Matematika IV - 4. přednáška Rozklady grup, okruhy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13. 3. 2013 tělesa oooooo Ile podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo oooooooooooo Obsah přednášky O Rozklady podle podgrup Ql Normální podgrupy Q Okruhy a tělesa Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo OOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Předmětové záložky v IS MU Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Předmětové záložky v IS MU • R. B. Ash, Abstract algebra, http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html. • Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002. • Peter J. Cameron. Introduction to algebra, Oxford University Press, 2001, 295 s. (Dostupné v knihovne PřF). Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooooo oooooooooooo oooooooooooo Plán přednášky 0 Rozklady podle podgrup Q Normálni podgrupy Q Okruhy a tělesa idm9» <ímí> 1 -o^p- Rozklady podle podgrup •oooo Rozklady po Normálni podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h b jestliže b^1 ■ a G H, tj. a-1 • b G H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b^1 nebo b • a-1). Je to relace ekvivalence: Rozklady podle podgrup •oooo Rozklady po Normálni podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h b jestliže b^1 ■ a G H, tj. a-1 • b G H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b^1 nebo b • a-1). Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, Rozklady podle podgrup •oooo Rozklady po Normálni podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h b jestliže b^1 ■ a G H, tj. a-1 • b G H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b^1 nebo b • a-1). Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, • je-li b^1 ■ a = h G H, potom a-1 • b = (b^1 ■ a)-1 = h'1 G H, Rozklady podle podgrup •oooo Rozklady po Normálni podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h b jestliže b^1 ■ a G H, tj. a-1 • b G H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b^1 nebo b • a-1). Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, • je-li b^1 ■ a = h G H, potom a-1 • b = (b^1 ■ a)-1 = h'1 G H, • je-li c-1 • b G H a zároveň je Ď-1 • a G H, potom c'1 ■ a = c'1 ■ b-b'1- ae H. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa o»ooo OOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Rozklady podle podgrup o»ooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že a ■ H = {a ■ h; h G H}, neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Rozklady podle podgrup o»ooo Normální podgrupy OOOOOOOOOOOO Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že a ■ H = {a ■ h; h G H}, neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme G/H. Rozklady podle podgrup o»ooo Normální podgrupy OOOOOOOOOOOO Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že a ■ H = {a ■ h; h G H}, neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme G/H. Obdobně definujeme pravé třídy rozkladu H • a. Příslušná ekvivalence je: a ~ b, jestliže a ■ b^1 G H. Proto H\G = {H ■ a; a G G}. :jie/d AdrnS npe/yzoj Apui ojj BISA oooooooooooo ES3|3q. e ÄL|nj>|Q OOOOOOOOOOOO Ädru§pod ju|elujo|\| oo*oo dru3pod 3|pod Xpe|>|zoy Rozklady podle podgrup oo»oo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Věta Pro třídy rozkladu grupy platí: O Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H c G splývají právě tehdy, když pro každé a G G, h G H platí a ■ h • a-1 G H. Rozklady podle podgrup oo»oo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Věta Pro třídy rozkladu grupy platí: O Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H c G splývají právě tehdy, když pro každé a G G, h G H platí a ■ h • a-1 G H. & Všechny třídy (levé i pravé) mají shodnou mohutnost jako podgrupa H. O Zobrazení a ■ H i-> H • a-1 zadává bijekci mezi levými a pravými třídami rozkladu G podle H. Poznámka Rozmyslete si, proč je v posledním tvrzení a 1 a nikoliv a. Rozklady podle podgrup ooo»o Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom Rozklady podle podgrup ooo»o Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom Q Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooo#o oooooooooooo OOOOOOOOOOOO Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom Q Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ O Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. Rozklady podle podgrup ooo»o Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom Q Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ O Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. 