86 Příloha A: Přehled rozložení náhodných veličin Přehled rozložení náhodných veličin V tomto přehledu jsou uvedeny vzorce pro pravděpodobnostní funkce, respektive hustoty pravděpodobnosti náhodných veličin, dále pro jejich střední hodnoty, rozptyly a popřípadě kovariance. Pro názornost uvádíme též grafy pravděpodobnostních funkcí či hustot pravděpodobnosti. V explicitním vyjádření některých hustot se vyskytuje funkce gama, která se v základním kursu matematické analýzy pro posluchače učitelského studia nepřednáší. Proto uvedeme nejprve její definici a některé vlastnosti. Věta. Funkce T(s) má následující vlastnosti: (i) Je spojitá v každém bodě svého definičního oboru a má zde derivaci. Vybraná rozložení diskrétních náhodných veličin 1. Degenerované rozložení Dg(fi) Náhodná veličina X ~ Dg{jj) nabývá s pravděpodobností 1 pouze konstantní hodnoty /i. oo Definice. Buď s > 0. Definujeme T{s) = J e'H^dt. o (íí) r(s + i) = sr» 1 pro x = (j, 0 jinak E(X) = v,D(X) =0 Pravdep. funkce Dg(1) 2 0 1 2 príloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 87 2. Alternativní rozložení A(ů) Náhodná veličina X ~ A(ů) nabývá pouze hodnot 0 nebo 1, znamenající např. absenci nebo prezenci nějakého „úspěchu", jehož pravděpodobnost je é, kdeůe (0,1). 1 — ů pro x = 0 7r(a;) = {ů pro x = 1 , E(X) = tf, D{X) = ů(l - •&) 0 jinak 1 0.75 0.5 0.25 Ó -0.25 -0.5 Pravdep. funkce A(0.75) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3. Binomické rozložení Bi(n,ů) Náhodná veličina X ~ Bi(n, ů) udává celkový počet úspěchů v posloupnosti n nezávisle opakovaných pokusů, přičemž v každém z těchto pokusu nastává „úspěch" s pravděpodobností í?, kde ů g (0,1) a n je přirozené číslo. 7T m.ÍCW-V'1 pro z = 0,1,..-, W~ 10 jinak n E{X) = nů, D(X) = ~ •&) Pravdep. funkce Bi(5,0.5) 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 Pravdep. funkce Bi(12,0.3) -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 1 3 5 7 9 11 13 4. Geometrické rozložení Ge{ů) Náhodná veličina X ~ Ge{ů) udává celkový počet „neúspěchů", které v nekonečné posloupnosti nezávislých opakovaných pokusů předcházejí prvnímu „úspěchu" .Pravděpodobnost „úspěchu" v každém pokusu je ů, kde ^6(0,1). , N ffl-tf)*-!? prox = 0,l,... ^ = {0 jinak E{X) = (1 - - (1 - i9)/i52 Pravdep. funkce Ge(0.25) Pravdep. funkce Ge(0.9) -0.1 -1 1 9 11 -0.05 -1 1 3 5 7 9 11 5. Pascalovo rozložení Ps(k,ů) Náhodná veličina X ~ Ps(k, i?) udává celkový počet „neúspěchů", které v nekonečné posloupnosti nezávislých opakovaných pokusů předcházejí k-tému „úspěchu". Pravděpodobnost „úspěchu" v každém pokusu je ů, $ € (0,1), fc je přirozené číslo. Pro A; = 1 dostaneme geometrické rozložení. v(x) = ( fí"1) i1 ~ ů)*ůk Pro x = °. L •" 10 jinak = fc(l - $)/■&, D{X) = - tf)/tf2 Pravdep. funkce Ps(3,0.25) Pravdep. funkce Ps(5,0.5) 0.18p-1 0.14 j 0.1 | 0.06 0.02 " " ■ ■0 02"-■ ■- ■ -•- "1 2 5 8 11 14 -1 2 5 8 11 14 příloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 89 6. Hypergeometrické rozložení Hg(N, M, n) V souboru N prvků je M prvků označeno (M < N). Ze souboru náhodně vybereme n prvků bez vracení (n < N), Náhodná veličina X ~ Hg{N, M,n) udává počet vybraných označených prvků. Tí{x) pro x = max{0, M - N -f n},..., min{n, M} jinak £(X) = ^,Z)(X) = M?(l-f)$E¥ Pravdep. funkce Hg(10,7,5) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7. Vícerozměrné hypergeometrické rozložení Hg{N,Mu...,Mkln) Náhodný vektor (A*i, ...,Xfc) ~ Hg(N, Mi,Mfc,n) udává počet prvků prvního až fc-tého druhu ve výběrovém souboru bez opakování o rozsahu n, který jsme vylosovali ze základního souboru rozsahu N, který se skládá z Mi prvků prvního druhu atd., až z M& prvků &-tého druhu, přičemž Mi + ... -i-Mk = N. Čísla iV, Mi,Mk , n jsou přirozená. (Mi)...(Mii) 7r(xi,...,xŔ)= Pro;ri e {0,1,...,«},..., xfc € {0,l,...,n},xi + ...