6   Cvičení 6: Polynomy s reálnými a komplexními koeficienty
Teorie: Zde pro nás bude teorie kraťoučká. Půjde o sérii tvrzení, která byla odvozena na prednáSce. Nez se do nich pustíme, uved'me jistou paralelu mezi polynomy a celými čísly. Take se zde muzeme bavit o delitelnosti, stanovovat Euklidovým algoritmem nejvetsí společný delitel a hledat koeficienty v Bezoutove rovnosti.
Veta 17. Má-li polynom f E R [x] komplexná koren a + bi, potom má i koren a — bi.
Veta 18. Kazdá polynom s reálnymi koeficienty lichého stupně má reálny koren.
Veta 19. Má-li polynom f s reálnymi koeficienty vícenásobná kořen a, potom je a kořenem polynomu f '(x) á tedy i polynomu gcd(f, f').
Veta 20. Polynom s reálnymi koeficienty je nád R ireducibilnáprávě tehdy, kdyzje lineární nebo kvádráticky se záporným diskriminántem.
Veta 21. Polynom s komplexními koeficienty je nád C ireducibilná práve tehdy, kdyz je lineární.
Príklad 94. Dokazte, ze jsou dane polynomy f, g E R [x] nesoudelne a naleznete príslusne koeficienty v Bezoutove rovnosti.
1. f (x) = x4 + 2x3 + 4x + 2, g(x) = x2 + 2x + 2
2. f (x) = 2x3 + x + 1, g = x2 + 1
3. f (x) = x5 + 1, g = x3 — 1
Príklad 95. Urcete nejvetsí spolecný delitel polynomu f, g E R [x] a naleznete príslusne koeficienty v Bezoutove rovnosti.
1. f (x) = x4 + 4x3 + 10x2 + 12x + 9, g(x) = x3 + 3x2 + 5x + 3.
2. f (x) = x6 + 9x4 + 27x2 + 27, g(x) = x4 + 6x2 + 9.
3. x5 + x4 — 2x3 — 2x2 + x + l,g = x3 — 2x2 — x + 2
29
Příklad 96. Nalezněte všechny kořeny polynomu / G R [x], víte-li, že má násobný kořen. Daný polynom rozložte na iředucibilní faktory nad Z, R, C.
1.	/ (x)	= x4 - 40x + 400
2.	/ (x)	= x4 - 4x3 - 26x2 + 60x + 225
3.	/(x)	= x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 12x2 - 4
4.	/(x)	= x4 - 2x3 - x2 + 2x + 1
Příklad 97. UřCete všechny kořeny polynomu / = x7 - 4x6+8x5-7x4+8x2-8x+4 G C [x], víte-li, že ma dvojnýsobný kořen 1 + i. Rozložte tento polynom na iředucibilní faktořy nad C, R, Q.
Příklad 98. UřCete všechny kořeny polynomu / = x6+8x5 + 24x4 + 24x3-27x2-80x-50 G C [x], víte-li, že ma dvojnasobny kořen 2 + i. Rozložte tento polynom na iředucibilní faktořy
nad C, R, Q.
Příklad 99. Urcete všechny kořeny polynomu / = x4 - 2x3 + x2 + 2x - 2 G C [x], víte-li, že ma kořen 1 + i. Rožložte tento polynom na iředucibilní faktořy nad C, R, Q.
Příklad 100. Meži všemi nořmovaními polynomy s řealnymi koeficienty naležnete ten nejnižšího štupne, kteří mí
1. dvojnašobny kořen 1 + i a jednoduchy kořen 2.
2. dvojníšobny kořen 1 a jednoduchí kořen 2 - 3i.
3. třojnašobní kořen i a jednoduchí kořen -1 - i.
4. jednoduche kořeny i + 1, 2 - i, i - 3.
Rožložte tyto polynomy na iředucibilní faktořy nad C, R, Q.
Příklad 101. Zjištete níšobnošt kořene -1 polynomu + 1 G C[x] v žíavišlošti
na pařametřu a G C.
Příklad 102. Uřcete nořmovane polynomy /, g G R [x] ctvřteho štupne tak, aby / (1 + i) = 0 a aby g mel dva dvojníšobne kořeny, přicemž gcd(/, g) = x2 + x + 1.
30
Příklad 103. Rozložte polynom x4 — x2 — 2 na součin ireducibilních prvků v oborech C[x], R[x], Q[x], Z5[x], Zs[x].
Příklad 104. Určete všechny koreny polynomů f (x) = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1, g(x) = x3 — 2x2 + x — 2, víte-li, že mají společný koren. Rozložte tyto polynomy na ireducibilní faktory nad C, R, Q.
Příklad 105. Urcete všechny koreny polynomů f (x) = 2x4 — 5x3 — x2 + 11x + 5, g(x) = 2x4 — 11x3 + 20x2 — 7x — 10, víte-li, že mají spolecny racionalní koren. Rozložte tyto polynomy na ireducibilní faktory nad C, R, Q.
Příklad 106. Urcete všechny koreny polynomů f (x) = x6 — 4x5+9x4 — 12x3 + 12x2 — 8x+ 4, g(x) = x5 — 3x4 + 4x3 — 4x + 4, víte-li, že mají spolecní nasobní koren. Rožložte tyto polynomy na iredůcibilní faktory nad C, R, Q.
Výsledek. f (x) = (x— (1+i))2(x— (1 — i))2(x—i)(x+i), g(x) = (x—(1+i))2(x—(1—i))2 (x+1)
Příklad 107. Urcete vsechny koreny polynomu
1. f (x) = 6x4 — 5x3 — 38x2 — 5x + 6
2. f (x) = 5x4 — 26x3 + 10x2 — 26x + 5
Příklad 108. Rožložte na ireducibilní faktory nad C, R, Q polynom x6 + 27.
Příklad 109. Polynom f (x) = x3 + ax2 + bx — 15 ma koren 2 + i. Urcete realna císla a, b a ostatní koreny tohoto polynomu.
Příklad 110. Aniž byste pocítali koreny polynomu x3 — 4x2 + 6x — 4, urcete polynom, kterí bude mít dvojnasobne koreny.
Příklad 111. Aniž byste pocítali koreny polynomu 2x3 — 5x2 — x + 6, urcete polynom, kterí bude mít koreny, které budou prevraceními hodnotami korénu žadaneho polynomu.
31