prvková podgrupa. Dokažte, že H je
normální podgrupa grupy (G, ·).
Cvičení 9
Z9-A Označme následující podgrupy grupy (S6, ◦): G = {f ∈ S6 | f sudá} a H = {f ∈ G | f(3) = 3}, tj.
H ⊂ G ⊂ S6. Rozdodněte zda
a) H je normální podgrupa grupy (G, ◦);
b) H je normální podgrupa grupy (S6, ◦);
c) G je normální podgrupa grupy (S6, ◦).
Odpovědi zdůvodněte!
Z9-B Označme následující podgrupy grupy (S5, ◦): G = {f ∈ S5 | f(3) = 3} a H = {f ∈ G | f sudá}, tj.
H ⊂ G ⊂ S5. Rozdodněte zda
a) H je normální podgrupa grupy (G, ◦);
b) H je normální podgrupa grupy (S5, ◦);
c) G je normální podgrupa grupy (S5, ◦).
Odpovědi zdůvodněte!
Z9-C Buď dána následující grupa (G, ·) matic ve speciálním tvaru s operací násobení matic a její podgrupa
H:
G =
a b
0 c
| a, c ∈ R∗
, b ∈ R , H =
a 0
0 c
| a, c ∈ R∗
.
9
Dokažte, že H je podgrupa grupy (G, ·). Rozhodněte, zda H je normální podgrupa (G, ·). Odpověď zdůvodněte!
Z9-D Buď dána následující grupa (G, ·) matic ve speciálním tvaru s operací násobení matic a její podgrupa
H:
G =
a b
0 c
| a, c ∈ R∗
, b ∈ R , H =
1 b
0 c
| c ∈ R∗
, b ∈ R .
Dokažte, že H je podgrupa grupy (G, ·). Rozhodněte, zda H je normální podgrupa (G, ·).
C91 Určete faktorgrupu z příkladu C84.
C92 Faktorizujte grupu Z podgrupou kZ = {ka | a ∈ Z}.
C93 Faktorizujte grupu Zn podgrupou kZn = {kz | z ∈ Zn} = {[kz]n | z ∈ Z}, kde k dělí n.
P91 Čemu je izomorfní faktorgrupa regulárních matic nad reálnými čísly podle podgrupy matic jejichž
determinant je roven 1. (GLn(R)/SLn(R) ∼=?)
P92 Víme, že množina
G =
ε a
0 1
| ε ∈ {1, −1}, a ∈ Z
společně s operací násobení matic tvoří grupu (G, ·). Označme
H =
1 2b
0 1
| b ∈ Z
podmnožinu G. Ukažte, že H je normální podgrupa grupy G. Popište rozklad G/H, tj. charakterizujte kdy
dvě matice
ε a
0 1
a
ε a
0 1
náleží do stejné třídy rozkladu. Určete počet tříd rozkladu G/H. Určete, které
grupě (K, ·) je izomorfní faktorgrupa G/H, tj. popište grupu (K, ·) a definujte vhodné zobrazení α : G → K
pro něž dokažte, že α je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H.
P93 Uvažme množiny reálných čísel G = {15p
5q
| p, q ∈ Z} a H = {3r
| r ∈ Z} a operaci · (násobení
reálných čísel). Zřejmě (G, ·) je grupa.
1. Ukažte, že H je normální podgrupa grupy (G, ·).
2. Pro p, p, q, q ∈ Z doplňte podmínku (· · · ) tak, aby platilo:
15p
5q
a 15p
5q
náleží do stejné třídy rozkladu G H ⇐⇒ · · · .
3. Určete, které grupě je izomorfní faktorgrupa G/H, tj. popište grupu (K, ·) a definujte vhodné zobrazení
α : G → K, pro něž dokažte, že α je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H.
P94 Faktorizujte aditivni grupu komplexních čísel podgrupou všech reálných čísel. ((C, +)/R ∼=?)
P95 Nechť je dána grupa matic
G =
a 0
b c
| a, c ∈ Q∗
, b ∈ Q
s operací nasobení. Dokažte, že podgrupa
H =
a 0
b c
| a, b, c ∈ Q, a, c > 0
je normální a určete faktorgrupu.