+ xjt = n 7r(a;i, = 0 jinak Pro každé i G {1,k} platí: = ^, D{Xt) = ^ (l - f) #g Pro každé i e {1, ...,&}, j € {1, ...,&}, i < j platí: 90 Příloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 8. Rovnoměrné diskrétní rozložení Rd(G) Náhodný vektor (Xi, ...,Xn) ~ Rd(G) nabývá se stejnou pravděpodobností každé z hodnot v konečné množině G C Rn. i 0 jinak Ve speciálním jednorozměrném případě dostáváme pro G = {0,1,...IÍ-1}Í kde S je přirozené číslo a tedy card(G) = <5, , , f l/<5 pro x = 0,1,ô — 1 * = {o jinak E(X) = (ô-l)/2,D(X) = (ô2-l)/l2 Pravdep. funkce Rd({1,2.....10}) 0.18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 9. Poissonovo rozložení Po(X) Náhodná veličina X ~ Po(X) udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu, případně v jednotkové oblasti, jestliže k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr A > 0 udává střední počet výskytů těchto událostí. *(x) = | %e~X = °' X' - , B(X) = A, D(X) = A Pravděpodobnostní funkce je tabelována v Příloze B. Prílohar-A-: -Přehled rozloženj-náhoůflyčh veličin 91 Pravdep. funkce Po(5) 8 10 12 14 16 Pravdep. funkce Po(0.6) 10. Multinomické rozložení Mu(n,i?i, Náhodný vektor (Xi,,..,Xk) ~ Mu(n, ůi,udává celkový počet výsledků prvního až &-tého druhu, které se nashromáždí v n nezávisle opakovaných pokusech. Předpokládáme, že při každém pokusu nastane výsledek právě jednoho z k možných druhů, a to s pravděpodobností i?i € (0,1),dk 6 (0,1), přičemž platí $i + ... + ůk = 1. Čísla n, jsou přirozená. pro #i € {0,1, ...,n}, 6 {0,1, ...,n},a:i + ... + xk = n 7ľ(xi,xfc) = 0 jinak Pro každé i € {1, ...,n} platí: Pro každé z € {1,fc}, j 6 {1,k}, i < j platí: C(Xi)xr) =-nevybraná rozložení spojitých náhodných veličin 11. Rovnoměrné spojité rozložení Rs(a, b) Náhodná veličina X ~ Rs(a,b), kde a < b, má na intervalu (a,b) konstantní hustotu pravděpodobnosti. 0 vyjadřuje náhodnou dobu čekání na nějakou událost, která se může dostavit se stejnou šancí každým okamžikem, bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom l/A je střední doba čekání. pro x > 0 pro x < 0 £(X) = 1/A,.D(X)==1/A2 Hustota Ex(2) Distr. funkce Ex(2) 16. Erlangovo rozložení Er(k, 6) Náhodná veličina X ~ Br(k, ô), S > 0 vyjadřuje souhrnnou dobu čekání na k-tý výskyt nějaké události, která se může dostavit se stejnou šancí ľfíloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 97 18. Pearsonovo rozložení chĺ kvadrát y?{v) Náhodné veličiny X ~ x2 M se užívá v matematické statistice. Parametr v ~ 1,2,... nazývame počtem stupňu volnosti a nejčastěji vyjadřuje počet nezávislých pozorování zmenšený o počet lineárních podmínek na pozorovaní kladených. _i_xvi2~xe~xľl r>ro x > 0 0 jinak Kvantily jsou tabelovány v Příloze B. Hustota chi-kv(3) 0.2 ; / \ 0.15' \ \ 0.1 | N. 0.05 ( %.5 1.5 3.5 5.5 7 Hustota chf-kv(10) Distr. funkce chi-kv(10) 19. Studentovo rozložení t{v) Náhodné veličiny X ~ t(u) se užívá v matematické statistice. Parametr v = 1,2,... zvaný počet stupňů volnosti má stejný význam jako u Pearso-nova rozložení. = Y$MM^ +z2/")-("+1)/2 pro x e (-oo.oo) É(X) = 0 pro v > 2, pro v = 1 střední hodnota neexistuje. D(X) = pro ľ > 3, pro f = 1,2 rozptyl neexistuje. 98 Príloha A: Přehled rozložení náhodných veličin Kvantily jsou tabelovány v Příloze B. Speciálním případem Studentova rozložení pro v = 1 je Cauchyovo rozložení: V(X) ^ tt(l^) X 6 °°) E(X) ani D(X) neexistují. Hustota t(3) Distr. funkce t(3) -0.2 20. Fisherovo-Snedecorovo rozložení F{v\) v2) Náhodné veličiny X ~ F(vi, v-i) se užívá v matematické statistice. Pa-ramtery v\ — 1,2,... a v2 = 1,2,... zvané počet stupňů volnosti čitatele a jmenovatele mají stejný význam jako u Pearsonova rozložení. , x _ r[(,1+,2)/2],ri/2^/2 . 0 ~ IW2)rte/2) (í/2+i/1x)<"i+-2)/2 Pro ^ > u> y>(x) = 0 jinak £p0 — ^2/(^2 - 2) pro v2 > 3, -E(X) neexistuje pro v2 = 1,2. D(X) = 2vl{vl + v2- 2)l[vx{v2 - 2)2(ľ2 - 4)] pro v2 > 5, D(X) neexistuje pro v2 = 1, 2,3,4. Kvantily jsou tabelovány v Příloze B. Příloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 99 Hustota F(3,3) Disír. funkce F(3,3) ■-1 0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 4 5 6