0 Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Rozklady podle podgrup ooo»o Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom Q Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ O Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. 0 Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a G G je an = e. Rozklady podle podgrup ooo»o Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom Q Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ O Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. 0 Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a G G je an = e. O je-li mohutnost grupy G prvočíslo p , pak je G izomorfní cyklické grupě Zp. Rozklady podle podgrup ooo»o Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ O Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. 0 Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a G G je an = e. O je-li mohutnost grupy G prvočíslo p , pak je G izomorfní cyklické grupě Zp. ■ Druhému tvrzení se říkává Lagrangeova věta, předposlednímu malá Fermatova věta (častěji ovšem ve speciálním případě grupy (Z£, •)) Rozklady podle podgrup oooo» Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a e Z nedělitelné p platí ap- 1 = 1 (mod p). Rozklady podle podgrup oooo» Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a G Z nedělitelné p platí ap- 1 = 1 (mod p). Věta (Eulerova) "* Pro libovolné m G N a každé a G Z splňující (a, m) = 1 platí 3^m) = 1 (mod m). Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo OOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO Plán přednášky 0 Rozklady podle podgrup Q Normální podgrupy 0 Okruhy Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo •ooooooooooo oooooooooooo Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a G H pro všechna a G G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H < G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo •ooooooooooo oooooooooooo Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a 6 H pro všechna a £ G, h 6 H, se nazývají normální podgrupy (značíme H < G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Podgrupa H je normální právě tehdy, když pro každé a £ G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa OOOOO »00000000000 oooooooooooo Normálni podgrupy Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a 6 H pro všechna a £ G, h 6 H, se nazývají normální podgrupy (značíme H < G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Podgrupa H je normální právě tehdy, když pro každé a £ G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). Důsledek • 1 < G, G < G • V komutativní grupě je každá podgrupa normální. • Je-li H podgrupa konečné grupy G, kde \ H\ = |G|/2, pak je H normální. ■0 0.0 Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo o»oooooooooo oooooooooooo Príklad • Dihedrální grupa D2n má vždy normálni podgrupu izomorfní Z„. Levý (i pravý) rozklad podle této podgrupy je dvojprvková množina {Z„,s • Z„}. • (f2) = {'d, ľ2} je normální podgrupa v D$. Levý rozklad podle této podgrupy je čtyřprvková množina {{id, r2},{r,r3},{s,sr2},{sr,sr3}}. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oo^ooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem (a- H)-(b- H) = (a- b) ■ H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a • h, b • H dostaneme opět stejný výsledek (a ■ h ■ b ■ h') ■ H = ((a ■ b) ■ (ZT1 -h-b)-h')-H. Věta Je-li H normálnípodgrupou G, tvoří rozklad G/H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oo^ooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem (a- H)-(b- H) = (a- b)- H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b • H dostaneme opět stejný výsledek (a ■ h ■ b ■ h') ■ H = ((a ■ b) ■ (ZT1 - h-b)-h1)- H. Je-li H normálnípodgrupou G, tvoří rozklad G/H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní. Příklad ríL = {na; a G Z} c zadává pro libovolné íiéN podgrupu Z a její faktorgrupou (až na izomorfismus) je aditivní grupa zbytkových tříd Z„ (přitom pro n = 1 jde o triviální grupu) . 