(DeTtwcvieení
M<B104 -jaro 2013
Příklad 1. Určete, jakou algebraickou strukturu tvoří (IR, 0), kde aQb = (a + 6)(l + a-b).
Příklad 2. Na množině IR x IR x IR definujme operaci 0 vztahem
(x, y, z) 0 (a,b,c) = (x + a,y + b, z + c + x ■ b) Dokažte, že daná struktura tvoří nekomutativní grupu.
Příklad 3. Rozhodněte, jaké algebraické struktury tvoří následující množiny s operacemi.
1. (IR^0'1^, +)
2. (M^V)
3. (ME,o)
4. ({IRE | / je bijekce},o)
Příklad 4. Určete, jakou algebraickou strukturu tvoří
1. Množina všech aritmetických posloupností s operací sčítání
2. Množina všech geometrických posloupností s operací sčítání
3. Množina všech rostoucích posloupností s operací sčítání
4. Množina všech konvergentních posloupností s operací sčítání
Příklad 5. Na množině přirozených čísel definujme operaci o vztahem m o n = m.n. Určete, jaké vlastnosti má daná operace.
Příklad 6. V rovině definujme operace A tak, že A A B = C tak, aby byl trojúhelník ABC rovnostranný (v kladném smyslu značení), přičemž A A A = A pro každý bod roviny. Jaké vlastnosti má takto definovaná operace?
1
Příklad 7. Doplňte tabulku tak, aby ({a, b, c},*) byla grupa.
	a	b	c
a			
6			
c		a	b
Příklad 8. Nechť
ysin</?    cos ip J J Určete, jakou strukturu tvoří M s operací násobení matic.
Příklad 9. Je dána grupa G = (Q,+). Rozhodněte, zda dané množiny tvoří podgrupu grupy G.
1. H = {f I a E Z, k E N0}
2. # = {§ | (a, 6) = l,a < 6}
3. Nechť p je prvočíslo, iJ = {| | (a, 6) = 1, a < 6,p { 6}
4. = {§ | (a,6) = !,□{&}
Příklad 10. Nechť (G, 0) je grupa. Nechť B(G) označuje množinu všech bijekcí na G. Dále pro každé a E G definujme fa:G^-G vztahem fa(x) = a Q x 0 a-1. Množinu všech takovýchto zobrazení označme 7í(G).
1. Dokažte, že (£>(G), o) je grupa.
2. Dokažte, že (7í(G),o) je podgrupa (£>(G),o).
2