Skupina A
Náhodný výběr (8 bodů):
Detailní hloubku moře lze pro hloubky v rozmezí mezi 1 km a 5 km měřit přístrojem, který má rozptyl 2500 m2. Určete:
(a) Minimální počet měření nutný k tomu, aby bylo dosaženo přesnosti 10 m se spolehlivostí 0,90. (3)
(b) Výběrový průměr a výběrový rozptyl z měření s výsledky: 1325, 1285, 1400, 1350, 1295, 1380. (2)
(c) Interval spolehlivosti 0,95 pro měřenou hloubku odvozený z výše uvedených měření. (3) Polynomy (8 bodů):
(a) Uvažujte kvadratický polynom x2 + ax + b, jehož reálné koeficienty splňují \a\ < 1, |6| < 2 a všechny přípustné hodnoty koeficientů jsou stejně pravděpodobné. Určete pravděpodobnost, že všechny kořeny tohoto polynomu jsou reálné a záporné. (4)
(b) Nalezněte polynomy f{x),g{x) G Q[x] stupně 4, které mají (každý) trojnásobný kořen a jejichž největší společný dělitel je h{x) — 9x2 — 9x — 4. Polynom h vyjádřete jako lineární kombinaci polynomů /, g (Bezoutova rovnost). (4)
Algebra (4 body) :
(a) Popište podgrupu grupy (Cx, •) generovanou cos ^ + z sin ^l. (1)
(b) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) polynomu pátého stupně nad Q, který není ireducibilní a přitom nemá v Q kořen. (1)
(c) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) ireducibilního polynomu nad Q stupně 2011. (1)
(d) Určete [20íí]^g2. (1)
Skupina B
Náhodný výběr (8 bodů):
Volejbalový trenér tvrdí, že volejbalistky mají větší objem plic než průměr ženské populace stejné věkové skupiny, který činí 3,4 litru.
(a) Během tréninkového kempu byla uskutečněna měření s následujícími výsledky:
3,4   3,6   3,8   3,3   3,4   3,5   3,7   3,6   3,7   3,4 3,6.
Se spolehlivostí 95% rozhodněte, zda je tvrzení trenéra opodstatněné - sestrojte příslušný jednostranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu normálního rozdělení, z něhož pochází výběr volejbalistek a pro porovnání i 95% oboustranný interval spolehlivosti. (4)
(b) Z výše uvedeného výběru určete interval spolehlivosti 90% pro neznámý rozptyl a2 rozdělení, z něhož výběr pochází. (4)
Polynomy (8 bodů):
(a) Uvažujte kvadratický polynom x2 + ax + b, jehož reálné koeficienty splňují \a\ < 4, |6| < 2 a všechny přípustné hodnoty koeficientů jsou stejně pravděpodobné. Určete pravděpodobnost, že všechny kořeny tohoto polynomu jsou reálné. (4)
(b) Nalezněte polynomy f{x),g{x) G Q[x] stupně 4, které mají (každý) trojnásobný kořen a jejichž největší společný dělitel je h{x) — 16x2 — 8x — 3. Polynom h vyjádřete jako lineární kombinaci polynomů /, g (Bezoutova rovnost). (4)
Algebra (4 body) :
(a) Popište podgrupu (Cx, •) generovanou prvkem cos ^ + i sin ^p. (1)
(b) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) ireducibilního polynomu pátého stupně nad C. (1)
(c) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) polynomu nad Z3 stupně 2011 s nenulovým absolutním členem, který má v Z3 právě 2009 kořenů (počítáno včetně násobnosti). (1)
(d) Určete [1492]^. (1)