m IV-9-tabule. notebook
April 20, 2011
©T1 Y *&&Mo^.<±
1 \y»««
XÍO<
4 2U-14:U2
Nechi X je náhodná veličina, F(x) je její distribuční funkce. Q F je neklesající.
Q F je zprava spojitá, limx^-oc F{x) — 0 a limx-5.cc F {x) — 1.
Q Je-ii X diskrétni s hodnotamij^. '. .*. xn. pak je F(x) po částech konstantní, F(x) = ^ť:ťťf(X = x,-) a F{x) = 1 kdykoliv x > x„. "F(«C|T"
O Je-íi X spojitá, pak je F(x) diferencovatelná a její derivace se rovná hustotě X, tj. platí F'(x) = f (x).
4 20-14:18
Distribuční funkce - příklady
ŕ£litiny        Tvpv diskrétních náhodných vdicin        Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných v
Obdobné definujeme distribuční funkce a hustotu a pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné vektory. Hovoríme také o simultánnícJi pravděpodobnostních funkcích a
hustotách (í*u*.n^,0
Pro dvě proměnné (vektor (X. Y* náhodných veličin):
f P(X = x,- A V = y,)   x = x,- Ay = yf JO jinak, u diskrétních a pro všechny a. b € ]R pro spojité:
P(-oc < X < &.-00 <Y <b)= f     f f{x.y)dxdy.
J—oc J — vc
Marginální rozložení pro jednu z proměnných obdržíme tak, že přes ostatní posčítáme nebo zintegrujeme.
Náhodné veličiny X a V jsou stochasticky nezávislé, jestliže je jejich simultánní distribuční funkce
F(x,y)= G(x)-H(y)
kde tya G jsou distribuční funkce veličin X a Y.
4 20-14:19
4 20-14:23
Rovnoměrné (diskrétní) rozdělení popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat konečně^ pravděpodobností.
Alternativní rozdělení popisuje pokus se dvěma možnými výsledky, často nazývaným zdar, resp. nezdar. Náhodná veličina X ~ A(p) nabývá hodnoty 1 {zdsr) s pravděpodobností p. Distribuční a pravděpodobnostní funkce jsou tedy tvaru:
FxW-
t < o
0 < t < 1
t > 1
fx(t) -
t = 1 _t = 0
jinak
Binomické rozdělení Bi(n. p) odpovídá n-krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina rněFí počet zdarů. Je tedy
fx(t) =
-p)""' t e {o,i.....„}
0 jinak
Na obrázku jsou pravděpodobnostní funkce pro Bi(50.0.2) Bi(50.0.5) a Bi(50. 0.9). Rozdělení pravděpodobnosti dobře odpovídá intuici, že nejvíce výsledků bude blízko u hodnotyjop:
•A
f i
V,
4 20-14:27
4 20-14:32
1
m IV-9-tabule. notebook
April 20, 2011
4 2U-14:43
Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení na intervalu (0. rV Určete distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti rozdělení objemu koule o poloměru X -
Určeme nejprve Hktrihnřpí funkcí F ŕnro 0       «^ f77''3)
celkem
F(rf)=Pj-7TX^rf
= p
- V 4?7
í 0 pro   x < 0
1 pro  x > |;rr3
Derivováním pak obdržíme hustotu pravděpodobností.
4 20-15:23
Geometrické rozdělení ma náhodná veličina X ~ Ge(p), která udává celkový počet nezdarů, které v posloupnosti opakovaných pokusu předcházejí prvnímu zdaru, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je rovna p .
fx(t) =
(1 - p}* ■ p   pro t = 0.1. jinak.
Hypergeometrícké rozdělení Mějme N předmětů, z nichž právě M má danou vlastnost. Z těchto N předmětů náhodně vybereme n předmětů bez vracení. Náhodná veličina X — Hg(A/. M.n) udává počet vybraných prvků s danou vlastností. Zřejmě tato náhodná velišina může nabývat pouze celočíselných hodnot z intervalu [max{0. M - N + n}. min{n. A-í}]. Pro í z tohoto intervalu pak
fxW -
4 20-15:03
Příklad {rozdělení x2(l))
Nechť Z má normované normájj^rogcfäfa^Ĺ Určete hustotu transformované náhodné veličirwX = Z2
Zřejmě je pro x < n A\ot r\u, ,řw fujjfcgoulová pro dostáváme: F^(x) = P[Z2 < x] = Pf^/xjc Z <Q/x\\f=
i-QrV2^        Jt70 —
i derivací podle x dostaneme hustotu =
Rozdělení náhodné veličiny s touto hustotou se nazývá (Pearsonovo) \2 rozdělení s jedním stupněm volnosti a značí se X~\2(l).
4 20-15:29
4 20-15:04