00.0 Rozklady podle podgrup Normálni podgrupy Okruhy a tělesa ooooo ooo»oooooooo oooooooooooo 1 zľi /~J n /~\ i i y h q 1 f\ y osté) grupy jeanoaucne ^pr Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. 1255 stran "tvrdé" matematiky Rozklady podle podgrup Normálni podgrupy Okruhy a tělesa ooooo ooo»oooooooo oooooooooooo 1 zľi /~J n /~\ i i y h q 1 f\ y osté) grupy jeanoaucne ^pr Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální1). 1255 stran "tvrdé" matematiky Rozklady podle podgrup Normálni podgrupy Okruhy a tělesa ooooo ooo»oooooooo oooooooooooo 1 zľi /~J n /~\ i i y h q 1 f\ y osté) grupy jeanoaucne ^pr Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální1). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. 1255 stran "tvrdé" matematiky Rozklady podle podgrup Normálni podgrupy Okruhy a tělesa ooooo ooo»oooooooo oooooooooooo 1 zľi /~J n /~\ i i y h q 1 f\ y osté) grupy jeanoaucne ^pr Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální1). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. Například alternující grupa An (tj. podgrupa sudých permutací grupy Z„) je jednoduchá pro n > 5 , z čehož (s pomocí tzv. Galoisovy teorie) plyne nemožnost existence obecných vzorců pro kořeny polynomů stupně 5 a vyššího. 1255 stran "tvrdé" matematiky Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooo»ooooooo oooooooooooo Vztah normálních i podgrup a homomorfismů Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G —>■ G/H, 3i-> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooo»ooooooo oooooooooooo Vztah normálních podgrup a homomorfismů Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G —>■ G/H, 3i-> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů. Duální pojmy • Homomorfismus f =4> normální podgrupa ker f • Normální podgrupa H =4> homomorfismus G —» G/H Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa OOOOO OOOOO0OOOOOO oooooooooooo Věty o izomorfismu Věta (první, základní) Pro libovolný homomorfismus grup f : G —» K je dobře definován také homomorfismus f : G/kerf K, f(a ■ H) = f(a), který je injektivní. Zejména dostáváme G/ ker f = f(G). Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooo«ooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Předchozí věta je nejčastěji používanou větou z vět o izomorfismech. Používa se zejména pro určení struktury faktorgrupy (resp. často spíše pro potvrzení, tj. důkaz, intuitivně zřejmé struktury). Příklad Čemu je izomorfní faktorgrupa regulárních matic řádu n nad M podle podgrupy matic determinantu 1 (tj., čemu se rovná GL„(M)/SLn(M))? Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy ooooooo0oooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Mx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy ooooooo0oooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Mx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, že je to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(M), •) do (Mx, •), jehož jádrem bude právě SL„(M). Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy ooooooo0oooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Mx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, že je to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(M), •) do (Mx, •), jehož jádrem bude právě SL„(M). Nyní už by mělo být vidět, že přirozenou volbou pro takový homomorfismus je >4 i—> det(/4). 