(DeTtwcvieení
M<B104 -jaro 2013
Příklad 1. Čtyřikrát nezávisle na sobě hodíme mincí. Náhodná veličina X udává počet hlav, které padnou při těchto hodech. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny X.
Příklad 2. Předpokládejme, že X má diskrétní rozdělení takové, že P(X = k) = c ■ k2, pro fc=l;2;3a P(X = k) = 0 jinak. Určete
1. hodnotu c
2. P(X > 2),
3. P(XG{1,3}).
Příklad 3. Rozhodněte, které z následujících funkcí jsou hustotami (mimo vymezený interval je vždy funkce nulová, c je vhodná konstanta (v případě, že jde o hustotu, tuto konstantu určete):
1. c pro x G (—1; 1),
2. cx pro x G (0; 1),
3. cx pro x G (—1; 2),
4. cxsinx pro x G (—f, f),
5. ce^ pro x G (0; oo),
6. ce^ pro x G (0; oo),
Příklad 4. Náhodná veličina X má distribuční funkci
pro x < 0 F(x) = <( cx2  pro x G (0, 2)
jinak
1. Určete hodnotu c.
1
Příklad 5. Náhodná veličina X má distribuční funkci
0
pro x < 0 pro x G (—5, 2) jinak
F(x)
x+5 7
1
1. určete hustotu pravděpodobnosti
2. P(-2 < X < 2)
3. P(X = 2)
4. P(-6,1
Příklad 6. V zásilce s 10 výrobky je 8 kvalitních (z nich je 5 první jakosti a 3 jsou druhé jakosti) a 2 zmetky. Ze zásilky vybereme bez vracení 2 výrobky. Náhodná veličina X nechť značí počet vybraných kvalitních výrobků a Y počet vybraných výrobků první jakosti. Určete sdruženou i marginální pravděpodobnostní funkci a rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny laľ stochasticky nezávislé.
Příklad 7. Spojitý náhodný vektor (X; Y) má hustotu
f(x; y) = 24x2y(l — x),    pro 0 < x, y < 1 a jinde nulovou. Dokažte, že X a Y jsou stochasticky nezávislé.
Příklad 8. Spojitý náhodný vektor (X;Y;Z) má hustotu k ■ xyz pro 0 < x,y < 1; 0 < z < 3 a jinak rovnou nule. Určete konstantu k a vypočtěte P(0 <X<|,|<y<
|, 1 < Z < 2).
2