D91 V příkladu C82 jsme spočítali jednu netriviální normální podgrupu v S4 resp. A4, označme ji V4.
Spočtete příslušné faktorgrupy. (S4/V4
∼=?, A4/V4
∼=?)
10
D92 Dokažte, že až na izomorfismus existují pouze dvě 2p prvkové grupy a popište je. (Zde p je prvočíslo.)
D93 Určete faktorgrupu z příkladu P84.
Doplňující příklady z teorie grup (svátek 1.5.)
S1 Dokažte, že následující grupa matic (G, ·) je izomorfní grupě (C∗
, ·).
G =
x y
y x
| x, y ∈ R, x2
+ y2
> 0
S2 Nechť je dána grupa G a její dvě podgrupy H a K. Definujme nyní podmnožinu HK grupy G:
HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}.
Dokažte, že pokud je K normální podgrupa grupy G, potom je podmnožina HK podgrupou grupy G. (Srovnej
s příkladem C71.) Dále dokažte, že pokud jsou obě podgrupy H i K normální, potom je normální i podgrupa
HK.
S3 Centrum grupy (G, ·) definujeme takto: Cent(G) = {x ∈ G | ∀y ∈ G : x · y = y · x}. Dokažte, že centrum
libovolné grupy (G, ·) je normální podgrupa táto grupy a ukažte, že faktorgrupa je izomorfní grupě Inn(G). Dále
určete centrum
a) grupy (S3, ◦) všech permutací tříprvkové množiny;
b) grupy (Z7, +) zbytkových tříd modulo 7;
c) grupy (GL2(Q), ·) regulárních matic 2 × 2 nad racionálním
S4
i) Ukažte, že libovolný automorfismu grupy Sn zachovává paritu permutace.
ii) Určete centrum grupy Sn pro libovolné n ≥ 2.
iii) Dokažte, že pro n > 2 je grupa Inn(Sn) izomorfní grupě Sn.
iv) Dokažte, že Aut(Sn) ∼= Sn pro n = 3, 4, 5.
S5 Nechť (G, ·) je grupa, n ∈ N a předpokládejme, že grupa G obsahuje jedinný prvek řádu n (označme jej
a). Dokažte, že tento prvek komutuje s libovolným prvkem grupy G, tj. xa = ax pro libovolné x ∈ G.
S6 Nechť G je grupa a označme G podgrupu generovanou množinou prvků tvaru [x, y] = x−1
y−1
xy, tj.
G = {[x1, y1][x2, y2] . . . [xn, yn] | n ∈ N, xi, yi ∈ G}.
i) Dokažte, že G je normální podgrupa grupy G.
ii) Ukažte, že faktorgrupa G/G je komutativní grupa.
iii) Ukažte, že G/G je ”největší” komutativní faktorgrupa grupy G, tj. ukažte, že pokud H je normální
podgrupa grupy G taková, že G/H je komutativní grupa, potom G ⊆ H.
iv) Určete ”největší” komutativní faktorgrupu pro grupu
H =
a b
0 c
| a, c ∈ Q∗
, b ∈ Q .
Totéž pro GL2(Q).
11
Burnsidovo lemma (svátek 8.5.)
V následujících příkladech nerozlišujeme mezi obarveními, která mohou na sebe přejít nějakou rotací.
B1 Kolika způsoby můžeme obarvit hrany krychle n barvami?
B2 Kolika způsoby můžeme obarvit vrcholy krychle n barvami?
B3 Na každou ze stěn krychle máme nakreslit jednu úhlopříčku. Kolik různých krychlí můžeme získat?
B4 Na každou ze stěn krychle máme nakreslit šipku mířící diagonálně od jednoho vrcholu k protějšímu.
Kolik různých krychlí můžeme získat?
B5 Jak se změní odpověď v 3. a 4., máme-li na libovolně mnoha stěnách povoleno také žádnou úhlopříčku
(šipku) nekreslit?
B6 Kolika způsoby můžeme obarvit stěny krychle, mají-li být dvě bílé, dvě černé a dvě červené?
