Cvičení 11: Nerovnosti, Popisná statistika a normálni rozdělení
Teorie:
Datový soubor tvoří naměřené hodnoty: #i, x2,..., xn. Po seřazení označujeme Aritmetický prUmer: x = m = -^Ylľ=1 x».
Modus x je nejčastejSí hodnota znaku. PrUmerný odchylka: o = n Sľ=1 — Rozptyl s2 = 1 ^ľ=1(xi — x)2, smerodatna odchylka s = v^š2.
Modifikovaný rozptyl nrjs2. Centrovane hodnoty x» — x, , standardizovane hodnoty p-kvantil (0 < p < 1) je
{
x([np]+1 pro np G Z
x(np) + x(np)+1   pro np G Z,
kde [a] značí celou čýst čísla a. Specialne x0;5 je mediýn, x0;25, resp. x0;75, dolní, resp. horní kvartil, x0;1, x0;2,..., x0;g decily apod.
Mezikvartilove rozpetí je definovýno jako Q = x0;75 — x0;25.
Pro dvourozmerný datový soubor [x^y^], kde 1 < i < n definujeme kovarianci prvního a druhého znaku jako
1n
s12 = -y"(xí — x)(yi — y) n
a koeficient korelace mezi prvním a druhym znakem jako r12 = -ry-.
Krabicový diagram (box plot): dolní a horní strana zakladního obdelníka (krabice) odpovída dolnímu a hornímu kvartilu, vodorovna círa uvnitr krabice mediínu (víska krabice je tedy mezikvartilove rozpetí). Dolní svisla usecka (dolní fous) odpovída hodnotam, ktere lezí „pod krabicí" ve vzdílenosti nejvyse 1,5 nasobku její vísky, obdobne horní fous. Mimo fousy se znízornují ostatní body (tzv. odlehla pozorovaní). Knížek uvnitr krabice znazornuje aritmetickí prumer.
Príklad 152. Vypoctete prumer a rozptyl
a) centrovanyích hodnot
b) standardizovaníych hodnot.
Príklad 153. Dokazte, ze pro rozptyl platí vztah s2 = - En=1 x2 — x2 a odvod'te analo; vztah pro modifikovaní rozptyl.
1
Příklad 154. Dokažte
a) pro n = 2,
b) obecne,
že pro koeficient korelace platí tžv. Cauchyova nerovnost —1 < r12 < 1. Příklad 155. Byly namereny nasledující hodnoty nejakeho žnaku
10; 7; 7; 8; 8; 9; 10; 9; 4; 9; 10; 9; 11; 9; 7; 8; 3; 9; 8; 7. Určete aritmeticky prumer, median, kvartily, rozptyl a príslušný krabicový diagram. Příklad 156. Mejme nežapornou nahodnou velicinu X se strední hodnotou
1. Bež dalsích informací o rozdelení X odhadnete P(X > 3//).
2. Víte-li, že X ~ Ex(±), vypoctete P(X > 3/).
Příklad 157. Ke každemu jogurtu bežne žnacky je nahodne (rovnomerne) pribalen obražek nektereho ž 26 hokejových mistru sveta. Kolik jogurtu si fanynka Verka musí koupit, aby s pravdepodobností 0,95 žískala alespon 5 karticek Jaromíra Jagra?
Příklad 158. Urcete pravdepodobnost, že pri 1200 hodech kostkou padne sestka alespon 150 krýt a nejvyse 250 krat
1. pomocí Cebysevovy nerovnosti,
2. pomocí de Moivre-Laplaceovy vety.
Příklad 159. Prumerný rychlost vetru je na urcitem míste 20 km/hod.
• Bež ohledu na roždelení rychlosti vetru jako nahodne veliciny urcete pravdepodobnost, že pri jednom požorovaní rychlost vetru nepresahne 60 km/h.
• Urcete interval, v nemž se bude rychlost vetru nachažet s pravdepodobností alespon 0,9, víte-li navíc, že smerodatna odchylka a = 1 km/hod.
Příklad 160. Na FI je 10% studentu s prospechem do 1,2. Jak velkou skupinu je treba vybrat, aby s pravdepodobností 0,95 v ní bylo 8-12% studentu s prospechem do 1,2? Ulohu reste žvlast' pomocí Cebysevovy a žvlast' pomocí Moivre-Laplaceovy vety.
Příklad 161. Dokažte, že pro kvantily normovaneho normílního roždelení platí vžtah
2      1 2
2