Cvičení 12: Limitní věty, normální rozdělení, náhodný výběr
Teorie:
Náhodným výběrem rozsahu n   rozumíme n-tici stochasticky nezávislých a
náhodných veliCin Xr,... , Xn, které mají totéž rozdelení. S náhodným výběrem se obvykle setkáváme pri opakovanem provádení tehož pokusu.
Statistika je náhodna veliCina vznikla transformací náhodneho výberu.
• Víberoví prumer M = n Yľi=1 X*, a jsou-li navíc X1,..., Xn ~ Na2), pak M ~ N (^,a2/n).
• Výberoví rozptyl S2 = nh En=i(X - m)2 =    (En=i X2 - nM), S = Vš2.
Intervalovým odhadem párámetru 9 rozumíme interval (TL, TU), kde TL(Xr,... , Xn) a Tu(Xr,..., Xn) jsou statistiky výberu (Xr,..., Xn). Platí-li
P(Tl < 9 < Tu) = 1 - a,
ríkíme, ze (Tl,Tu) je 100 • (1 — a)% interval spolehlivosti pro parametr 9. Horním od-hádem parametru 9 na hladine víznamnosti 1 — a je statistika U, pro níz
P(9 < U) > 1 - a,
dolním odhádem 9 na hladine víznamnosti 1 - a je pak statistika L, pro níz
P (L < 9) > 1 - a.
Prípád, kdý je Xr,... ,Xn náhodný výber z normálního rozdelení N(/i,a2):
• M a S2 jsou nezavisle nahodne veliciny.
• M ~ N(^,a2/n), a tedy U = (M - ^)/(a/^ň) ~ N(0,1).
• K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1).
• E(X - ^)2/a2 ~ x2(n).
• T = (M - ^)/(S/Vň) ~ t(n - 1).
Príklád 162. Pravdepodobnost, ze zasazený strom se ujme, je 0,8. Jaka je pravdepodobnost, ze z 500 zasazených stromu se jich ujme aspon 360?
Výsledek. 0,987.
1
Příklad 163. Pravděpodobnost, že semeno vyklíčí, je 0,9. Kolik semen je třeba zasadit, aby s pravdepodobností aspoň 0,995 vyklíčilo čča 90% semen (čož presneji formulujeme se zpřesnujíčím požadavkem, aby odčhylka podílu vyklíčenýčh semen od 0,9 nepřevýsila 0,034).
Výsledek. 600.
Příklad 164. Životnost (v hodinačh) určite električke součastky ma exponenčialní rozdelení s parametrem A =    . Pomočí čentrílní limitní vety odhadnete pravdepodobnost, že čel-kova životnost 100 takovyčh součastek bude mezi 900 a 1050 hodinami.
Výsledek. / = 10, a2 = 100, P(900 < E X < 1050) = P < E< 20!07;rM) =
$(0,5) - $(-1) « 0,533.
Příklad 165. Pri 600 hodečh kostkou padla jednička pouze 45 krat. Rozhodnete, jestli je možne tvrdit, ze jde o idealní kostku na hladine a = 0,01. Vse zduvodnete a svuj zíver expličitne formulujte.
Příklad 166. Do bedny ukladíme vírobky se strední hodnotou 3 kg a smerodatnou odčhylkou 0,8 kg. Jakí maximalní počet výrobku mužeme do bedny uložit, aby čelkova hmotnost s pravdepodobností 0,9738 neprekročila jednu tunu?
Výsledek. 324.
Příklad 167. Predpokladejme, že vyska desetiletíčh čhlapču nm normalní rozdelení Na2). S neznamou strední hodnotou / a rozptylem a2 = 39,112. Zmerením vysky 15 čhlapču jsme určili víberovy prumer M = 139,13. Určete
a) 99% oboustranníy interval spolehlivosti pro parametr /,
b) dolní odhad / na hladine víznamnosti 95%. Výsledek. a) (136,12; 142,14); b) 136,474.
Příklad 168. Odberatel provadí kontrolu jakosti nami dodanyčh vírobku namatkovou kontrolou testovaneho rozmeru u 21 nahodne vybraníčh vírobku. Dodavka bude prijata, pokud nebude vyíbňerovía smňerodatnía odčhylka pňrekraňčovat hodnotu 0,2 mm. Víme pňritom, že nase stroje produkují vírobky, u ničhž ma sledovaní rozmer normílní rozdelení tvaru N(10mm;0, 0737mm2). S využitím statističkíčh tabulek určete pravdepodobnost, s níž bude dodívka prijata. Jak se zmení odpoved', pokud odberatel kvuli níkladum na testy začne testovat pouze 4 vírobky?
(V prípade čhybejíčíčh ídaju v tabulče hodnoty, ktere mate k dispoziči, linearne interpolujte).
2