B7 Kolika způsoby můžeme obarvit strany pravidelného 15-úhelníka n barvami? Zde nerozlišujeme mezi
obarveními, která mohou na sebe přejít nějakou rotací nebo osovou symetrií.
Cvičení 10
Z10 Uvažujme normální podgrupu grupy (G, +) = (Z, +) × (Z, +) definovanou takto:
(A) : H = {(a, b) ∈ Z × Z; 2 | a, 3 | b},
(B) : H = {(a, b) ∈ Z × Z; 5 | a, 2 | b},
(C) : H = {(a, b) ∈ Z × Z; 7 | 2a + 3b},
(D) : H = {(a, b) ∈ Z × Z; 5 | a + 4b}.
Určete, které grupě je izomorfní faktorgrupa G/H, tj. popište grupu (K, ·) a definujte vhodné zobrazení α :
G → K, pro něž dokažte, že α je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H.
C101 Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu 12x6
+ 8x5
− 85x4
+ 15x3
+ 55x2
+ x − 6.
P101 Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu 4x7
− 16x6
+ x5
+ 55x4
− 35x3
− 38x2
+ 12x + 8.
P102 Určete takové a ∈ C, pro něž má polynom f = 2x6
− x5
− 11x4
− x3
+ ax2
+ 2ax + 8 ∈ C[x] kořen 2.
Pro toto a určete všechny racionální kořeny polynomu f včetně násobností.
C102 Zjistěte násobnost kořene −1 polynomu x5
− ax2
− ax + 1 ∈ C[x] v závislosti na parametru a ∈ C.
C103 Najděte největší společný dělitel a koeficienty do Bezoutovy rovnosti pro dvojici polynomů f = x4
+1
a g = x3
− 1.
C104 Nalezňte všechny aspoň dvojnásobné kořeny polynomu x6
+ 6x5
+ 15x4
+ 20x3
+ 12x2
− 4.
P103 Nalezňte všechny aspoň dvojnásobné kořeny polynomu x4
− 2x3
− x2
+ 2x + 1 ∈ C[x].
P104 O polynomu g = x4
+ 2 i x3
+ x2
+ 2 i x + 1 ∈ C[x] víte, že má dvojnásobný kořen. Rozložte polynom
g na lineární faktory nad C.
P105 Zjistěte nejdříve všechny racionální kořeny a posléze všechny vícenásobné kořeny polynomů f =
12x7
− 56x6
+ 115x5
− 141x4
+ 103x3
− 35x2
− 3x + 9 a g = 8x7
− 44x6
+ 70x5
− 17x4
− 24x3
+ 10x2
+ 2x − 1.
Cvičení 11
Z11 Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu
A 4x7
− 23x5
+ 17x4
+ 31x3
− 49x2
+ 24x − 4,
12
B 2x7
− 3x6
− 20x5
− x4
+ 66x3
+ 91x2
+ 48x + 9,
C 4x5
+ 8x4
− 27x3
− 79x2
− 56x − 12,
D 4x5
− 35x3
+ 15x2
+ 40x + 12.
P111 Napište rozklady na součin ireducibilních polynomů nad C, R resp. Q pro všechny polynomy z příkladů
Cvičení 10.
C111 Uvažme následující množiny racionálních čísel:
A =
m
p
| m, p ∈ Z, 3 p , B =
q
3n
| n ∈ N, q ∈ Z .
Rozhoděte, zda (A, +, ·) (resp. (B, +, ·)), kde operace + a · jsou obvyklé sčítání a násobení racionálních čísel,
je okruh, případně obor integrity. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho jednotky.
C112 Nechť (R, +, ·) je komutativní okruh. Rozhodněte, zda je okruh i (R, +, ), kde je operace definovaná
vztahem a b = a · b + b · a pro libovolné a, b ∈ R.
C113 Určete, zda je okruh (Z2, +, ·) × (Z3, +, ·) oborem integrity. Je izomorfní s okruhem (Z6, +, ·)?
C114 Určete všechny ireducibilní polynomy nad Z2 stupně menšího než 5.