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooo«ooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Příklad Nechť (G,o) je grupa nekonstantních lineárních zobrazení reálných čísel s operací skládání zobrazení, tj. G = {f : R ->• R\f(x) = ax + b, a e Rx, b £ R}. Určete, která z podgrup T = {f : R -+ R\f(x) = ax, a 6 Rx} S = {f : R -+ R\f(x) =x + b,beR} je normální a v případě normality určete strukturu příslušné faktorgrupy. Řešení Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooo«ooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Příklad Nechť (G,o) je grupa nekonstantních lineárních zobrazení reálných čísel s operací skládání zobrazení, tj. G = {f : R ->• R\f(x) = ax + b, a £ Rx, b £ R}. Určete, která z podgrup T = {f : R -+ R\f(x) = ax, a £ Rx} S = {f : R -+ R\f(x) = x + b, b £ R} je normální a v případě normality určete strukturu příslušné faktorgrupy. Řešení Normální je S, hledaný homomorfismus na faktorgrupu (Mx,-) pak f i-> a (pro f(x) = ax + b). Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo ooooooooo»oo oooooooooooo Další věty o izomorfismu Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a g A, b g B}. Normalizátorem podgrupy B v G rozumíme množinu Nc(B) = {g g G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; B je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo ooooooooo»oo oooooooooooo Další věty o izomorfismu Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a g A, b g B}. Normalizátorem podgrupy B v G rozumíme množinu Nc(B) = {g g G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; B je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Věta (druhá, diamantová) Necht A, B < G jsou podgrupy splňující A < Nc(B). Pak (At~)B). Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy 00000000000» Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO Príklad Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C* —> C* definovaný na nenulových komplexních číslech vztahem zhz^s přirozeným k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina /c-tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Z^. První věta o izomorfismu tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus f : C*/Zk -> C*. Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s mohutnostmi tak přehledné jako u konečných grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo OOOOOOOOOOOO Q Rozklady podle podgrup Q Normálni podgrupy Q Okruhy a tělesa Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo •ooooooooooo S grupami se potkáváme nejčastěji jako s množinami transformací. U skalárů i vektorů ale vystupovalo hned více obdobných struktur zároveň. Jako standardní příklady mějme na mysli skaláry (tj. celá čísla Z, racionální čísla Q, reální či komplexní čísla M, C) a množiny polynomů nad takovými skaláry R. Klasickým příkladem konečného okruhu je pak Zm. 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa •ooooooooooo S grupami se potkáváme nejčastěji jako s množinami transformací. U skalárů i vektorů ale vystupovalo hned více obdobných struktur zároveň. Jako standardní příklady mějme na mysli skaláry (tj. celá čísla Z, racionální čísla Q, reální či komplexní čísla M, C) a množiny polynomů nad takovými skaláry R. Klasickým příkladem konečného okruhu je pak Zm. Komutativní grupa (/?, +) s neutrálním prvkem 0 6 R, spolu s další operací • splňující « (a • b) ■ c = a • (b • c), pro všechny a, b, c 6 R (asociativita); • a • b = b • a, pro všechny a, b £ R (komutativita); « existuje prvek 1 takový, že pro všechny a 6 R platí 1 • a = a (existence jedničky); » a • (b + c) = a • b + a • c, pro všechny a, b,c £ /? (distributivita); se nazývá komutativní okruh. Takový okruh zapisujeme (/?, +, •). 00.0 Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Definice Jestliže v komutativním okruhu R platí c ■ d = 0 právě, když je alespoň jeden z prvků c a d nulový, pak okruh R nazýváme oborem integrity. Příklad « Okruhy (Z, +, •), (Q, +, •) jsou obory integrity. • Okruh Gaussových celých čísel Z[/] = {a + bi; a, b 6 Z} je oborem integrity. • Okruh (Z4,+,-) není obor integrity, narozdíl od (Zs,+,-). Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Definice Jestliže v komutativním okruhu R platí c ■ d = 0 právě, když je alespoň jeden z prvků c a d nulový, pak okruh R nazýváme oborem integrity. Příklad • Okruhy (Z, +, •), (Q, +, •) jsou obory integrity. • Okruh Gaussových celých čísel Z[/] = {a + bi; a, b g Z} je oborem integrity. • Okruh (Z4,+,-) není obor integrity, narozdíl od (Zs,+,-). Pokud neplatí vlastnost komutativity operace •, hovoříme o nekomutativním okruhu (nebo pouze o okruhu). V dalším se ovšem omezíme pouze na okruhy komutativní. