(Democvicení
MB104 - jaro 2013
Příklad 1. Uvažujme H C Gl3{R), kde
H
1 a b O 1 c O   O 1
)
a,b,c E Z
1. Ukažte, že iJ je podgrupa grupy G/3(M)
2. Uvažujme / : H —> Z dané předpisem /(A) = a — c. Rozhodněte, zda se jedná o homomorfismus grup.
Příklad 2. Necht / : M2 —> R dané vztahem f ((x,y)) = x. Dokažte, že se jedná o homomorfismus a určete jádro a obraz.
Příklad 3. Rozhodněte, zda předpis ^ : (Zi5, +) —> (Z3, +)x(Z5, +), cu([a]i5) = ([2a]3, [2a]5), zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda se jedná o homomorfismus grup.
Příklad 4. Ukažte, že (Z?>!, +) = (P(X), -h), kde X je n-prvková množina.
Příklad 5. Je dána grupa (Zg1; •).
1. Určete řád této grupy
2. Najděte prvky řádu 10.
Příklad 6. Faktorizujte grupu Z podgrupou kZ. Zdůvodněte, proč je daná podgrupa normální.
Příklad 7. Faktorizujte grupu IR podgrupou kZ. Zdůvodněte, proč je daná podgrupa normální.
Příklad 8. Faktorizujte grupu IR* podgrupou { — 1,1}. Zdůvodněte, proč je daná podgrupa normální.
Příklad 9. Faktorizujte grupu C* podgrupou H = {z E C | \z\ = 1}. Zdůvodněte, proč je daná podgrupa normální.
Příklad 10. Faktorizujte grupu G/2(K) podgrupou S72(IR). Zdůvodněte, proč je daná podgrupa normální.
Příklad 11. Určete všechny homomorfismy grup Z15 —> Z24
1