P112 Určete všechny ireducibilní polynomy nad Z3 stupně menšího než 4.
Cvičení 12
C121 Nalezněte všechny kořeny polynomu x5
+ 5x4
− x2
− x + 3 v Z7.
C122 Rozložte polynom x5
+ 3x3
+ x + 3 ∈ Z5[x] na součin ireducibilních polynomů nad Z5.
C123 Určete, který z polynomů f = x5
+ 3x3
− 9x + 3 ∈ Z[x] a g = x4
+ 4x3
+ 5x2
− 3 ∈ Z[x] je ireducibilní
nad Z a který lze rozložit na součin polynomů nižšího stupně. Napište rozklady polynomů f a g na ireducibilní
faktory nad Z.
C124 Určete všechny kořeny polynomu f = x7
− 4x6
+ 8x5
− 7x4
+ 8x2
− 8x + 4 ∈ C[x], víte-li, že má
dvojnásobný kořen 1 + i. Rozložte tento polynom na ireducibilní faktory nad Q, R, resp. C.
P121 Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají jednoduchý kořen −1
3 a dvojnásobný
kořen 3 + 2i, nalezněte polynom nejmenšího stupně. Rozložte tento polynom na ireducibilní polynomy
nad Q, R, resp. C.
C125 Určete, které prvky náleží podokruhu Z[a] okruhu C pro a =
√
3, a = 5
√
2, a = i, a = cos 2π
3 +i sin 2π
3 =
ξ3, a = cos 2π
7 + i sin 2π
7 = ξ7, a = π.
P122 Určete, které prvky náleží podokruhu Z[a] okruhu C pro a =
√
n, a = 3
√
n, a = i
√
n.
P123 Uvažme zobrazení f : C → R definované takto: f(a + b i) = a + b pro a, b ∈ R. Rozhodněte, zda je f
homomorfismus okruhu (C, +, ·) do okruhu (R, +, ·).
P124 Určete všechny čtveřice (a, b, c, d) ∈ R4
takové, že předpis α(r + s i ) = (ar + bs) + (cr + ds) i , pro
r, s ∈ R, definuje homomorfismus α : C → C okruhu C do sebe. Pro které z nich se jedná o izomorfismus?
P125 Buď Q(
√
3) = {a + b
√
3 | a, b ∈ Q} podokruh okruhu (R, +, ·). Ukažte, že (Q(
√
3), +, ·) je těleso.
Dokažte, že libovolný okruhový homomorfismus α : Q(
√
3) → C je identický na množině racionálních čísel, tj.
∀r ∈ Q : α(r) = r. Popište všechny okruhové homomorfismy α : Q(
√
3) → C. Které z nich jsou izomorfismy?
13
Návody, výsledky, poznámky
P11 Složení injektivních (resp. surjektivních, resp. bijektivních) transformací je injektivní (resp. surjektivní,
resp. bijektivní). Všechny množiny obsahují identitu a proto se jedná o monoidy. Pro konečnou množinu X jsou
všechny tři množiny stejné a tvoří grupu. Pro nekonečnou množinu X tvoří grupu pouze bijekce. V případě
parciálních transformací: X konečná množina - surjektivní a bijektivní transformace jsou permutace a jedná se
o grupu, injektivní tvoří pouze monoid; X nekonečná množina - pouze monoid ve všech případech.
P12 Doplnění ba = a, bb = b, cx = xc = c pro libovolné x je jediné možné.
P13 1) db=fcb=fc=b, 2) ae=abb=bb=e, 3)a, 4) nejsou, 5){a}, {e}, {b, e}, {d}, {c, d, f}, 6) ano - viz 1.
