25. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 4. zkouška DDD příklad c l I učo l ^ l ^ l j l j l c j l j body l ^ l ^ l j _D IE3H5ElBg Náhodné veličiny a pravděpodobnost (7 bodů): Příklcld 1 (a) Náhodně vybraná konzerva v armádním skladu je vadná s pravděpodobností 0,1. Kolik konzerv musí zásobovací důstojník ze skladu vzít, aby mezi nimi bylo s pravděpodobností 99% alespoň 60 bezvadných konzerv. (Předpokládejte, že konzervy jsou vydávány náhodně). (4) (b) Nechť jsou X1}X2 stochasticky nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Určete rozdělení transformované náhodné veličiny Y = 2 — X\ + a najděte její 95. percentil. Dále vypočtěte E(X1-Y). (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 25. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 4. zkouška D D D I pHkiad c, 2 příklad c I—— mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L ^ L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Polynomy (8 bodů): Příklad 2 (a) Uvažujte kvadratický polynom x2 + ax + &, jehož reálné koeficienty splňují \a\ < 4, \b\ < 2 a všechny přípustné hodnoty koeficientů jsou stejně pravděpodobné. Určete pravděpodobnost, že všechny kořeny tohoto polynomu jsou reálné a kladné. (4) (b) Najděte všechny kořeny polynomu x4 + Ax2 — x + 6 G C [x] a určete jejich násobnost, víte-li, že jedním z kořenů je —^p^. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 25. června 2013_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 4. zkouška D D D I pHkiad c, 3 příklad c —I mčo L ^ L ^ L -j L ^ L u L -j L -j body L ^ L L -j _D IB3H5E1B9 Algebra (5 bodů) : Nechť Sn značí grupu permutací na n-prvkové množině Príklad 3 s operací skládání zobrazení. (a) Určete, pro která n G N je grupa Sn komutativní a v nekomutativních případech ukažte příklad nekomutujících prvků. (1) (b) Určete podgrupu S7 generovanou {(1,2) (4, 7), (4, 2) (7,3)}. (1) (c) Určete všechna m G N pro něž v Sj existuje prvek řádu m. (1) (d) Vyčíslete počet permutací řádu 3 v Sj. (1) (e) Určete všechny s G Sj pro něž s2 o (1, 7) o s2 = (1, 7) o s2 o (1, 7). (1) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 25. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 4. zkouška DDDE příklad c l I učo l ^ l l j l j l j l j l j body l ^ l l j _D IE3H5ElBg Náhodné veličiny a pravděpodobnost (7 bodů): Příklcld 1 (a) Obchodní řetězec naplánoval kampaň, během níž ke každému nákupu za alespoň 200 Kč dává náhodně obrázek některé z 24 postaviček jisté počítačové hry. Kolik nejméně musí Martinovi rodiče v obchodě utratit, aby Martin s pravděpodobností nejméně 0,95 získal více než 3 kartičky své oblíbené postavičky (obrázek číslo 1)? (4) (b) Nechť jsou X1}X2 stochasticky nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Určete rozdělení transformované náhodné veličiny Y = —3 + 2Xi — X2 a najděte její 99. percentil. Dále vypočtěte E(X1-Y). (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 25. června 2013 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 4. zkouška 0 D D ^ příklad c , 2 příklad c I—— mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Polynomy (8 bodů): Příklad 2 (a) Uvažujte kvadratický polynom x2 + ax + &, jehož reálné koeficienty splňují \a\ < l,\b\ < 2 a všechny přípustné hodnoty koeficientů jsou stejně pravděpodobné. Určete pravděpodobnost, že všechny kořeny tohoto polynomu jsou reálné a záporné. (4) (b) Najděte všechny kořeny polynomu x4 — x3 + Qx2 — Ax + 16 G C [x] a určete jejich násobnost, víte-li, že jedním z kořenů je ~1~,?v^. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 25. června 2013_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 4. zkouška 0 D D ^ příklad c , 3 příklad c —I mčo L ^ L ^ L -j L ^ L c -j L -j body L ^ L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Algebra (5 bodů) : Nechť Sn značí grupu permutací na n-prvkové množině Příklad 3 s operací skládání zobrazení, An její podgrupu sudých permutací. (a) Určete, pro která n G N je grupa An komutativní a v nekomutativních případech ukažte příklad nekomutujících prvků. (1) (b) Určete podgrupu S7 generovanou {(1,4)(2,7), (4, 2)(7,3)}. (1) (c) Určete všechna m G N, m < 8 pro něž v A7 existuje prvek řádu m. (1) (d) Vyčíslete počet permutací řádu 5 v Aj. (1) (e) Určete počet inverzí permutace o = (1,4, 5)(2,3, 6) G Sj (1) Vše zdůvodňujte. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.