2   Cvičení 2: Základy teorie grup
Teorie: V tomto cvičení se budeme zabývat základními algebraickými strukturami. Na úvod nekolik zakladních pojmu:
Definice 7. Necht' G je libovolný neprúzdna množina. Binúrní operací na množine G rozumíme libovolne zobrazení ® : G x G — G.
Dohodneme se, ze místo ®(a,b) budeme psít a ® b.
Definice 8. Řekneme, ze je operace ® komutativní na mnozine G, jestlize pro libovolne a, b E G platí a ® b = b ® a.
Nyní se dostavíme k serii definic zííkladních algebraických struktur jako je grupoid, pologrupa, monoid a grupa.
Definice 9. Libovolnou neprazdnou mnozinu s operací na teto mnozine nazívame grupoid.
Napríklad tedy (N, +), (Z, -), (Q, •), (Z5, +), (C, •) jsou grupoidy. Naopak (N, -), (N,:) grupoidy nejsou.
Definice 10. Grupoid (G, ®) nazyvíme pologrupa, jestlize pro libovolne a,b,c E G platí, ze a ® (b ® c) = (a ® b) ® c.
Napríklad tedy (N, +), (Q, •), (Z5, +), (C, •) jsou pologrupy, ale (N, —), (Z, —) pologrupy nejsou.
Definice 11. Necht' (G, ®) je pologrupa. Řekneme, ze prvek e E G je neutralní prvek v pologrupe G, jestlize pro libovolne a E G platí
a ® e = a e ® a  = a
Napríklad 1 + 0i je neutrálním prvkem v pologrupe (C, •), 0 je neutralním prvkem v pologrupe (Z, +), [0]5 je neutralním prvkem v pologrupe (Z5, +).
Pro pocet neutralní ch prvku v dane pologrupe platí nasleduj ící tvrzení: Veta 8. V libovolné pologrupe existuje nejvýše jeden neutrální prvek.
Definice 12. Pologrupu s neutrálním prvkem nazývame monoid.
7
Definice 13. Nechť je dána pologrupa (G, ®) s neutrálním prvkem e. Řekneme, že prvek b E G je inverzní (opaCná) k prvku a E G, jestliže platí:
a ® b = e b ® a  = e
Definice 14. Monoid, ve kterém ke každemu prvku existuje prvek inverzní, nažíváme grupa.
Napríklad (Z, +), (R\{0|, •), (Z7, +) jsou grupy. Oproti tomu (R, •), (Z, •) grupy nejsou.
Dále se můžeme podívat na podmnožiny grup. Pokud je sama podmnožina grupou, ríkame, že tvorí podgrupu dane grupy. Nekteré vlastnosti ždedí každa podmnožina (asociativitu, komutativitu), proto nemusíme pro podgrupy dokažovat všechny podmínky grupy.
Veta 9. Necht (G, *) je grupa a necht 0 = H C G. Potom H je podgrupa grupy G, jestliže platí
1. pro všechny a, b E H platí, že a + b E H
2. pro všechny a E H platí, že a-1 E H
Příklad 21. Uved'te príklad:
1. KoneCne komutativní grupy
2. KoneCne nekomutativní grupy
3. NekoneCne komutativní grupy
4. NekoneCne nekomutativní grupy
5. KoneCne komutativní pologrupy, kterí nebude monoidem.
6. Petiprvkove komutativní grupy
7. NekoneCneho monoidu, kterí nebude grupou Rešení
1. (Z5, +)
2. (§3, o)
3. (Z, +)
8
4. Množina všech regulárních matic spolu s násobením
5. ({a, b}, ®), kde a ® b = a, a ® a = a, b ® b = a, b ® a = a.
6. (Z5, +)
7. (Z, •)
Příklad 22. Rozhodnete, žda daná množina Z tvorí spolu s operací ty (komutativní) grupoid, (komutativní) pologrupu, (komutativní) monoid, (komutativní) grupu:
1.	aVb	=	(a,b)
2.	aVb	=	
3.	aVb	=	2a + b
4.	aVb	=	|a|
5.	aVb	=	a + b + a • 1
6.	aVb	=	a + b — a • 1
7.		=	a + (—1)ab
Výsledek.
1.	Daná	množina	s operací tvorí komutativní pologrupu, ktera není monoidem.
2.	Daná	množina	s operací tvorí nekomutativní grupoid, který není pologrupou.
3.	Daná	množina	tvorí nekomutativní grupoid, který není pologrupou.
4.	Daná	množina	tvorí nekomutativní pologrupu, ktera nemí neutralní prvek.
5.	Daná	množina	tvorí komutativní monoid, kterí není grupou.
6.	Dana	množina	tvorí komutativní monoid, kterí není grupou.
7.	Daná	množina	tvorí nekomutativní grupu.
Příklad 23. Rožhodnete, žda množina G = R \ {0} x R s operací A tvorí grupoid, pologrupu, pologrupu s neutrílním prvkem (monoid), grupu a žda je žadana operace komutativní, jestliže je operace A definovína takto: (x, y)A(u, v) = (xu, xvpro libovolní (x,y), (u,v) G G-
Výsledek. Jedna se o nekomutativní grupu.
9
Příklad 24. Nechť X je libovolná množina. Nechť' P (X) znaCí sysťem všech podmnožin množiny X. UrCeťe, zda množina P(X) ťvoří š danou operací grupoid, pologrupu, polo-grupu š neuťrainím prvkem (monoid), grupu a zda je zadana operace komuťaťivní.