Z2-A
(ρ ◦ π) ◦ σ = {(x, y) | ∃z ∈ X : (x, z) ∈ σ, (z, y) ∈ ρ ◦ π} = {(x, y) | ∃z, u ∈ X : (x, z) ∈ σ, (z, u) ∈ π, (u, y) ∈ ρ},
podobně
ρ ◦ (π ◦ σ) = {(x, y) | ∃a ∈ X : (x, a) ∈ π ◦ σ, (a, y) ∈ ρ} = {(x, y) | ∃a, b ∈ X : (x, b) ∈ σ, (b, a) ∈ π, (a, y) ∈ ρ}
a rovnost je evidentní. Neutrálním prvkem je ”identita” {(x, x) | x ∈ X}. Pro prázdnou a jednoprvkovou
množinu je každá relace symetrická a tudíž jde o grupoid. Pokud obsahuje aspoň dva různé prvky a, b, pak pro
ρ = {(b, b)}, π = {(a, b), (b, a)} není relace ρ ◦ π = {(a, b)} symetrická. Obecně tedy nejde o grupoid.
Z2-B Asociativita - viz A. Nulový prvek je ”prázdná relace” ∅. Pokud |X| ≤ 2 je každá relace tranzitivní
a jde tudíž o grupoid. Pokud množina X obsahuje aspoň tři různé prvky a, b, c, pak pro ρ = {(a, a), (b, c)},
π = {(a, b), (c, c)} není relace ρ π = {(a, b), (b, c)} tranzitivní. Obecně tedy nejde o grupoid.
Z2-C,D Operace jsou asociativní obecně, proto jsou asociativní i na daných množinách O, N. Prvek ∅ je
nulový prvek v O a neutrální v N. Neutrální prvek v O a nulový v N neexistují. Grupy to nejsou.
C21+P21 1) Ne, 2) Ano, 3) Ano, 4) Ano, 5) Ano.
P22 Uvědomte si, že podmnožina S = {x ∈ G | x = x−1
} má sudý počet prvků.
P23 Z tabulky je vidět, že neutrální prvek je c.
Z3-A 1) Pokud ab = a pak a = bb = (aa)b = a(ab) = aa = b a pokud ab = b pak a = bb = (aa)b = a(ab) =
ab = b. 2) Z ef = g plyne, že neutrální prvek je g a pak se uz snadno doplní tabulka podle zákonu o krácení.
Z3-C 1) V grupě je právě jeden idempotent a to neutrální prvek. Pokud by S byla grupa, pak c je netrální
prvek a vidíme, že po doplnění výsledků násobení prvkem c tabulku nelze doplnit dle zákona o krácení. 2) Víme,
že ee = e, ff = f, gg = g (idempotenti). Dále eg = e(ef) = (ee)f = ef = g, gf = (ef)f = e(ff) = ef a
multiplikativní tabulku doplníme jednoznačne díky komutativitě.
D31 Ukažte, že pro libovolný prvek s obsahuje (konečná!) množina {sk
| k ∈ N} právě jeden idempotent.
P31 Pro libovolnou permutaci f je f2n
sudá permutace pro libovolné n ∈ N. Zadaná permutace je tudíž
součinem dvou sudých petrmutací.
P32 Popsanou vlastnost má permutace (1, 2) ◦ (3, 4) ◦ (5, 6) a potom 8 cyklů délky 6.
P33 Využijeme faktu, že každou permutaci lze psát jako součin transpozic. Každou z nich lze potom rozepsat
na součin (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i). Pokud je permutace sudá, pak se dle předchozího dá psát jako součin sudého
počtu transpozic typu (1, i). Tento součin rozdělíme po dvou a každou dvojici vyjádříme takto: (1, i)(1, j) =
(1, j, i) = (1, 2, i)2
(1, 2, j)(1, 2, i).
D32 Označme c = (1, 2) ◦ (1, 2, . . . n) = (2, 3, . . . n). Potom (1, i) = ci−2
(1, 2)cn−i+1
a použijeme P33.
D33 1-3) skripta. 4) S4 5) Grupa má 48 prvků. Její popis zkuste později. (Rozdělte symetrie na přímé,
tj. ty které lze ”fyzicky” provést (rotace, ...) a nepřímé, tj. ty které nelze provést (sředová souměrnost, ...)
Popište grupu přímých symestrií a ukažte, že každá nepřímá lze uvažovat jako součin jednoznačně určené přímé
symetrie a středové souměrnosti.)