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Definice Jestliže v komutativním okruhu R platí c ■ d = 0 právě, když je alespoň jeden z prvků c a d nulový, pak okruh R nazýváme oborem integrity. Příklad • Okruhy (Z, +, •), (Q, +, •) jsou obory integrity. • Okruh Gaussových celých čísel Z[/] = {a + bi; a, b g Z} je oborem integrity. • Okruh (Z4,+,-) není obor integrity, narozdíl od (Zs,+,-). Pokud neplatí vlastnost komutativity operace •, hovoříme o nekomutativním okruhu (nebo pouze o okruhu). V dalším se ovšem omezíme pouze na okruhy komutativní. Operaci + budeme říkat sčítání a operaci • násobení. Navíc budeme vždy předpokládat existenci jedničky 1 pro operaci násobení, neutrálnímu prvku pro sčítání říkáme nula. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo oo«ooooooooo V každém komutativním okruhu R s jedničkou platí následující vztahy (které nám jistě připadají samozřejmé u skalárů) O 0 • c = c • 0 = 0 pro všechny cg/?, O — c = (—1) • c = c • (—1) pro všechny cg/?, 0 —(c • d) = (—c) • d = c • (—d) pro všechny c, c/ g /?, 0 a ■ (b — c) = a ■ b — a ■ c, 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo ooo»oooooooo Dělitelnost v okruhu Obecně říkáme, že a £ R dělí c g R, jestliže existuje b tak, že a ■ b = c. Skutečnost že c g R je dělitelné a g R zapisujeme a\c. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Obecně říkáme, že a £ R dělí c g R, jestliže existuje b tak, že a ■ b = c. Skutečnost že c g R je dělitelné a g R zapisujeme a\c. Dodatečnou vlastností oboru integrity oproti obecnému okruhu je neexistence netriviálních dělitelů nuly. Okamžitě odtud také vyplývá jednoznačnost dělitelů: Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Obecně říkáme, že a £ R dělí c g R, jestliže existuje b tak, že a ■ b = c. Skutečnost že c g R je dělitelné a g R zapisujeme a\c. Dodatečnou vlastností oboru integrity oproti obecnému okruhu je neexistence netriviálních dělitelů nuly. Okamžitě odtud také vyplývá jednoznačnost dělitelů: Věta Platí-li v oboru integrity a = b- cab^Q, pak c je jednoznačně dáno volbou a, b. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Obecně říkáme, že a £ R dělí c g R, jestliže existuje b tak, že a ■ b = c. Skutečnost že c g R je dělitelné a g R zapisujeme a\c. Dodatečnou vlastností oboru integrity oproti obecnému okruhu je neexistence netriviálních dělitelů nuly. Okamžitě odtud také vyplývá jednoznačnost dělitelů: Věta * Platí-li v oboru integrity a = b dáno volbou a, b. • c a b ý 0/ Pak c Je jednoznačně Důkaz. Pro a = bc = bc' totiž platí 0 c = d. = b • (c — c') a b ý 0. proto □ Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooo»ooooooo Dělitelé jedničky, tj. invertibilní prvky v /?, se nazývají jednotky. Jednotky v komutativním okruhu vždy tvoří komutativní grupu. Netriviální (komutativní) okruh, ve kterém jsou všechny nenulové prvky invertibilní, se nazývá (komutativní) těleso. 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooo»ooooooo Dělitelé jedničky, tj. invertibilní prvky v /?, se nazývají jednotky. Jednotky v komutativním okruhu vždy tvoří komutativní grupu. Netriviální (komutativní) okruh, ve kterém jsou všechny nenulové prvky invertibilní, se nazývá (komutativní) těleso. V české literatuře se někdy v případě komutativního tělesa můžete setkat s pojmenováním pole (z angl. field). Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa ooooo»oooooo Typickým příkladem komutativních těles jsou číselné obory Q, M, C. Dále pak všechny okruhy zbytkových tříd Zp s prvočíselným p. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa ooooo»oooooo Typickým příkladem komutativních těles jsou číselné obory Q, M, C. Dále pak všechny okruhy zbytkových tříd Zp s prvočíselným p. Základním příkladem nekomutativního okruhu s jedničkou je množina Mat/((/?) všech čtvercových matic nad okruhem R s k řádky a sloupci. Jak jsme viděli dávno, není to ani obor integrity. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa ooooo»oooooo Typickým příkladem komutativních těles jsou číselné obory Q, M, C. Dále pak všechny okruhy zbytkových tříd Zp s prvočíselným p. Základním příkladem nekomutativního okruhu s jedničkou je množina Mat/((/?) všech čtvercových matic nad okruhem R s k řádky a sloupci. Jak jsme viděli dávno, není to ani obor integrity. Jako příklad nekomutativního okruhu, kde existují inverze k nenulovým prvkům (tzv. okruh s dělením) uveďme okruh kvaternionů h = {a + b ■ i + c - j + d ■ k; a, b, c, d g R}, se sčítáním po složkách a násobením odvozeným ze základních relací i2 = j2 = k2 = —1, ij = —ji = k, jk = —kj = i, ki = —ik = j. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo oooooo»ooooo Obor integrity vs. těleso Věta Každý konečný obor integrity je těleso. Důkaz. Dokazuje se prostřednictvím homomorfismu f : R —> R, f(x) = ax (je to injekce, proto surjekce, proto je R těleso (rozmyslete!). □ Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo oooooo»ooooo Obor integrity vs. těleso Věta Každý konečný obor integrity je těleso. Důkaz. Dokazuje se prostřednictvím homomorfismu f : R —> R, f(x) = ax (je to injekce, proto surjekce, proto je R těleso (rozmyslete!). □ A co obráceně? Samozřejmě je každé těleso oborem integrity. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo oooooo»ooooo Obor integrity vs. těleso Věta Každý konečný obor integrity je těleso. Důkaz. Dokazuje se prostřednictvím homomorfismu f : R —> R, f(x) = ax (je to injekce, proto surjekce, proto je R těleso (rozmyslete!). □ A co obráceně? Samozřejmě je každé těleso oborem integrity. Příklad Zřejmě je např. Z obor integrity, který není těleso. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo ooooooo»oooo Polynomy Polynomem rozumíme jakýkoliv konečný výraz, který lze poskládat ze známých konstantních prvků R a jedné neznámé proměnné pomocí operací sčítání a násobení: Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa ooooooo»oooo Polynomem rozumíme jakýkoliv konečný výraz, který lze poskládat ze známých konstantních prvků R a jedné neznámé proměnné pomocí operací sčítání a násobení: Definice Nechť R je jakýkoliv (dále vždy) komutativní okruh skalárů. Polynomem nad R rozumíme konečný výraz k f (x) = £ a/x'" kde a,- g R, i = 0,1,..., k, jsou tzv. koeficienty polynomu. Je-li a k ý 0' říkáme, že f[x) má stupeň k, píšeme st f = k. Nulový polynom nemá stupeň, polynomy stupně nula jsou právě nenulové prvky v R, kterým říkáme konstantní polynomy. 00.0 Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa ooooooo»oooo Polynomem rozumíme jakýkoliv konečný výraz, který lze poskládat ze známých konstantních prvků R a jedné neznámé proměnné pomocí operací sčítání a násobení: Definice Nechť R je jakýkoliv (dále vždy) komutativní okruh skalárů. Polynomem nad R rozumíme konečný výraz k f (x) = £ a/x'" kde a,- g R, i = 0,1,..., k, jsou tzv. koeficienty polynomu. Je-li a k ý 0' říkáme, že f[x) má stupeň k, píšeme st f = k. Nulový polynom nemá stupeň, polynomy stupně nula jsou právě nenulové prvky v R, kterým říkáme konstantní polynomy. Polynomy f[x) a g(x) jsou stejné, jestliže mají stejné koeficienty. Množinu všech polynomů nad okruhem R budeme značit R[x]. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooo»ooo Každý polynom zadáva zobrazení f : R —> R, jehož hodnota vznikne dosazením hodnoty c za nezávislou proměnnou x, tj. f (c) = a0 + aic-\-----h akck. Všimněme si, že konstantní polynomy odpovídají právě konstantním zobrazením. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooo»ooo Každý polynom zadáva zobrazení f : R —> R, jehož hodnota vznikne dosazením hodnoty c za nezávislou proměnnou x, tj. f (c) = a0 + aic-\-----h akck. Všimněme si, že konstantní polynomy odpovídají právě konstantním zobrazením. Kořen polynomu f(x) je takový prvek cg/?, pro který je f (c) = 0 g R. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooo»ooo Každý polynom zadáva zobrazení f : R —> R, jehož hodnota vznikne dosazením hodnoty c za nezávislou proměnnou x, tj. f (c) = a0 + aiC-\-----h akck. Všimněme si, že konstantní polynomy odpovídají právě konstantním zobrazením. Kořen polynomu f(x) je takový prvek cg/?, pro který je f (c) = 0 g R. Obecně se může stát, že různé polynomy definují stejná zobrazení. Např. polynom x2 + x g 2^[x] zadává identicky nulové zobrazení. Obecněji, pro každý konečný okruh R = {a^, a\,..., ak} zadává polynom f(x) = (x — ao)(x — a\)... (x — ak) identicky nulové zobrazení. Zároveň ale platí tvrzení, které dokážeme zanedlouho: Jestliže je R nekonečný okruh, pak dva polynomy f(x) a g(x) nad R jsou stejné právě tehdy, když jsou stejná příslušná zobrazení f a ■0 0.0 Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo Dva polynomy f (x) = J2iaix' a áí(x) = J2i bi*' umíme přirozeně také sčítat i násobit: {f + g){x) = (a0 + bo) + (ai + bx)x + ■■■ + & + bk)xk (f • g)(x) = (a0b0) + ■■■ + {a0be + + ••• + aíbQ)xí + ... kde uvažujeme nulové koeficienty všude, kde v původním výrazu pro polynomy nenulové koeficienty nejsou a u sčítání nechť je k maximální ze stupňů f a g. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo oooooooooo»o Tato definice vskutku odpovídá příslušným operacím sčítání a násobení hodnot zobrazení f,g:R-*R, díky vlastnostem skalárů v původním okruhu R. Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooo»o Tato definice vskutku odpovídá příslušným operacím sčítání a násobení hodnot zobrazení f,g:R—>R, díky vlastnostem skalárů v původním okruhu R. Přímo z definice vyplývá, že množina polynomů R[x] nad komutativním okruhem s jedničkou je opět komutativním okruhem s jedničkou, přičemž jedničkou v R[x] je opět jednička 1 v okruhu R vnímaná jako polynom stupně nula. Lemma Okruh polynomů nad oborem integrity je opět obor integrity Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo oooooooooo»o Tato definice vskutku odpovídá příslušným operacím sčítání a násobení hodnot zobrazení f,g:R—>R, díky vlastnostem skalárů v původním okruhu R. Přímo z definice vyplývá, že množina polynomů R[x] nad komutativním okruhem s jedničkou je opět komutativním okruhem s jedničkou, přičemž jedničkou v R[x] je opět jednička 1 v okruhu R vnímaná jako polynom stupně nula. Lemma Okruh polynomů nad oborem integrity je opět obor integrity. Důkaz. Máme ukázat, že v R[x] mohou být netriviální dělitelé nuly pouze tehdy, jestliže jsou už v R. To je ale zřejmé z výrazu pro násobení polynomů. Jsou-li f(x) a g(x) polynomy stupně k a í jako výše, pak koeficient u xk+í v součinu f(x) ■ g(x) je součin a^ • b^ a ten musí být nenulový, pokud nejsou dělitelé nuly v R. □ Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo V Matematice III jsme pracovali s formálními mocninnými řadami a neformálně jsme prohlásili, že s nimi můžeme provádět analogické operace jako s polynomy. Nyní toto tvrzení můžeme zasadit do formálního algebraického kontextu: Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Okruhy a tělesa oooooooooooo V Matematice III jsme pracovali s formálními mocninnými řadami a neformálně jsme prohlásili, že s nimi můžeme provádět analogické operace jako s polynomy. Nyní toto tvrzení můžeme zasadit do formálního algebraického kontextu: Definice Nechť R je okruh skalárů. Formální mocninou řadou nad R rozumíme (obecně nekonečný) formální výraz f(x) = X^oa'x'' kde a,- 6 /?,/' = 0,1,..., jsou tzv. koeficienty řady. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Okruhy a tělesa ooooo oooooooooooo oooooooooooo V Matematice III jsme pracovali s formálními mocninnými řadami a neformálně jsme prohlásili, že s nimi můžeme provádět analogické operace jako s polynomy. Nyní toto tvrzení můžeme zasadit do formálního algebraického kontextu: Definice Nechť R je okruh skalárů. Formální mocninou řadou nad R rozumíme (obecně nekonečný) formální výraz f(x) = X^oa'x'' kde a,- 6 /?,/' = 0,1,..., jsou tzv. koeficienty řady. Snadno se ukáže, že s dříve definovanými operacemi sčítání a násobení tvoří formální mocnině řady okruh, který značíme R[[x]] (a jehož je R[x] podokruhem).tvoří formální mocnině řady okruh, který značíme R[[x]] (a jehož je R[x] podokruhem). Sami si zkuste rozmyslet, že invertibilními prvky tohoto okruhu jsou právě mocninné řady, které mají invertibilní absolutní člen.