1.
průnik mnozin
2.
sjednocení mnozin
3.
symeťrickí rozdíl mnozin
Výsledek. Je-li mnozina X prízdna, poťom ťvorí P (X) se všemi operacemi komuťaťivní grupu. V osťaťních prípadech
1. S operací prunik ťvorí daní mnozina komuťaťivní pologrupu s neuťralním prvkem.
2. S operací sjednocení ťvorí dana mnozina komuťaťivní pologrupu s neuťralním prvkem.
3. S operací symeťricky rozdíl ťvorí daní mnozina komuťaťivní grupu.
Příklad 25. Rozhodneťe, zda podmnozina G komplexních císel ťvorí spolu s operací nasobení komplexních císel grupoid, pologrupu, pologrupu s neuťrílním prvkem (monoid), grupu a zda je zadanaí operace komuťaťivní.
1.	G =	[a + bi	| a, b	G z}
2.	G =	[a + bi	| a, b	G r, a2 + b2 = 1}
3.	G=	[a + b •	V5 |	a, b G q, a2 + b2 = 0}
Výsledek.
1. G ťvorí monoid
2. G ťvorí komuťaťivní grupu
3. G ťvorí komuťaťivní grupu
Příklad 26. Dokazťe, ze v kazde grupe o sudem pocťu prvku exisťuje prvek, kťerí je sam sobe inverzním a presťo ťo není neuťralní prvek.
Rešeni. Serad'me prvky dane grupy do dvojic, pricemz ve dvojici bude vzdy prvek a jeho inverze. Sím poťom zusťane neuťrílní prvek. To je vsak celkem lichí poceť prvku.
Příklad 27. Urceťe, kolika zpusoby lze doplniť ťabulka ťak, aby ([a, b, c}, byl
10
4. pologrupa s neutrálním prvkem
5. grupa
*	a	b	c
a	c	b	a
b			b
c			
Výsledek.
1. 35 4. 1
2. 9
3. 9 5. 0
1. grupoid
2. komutativní grupoid
3. grupoid s neutraílním prvkem
Příklad 28. Doplňte tabulku tak, aby ({a, b, c}, *) byla pologrupa.
*	a	b	c
a	b	a	c
b			
c			
Příklad 29. Doplňte tabulku tak, aby ({a, b, c}, *) byla grupa.
*	a	b	c
a			
b	c	a	
c			
Příklad 30. Necht' (G, o) je grupa, necht' a G G je libovolná pevná prvek. Definujme na G operaci následovne: x??y = x o a o y pro libovolne x, y G G. Dokazte, Ze (G, ??) tvorí grupu.
Příklad 31. Uved'te príklad:
1. Dvou disjunktních podgrup grupy Z.
2. Dvou ruzních podgrup grupy Z.
11
3. Grupy, která má právě jednu podgrupu.
4. Podgrupy C*, která má 17 prvkU.
5. Ctyr ruznách podgrup grupy Z, kterě obsahují číslo 45.
Příklad 32. Popište všechny podgrupy grupy Z30 á nakreslete, ják jsou v sobě vnorený. Výsledek. Je jich celkem 8.
Příklad 33. Dokážte, ze H = [a + b\[2 | a, b E Z} tvorí podgrupu grupy (R, +).
Příklad 34. Dokážte, že H = [a + b\[2i | a, b E Z} tvorí podgrupu grupy (C, +).
Příklad 35. Dokážte, že H = [c E C | |c| = 1} tvorí podgrupu grupy (C*, •).
Příklad 36. Popiste vsechny konečne podgrupy grupy (R*, •) Výsledek. Dve podgrupy: [1}, [ — 1,1}.
Příklad 37. Dokážte, že prunikem dvou podgrup grupy G je opet podgrupá grupy G.
Příklad 38. Ožnácme Matn(T) množinu vsech ctvercovích mátic rádu n s koeficienty ž množiny T. Dokážte, že G = (Maí2(R), +) tvorí komutátivní grupu á rožhodnete, ždá množiná H tvoríí podgrupu grupy G:
1. H = Mat2(Z)
2. H = Mat2(N0)
3. HHl'! a)la,bEQ}
5. h ^ (a a)|a,b e z}
Výsledek.
12
1. Ano
2. Ne
3. Ano
4. Ne
5. Ano
Příklad 39. Označme QLn(r) množinu všech regulárních čtvercových matic s reálnými koeficienty. Dokažte, že G = GL2(r) tvorí grupu a rozhodnete, zda množina H tvorí podgrupu grupy G:
1. H = GC2(Q)
2. H = GC2(Z)
3. H = {A G GL2(z) | |A| = 1}
4. H =
5. H =
Výsledek.
1. Ano
2. Ne
3. Ano
4. Ne
0 a a b
10
a1
| a, b G q| | a G z j
6. H = {(Í ?)|a,bG«}
7. H = {(0 a)ia,bGr}
5 Ano
6. Ano
7. Ne
8. Ano
Příklad 40.
1. Rozhodnete, zda množina H = {a G r* | a2 G q} tvorí podgrupu grupy (r*, •)
2. Rozhodnete, zda množina H = {a G r | a2 G q} tvorí podgrupu grupy (r, +) Výsledek.
1. Ano
2. Ne
Příklad 41. Necht' G je komutativní grupa. Oznacme H = {g G G | g2 = eG}. Dokazte, že H tvorí podgrupu grupy G a zduvodnete, proc je duležita komutativita grupy G.
13