D34 Každý takový prvek je sudá permutace. Lze ukázat, že i naopak každou sudou permutaci lze psát v
tomto tvaru. S cykly liché délky není žádná potíž a cykly sudé délky nejdříve rozložte na součin transpozice a
cyklu liché délky.
P45 Pro každé číslo n dělitelné lichým prvočíslem p je ϕ(n) dělitelné p−1 a tudíž čílsem sudým. Číslo, které
není dělitelné lichým prvočíslem, je tvaru 2k
pro k > 1 a proto je ϕ(n) mocnina čísla 2.
P46 Jsou to čísla 19, 27, 38, 54.
D41 n = 2x
3y
, pro x ∈ N, y ∈ N0.
D51 Ukažte, že zadané číslo je dělitelné číslem 7.
14
D52 Každé číslo x, 0 ≤ x < m1 ·· · ··mk zadává k-tici zbytků (ci)k
i=1 po dělení čísly mi. Pokud si uvědomíme,
že dvojice různých čísel x a y dává různou k-tici (neboť existuje mi které nedělí číslo x − y) dostaneme bijekci
mezi těmito čísly a k-ticemi (ci)k
i=1, kde 0 ≤ ci < mi.
D53 D3 má celkem 6 podgrup: triviální, 3 dvouprvkové (osová souměrnost a identita), 1 tříprvkovou (rotace)
a 1 šestiprvkovou (celé D3).
D4 má celkem 10 podgrup: triviální, 5 dvouprvkových (4 × osová souměrnost a identita, středová souměrnost a
identita), 3 tříprvkové (rotace, 2 × kolmé osové souměrnosti, středová souměrnost a identita) ) a 1 osmiprvkovou
(celé D4)—napište si je též jako podgrupy S4.
P61 2) X = {(1, 8, 5), (2, 4)} = {(1, 8, 5)a
◦ (2, 4)b
| a = 0, 1, 2; b = 0, 1} (6 prvků)
3) X = {(1, 3, 5), (2, 6, 7), (4, 8)} (18 prvků)
4) Pro a = (1, 2)(3, 4), b = (2, 3)(4, 5) máme ab = (1, 2, 4, 5, 3), tedy (ab)5
= id. Podgrupa X = {(ab)i
aj
| i =
0, 1, 2, 3, 4; j = 0, 1}, kde b = (ab)4
a, má 10 prvků. (Lze ji také popsat jako grupu pravidelného pětiúhelníka s
vrcholy označenými po řadě 1,2,4,5 a 3.)
5) X = {f ∈ A8 | f(1) = 1, f(5) = 5, f(8) = 8} podle P33-2). Podgrupa má 60 prvků.
D61 Sn dle D32.
P62 GL2(Z2) má 6 prvků. 1) dvouprvková podgrupa, 2) tříprvková podgrupa, 3) celá grupa GL2(Z2).
Označme G = {A ∈ GL2(Z3) | |A| = [1]3} podgrupu GL2(Z3). Ukažte, že Y = G. Snadno se vidí Y ⊆ G.
Dále G má 24 prvků a zbývá tedy ukázat, že Y má více než 12 prvků.
P63 {k · 3
√
2 | k ∈ Z} v (R, +), resp. { 3
√
2
k
| k ∈ Z} v (R∗
, ·).
P64
√
2
2 + i
√
2
2 = cos π
4 + i sin π
4 je prvek řádu 8, proto se jedná o osmiprvkovou podgrupu {±
√
2
2 ±
i
√
2
2 , ±1, ± i} = {cos kπ
4 + i sin kπ
4 | k ∈ Z}.
D62 V případě R∗
je to pouze {1} a {1, −1}. Pro C∗
máme pro každé přirozené číslo n právě jednu nprvkovou
podgrupu {cos 2kπ
n + i sin 2kπ
n | k ∈ Z}.
P65 a){0, 3}, b) 6Z, c) [0]4 ∪ [3]4.
D63 Rozlište několik případů 1) podgrupa neobsahuje liché číslo . . . 2kZ; 2) obsahuje liché l, ale ne nenulové
sudé . . . {0, l}; 3) obsahuje lichá i sudá a nechť k je nejmenší sudé přirozené, l nejmenší liché přirozené . . . [0]k∪[l]k.
