3. června 2013_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška DDD příklad c l I mčo l ^ l ^ l j l l j l j l j body L ^ l ^ l j _D IB3H5E1B9 Náhodné veličiny a pravděpodobnost (7 bodů): Příklad 1 (a) Určete distribuční funkci náhodného vektoru (X, Y), jehož hustota je y) = \\^x-y) Prol 2X). (4) (b) Tyč délky 1 je náhodně rozlomena na 3 části. Určete pravděpodobnost, že z těchto částí půjde sestrojit trojúhelník. (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 3. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška D D D I pHkiad c, 2 příklad c I—— mčo L ^ L ^ L -j L ^ L c -j L -j body L ^ L u L -j _D IB3H5E1B9 Statistika (6 bodů): Na dvou soustruzích se vyrábějí tytéž součástky, PffJ^J^fJ 2 u nichž se měří vnitřní průměr (předpokládá se normální rozdělení). Byl pořízen náhodný výběr rozsahu 14 z produkce prvního soustruhu a rozsahu 18 z produkce druhého soustruhu. Příslušné výběrové průměry jsou 37,5 mm, resp. 36,8 mm a výběrové rozptyly 1,21 mm2, resp. 1,44 mm2. Testujte hypotézu o rovnosti střední hodnoty kontrolovaných rozměrů v produkci obou strojů oproti oboustranné alternativě při a = 0,1. Svůj závěr explicitně zformulujte. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 3. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška D D D I pHkiad c, 3 příklad c —I mčo L ^ L ^ L -j L ^ L c -j L -j body L ^ L u L -j _D IB3H5E1B9 Algebra a aplikace (7 bodů) : Příklad 3 (a) Nalezněte polynomy f(x),g(x) G Q[x] stupně 4, které mají (každý) trojnásobný racionální kořen a jejichž nej větší společný dělitel je h(x) = x2 — 3x — 4. Polynom h vyjádřete jako lineární kombinaci polynomů f(x),g(x) (Bezoutova rovnost). (4) (b) Adam si v kryptosystému RSA zvolil za veřejný klíč modul n = 1189 a exponent e = 23. Zašifrujte pro Adama zprávu m = 13. V pozici Adama, kdy navíc znáte rozklad n = 29 • 41, vypočtěte jeho soukromý klíč a uveďte, jak se zpráva dešifruje (výpočet již neprovádějte). (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 3. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška DDDE příklad c l I učo l ^ l ^ l j l j l c j l j body l ^ l ^ l j _D IB3H5E1B9 Náhodné veličiny (7 bodů): Příklad 1 (a) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y), jehož distribuční funkce je {0 pro x < — 1 ^2 (arcsinrr + |)(arctgí/ + |) pro \x\ < 1 i(arctgy + f) pro x > 1. Určete rovněž marginální hustoty a rozhodněte, jsou-li veličiny laľ stochasticky nezávislé. (4) (b) Na úsečce O A délky 1 jsou náhodně zvolené body B a, C tak, že \OB\ < \OC\. S využitím geometrické pravděpodobnosti určete pravděpodobnost, že \BC\ < \OB\. Předpokládejte, že pravděpodobnost volby bodu na konkrétní úsečce má rovnoměrné spojité rozdělení. (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 3. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška 0 D D ^ příklad c , 2 příklad c I—— mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L ^ L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Statistika (6 bodů): Předpokládáme, že přidáním speciálních přípravků je PffJ^J^fJ 2 možné snížit tvrdost vody. Náhodným výběrem 40 vzorků vody byla zjištěna průměrná tvrdost 4,0. Po přidání přípravku pak byla změřena na 50 vzorcích průměrná tvrdost 3,8. Na hladině významnosti 5% testujte nulovou hypotézu oproti předpokládané jednostranné alternativě za předpokladu, že oba výběry pocházejí z normálního rozdělení s rozptylem 0,25. Svůj závěr explicitně zformulujte. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 3. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška 0 D D ^ příklad c , 3 příklad c —I mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Algebra a aplikace (7 bodů) : Příklad 3 (a) Nalezněte polynomy f(x),g(x) G Q[x] stupně 4, které mají (každý) trojnásobný racionální kořen a jejichž nej větší společný dělitel je h(x) = x2 — x — 6. Polynom h vyjádřete jako lineární kombinaci polynomů /, g (Bezoutova rovnost). (4) (b) Alice si chce s Bobem pomocí protokolu Dimeho a Hellmana vyměnit klíč pro symetrickou komunikaci. Zvolí parametr p = 29. (3) i) Určete generátor grupy (Z^g, •). ii) Alice zvolila číslo a = 21 a Bob b = 13. Vypočtěte sdílený klíč a popište postup, jak se na něm dohodli. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.