' 1 3	pro x
1 < l 6	pro x
	pro x
U	jinak.
(Dzmocviemí
M<B104 -jaro 2013 Příklad 1. Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí
-2
p(X) = { 2 3
Určete E(X), E(2X + 5), £(X2), D(X) a L>(2X + 1).
Příklad 2. Nekorelované náhodné veličiny laľ mají rozptyly -D(X) = a a -D(V) = 2. Určete konstantu a, jestliže rozptyl náhodné veličiny Z = 3Y — X je D (Z) = 25.
Příklad 3. Náhodná veličina X má na intervalu (0, a) konstantní hustotu pravděpodobnosti (a jinde nulovou). S využitím vlastností střední hodnoty a rozptylu určete:
1. E(2X + 3),
2. E(3X2 -2X + 1),
3. D(2X + 3),
4. £>(X2 + 1),
5. momentovou vytvořující funkci E(etx) náhodné veličiny X.
Příklad 4. Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení (tj. pravděpodobnostní funkci p(x) = ^e~A)- Určete její momentovou vytvořující funkci, střední hodnotu a rozptyl.
Příklad 5.
1. Dokažte Markovovu nerovnost
EX
P[X > A] <
A
2. Z Markovovy nerovnosti odvoďte Čebyševovu nerovnost
DX
P(\X - EX\ > e) <
e2 '
3. Počet aut vjíždějících do křižovatky v určitém časovém intervalu se řídí Poissonovým rozdělením se střední hodnotou 120. Určete dolní odhad pravděpodobnosti, že v tomto intervalu vjede do křižovatky 100 až 140 aut.
1
Příklad 6. Nechť má X binomické rozdělení s parametry n = 4, p = 2/3. Určete rozdělení transformované náhodné veličiny Y = (X - 2)2 a nakreslete graf její distribuční funkce.
Příklad 7. Mějme náhodnou veličinu X hustoty f(x) = 2xe~x~ pro x > 0 (a jinde nulové). Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny Y = X2.
Příklad 8. Délka výrobku v mm má iV(68, 3; 0, 04). Jaká je pravděpodobnost, že délka náhodně odebraného výrobku bude mezi 68 a 69 mm?
2