P71 α hom., α není zobr., β není zobr., γ izo., δ izo., hom., zobr. ale není hom.
P73 (Zn, ·) resp. (Z∗
n, ·).
D71 Nechť ϕ je homomorfismus a ϕ([1]n) = [a]k. Potom ϕ([x]n) = [ax]k a proto musí platit k|an. Počet
homomorfismú je tudíž (n, k).
P74 Je-li f homomorfismus, potom řád prvku f(a) dělí řád prvku a. Proto v případě, že f je izomorfismu
platí i opak a tudíž jsou řády stejné.
D72 Definujte ϕ : Zn
2 → P(X) takto: ϕ(a) = {i ∈ X | ai = [1]2}, kde a = (ai)n
i=1 ∈ Zn
2 .
P82 J(α) = {[a]30 | [6a]20 = [0]20} = {[0]30, [10]30, [20]30}, J(β) = {[0]20, [5]20, [10]20, [15]20}, J(β ◦ α) =
5Z30.
P83
J(f) =





1 a b
0 1 a
0 0 1

 | a, b ∈ Z



,
D81 Viz. např. Birkhoff, MacLane: Algebra. Návod: nejdříve ukažte, že pokud podgrupa obsahuje nějakou
permutaci, pak obsahuje i nějaký cyklus délky 3 a využijte příkladu P33.
P84 H ne, N ano.
P85 2 1) celá grupa GL2(Z2). 2) tříprvková podgrupa, 3) celá grupa GL2(Z2). G = {A ∈ GL2(Z3) | |A| =
[1]3} je normální podgrupa. 3,4 komutativní grupy, tj. X N = X . 5 a,c) [0]4 ∪ [3]4, b) X N = X .
P87 H = (2, 1, 4) = {id, (1, 2, 4), (1, 4, 2)}. A4/H má 4 prvky (4 = 12
3 ) a to:
H,
(1, 2)(3, 4)H = {(1, 2)(3, 4), (2, 3, 4), (1, 3, 4)},
(1, 3)(2, 4)H = {(1, 3)(2, 4), (1, 4, 3), (1, 2, 3)},
(1, 4)(2, 3)H = {(1, 4)(2, 3), (1, 3, 2), (2, 4, 3)}.
P88 6, rozmyslete si, kdy (m, n) + H = (m, n) + H.
P89 Má-li podgrupa n prvků, pak pravý i levý rozklad má dvě třídy a to H a G \ H. Rozklady jsou tudíž
stejné a podgrupa je normální.
P91 (R∗
, ·) — vhodné zobrazení je přiřazení determinantu.
15
P92 Dané dvě matice jsou ve stejné třídě rozkladu právě tehdy, když ε = ε a 2 | a − a . Faktorgrupa je
izomorfní Z2 × Z2, nebo jinak α : G → Z∗
× Z2 definujeme
α
ε a
0 1
= (ε, [a]2).
P93 2. p + q = p + q. 3. Z; α : G → Z definujeme α(15p
5q
) = p + q.
P94 R; α : C → R, α(a + b i) = b.
P95 Z2 × Z2.
D91 S3, Z3.
D92 Ukažte, že pokud grupa obsahuje pouze prvky řádu 2, pak je komutativní a má potom počet prvků 2n
pro vhodné n. Pokud v grupě existuje prvek řádu 2p pak je izomorfní Z2p pokud tam není prvek řádu 2p, pak
je izomorfní Dp.
D93 (SL2(Q), ·).
C101 1, 2, −3, −1
2 , −1
2 , 1
3 .
P102 a = 10; kořeny 2, 2, −2, −1
2 .
C102 Pro a = −5 dvojnásobný, jinak jednoduchý.
C104 (f, f ) = x2
+ 2x + 2.
Z11 C 3, −2, −2, −1
2 , −1
2 ; D −3, 2, 2, −1
2 , −1
2
C121 [1]7, [1]7, [5]7, [5]7, [5]7
C122 (x + 2)(x2
+ x + 4)(x2
+ 2x + 4)
16