Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Matematika II – 11. a 12. týden Integrální operátory a transformace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29.4. – 10.5. 2013 Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální operátory 3 Fourierova transformace 4 Vlastnosti Fourierovy transformace Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Plán přednášky 1 Literatura 2 Integrální operátory 3 Fourierova transformace 4 Vlastnosti Fourierovy transformace Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Kde je dobré číst? Matematika drsně a svižně, učebnice v přípravě Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2. Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Doporučené čtení z učebnice Teorie: Základní čtení: odst. 7.27 – 7.32 Rozšiřující čtení: 7.33 - 7.35. Úlohy: Výběr z 7.34 - 7.53 Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Plán přednášky 1 Literatura 2 Integrální operátory 3 Fourierova transformace 4 Vlastnosti Fourierovy transformace Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Pohled na integrální funkcionál Ly jako na zprůměrované chování funkce f v okolí daného bodu je názornější pro případ nevlastních mezí integrálu a = −∞, b = ∞. Místo prostoru S všech po částech spojitých funkcí na R budeme uvažovat po částech spojité a v absolutní hodnotě integrovatelné funkce f v roli argumentu pro náš funkcionál. Volný parametr y může být vnímán jako nová nezávislá proměnná a naše operace tedy ve skutečnosti zobrazuje funkce opět na funkce f → ˜f : ˜f (y) = Ly (f ) = ∞ ∞ f (x)g(y − x) dx. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Pohled na integrální funkcionál Ly jako na zprůměrované chování funkce f v okolí daného bodu je názornější pro případ nevlastních mezí integrálu a = −∞, b = ∞. Místo prostoru S všech po částech spojitých funkcí na R budeme uvažovat po částech spojité a v absolutní hodnotě integrovatelné funkce f v roli argumentu pro náš funkcionál. Volný parametr y může být vnímán jako nová nezávislá proměnná a naše operace tedy ve skutečnosti zobrazuje funkce opět na funkce f → ˜f : ˜f (y) = Ly (f ) = ∞ ∞ f (x)g(y − x) dx. Této operaci se říká konvoluce funkcí f a g, značíme ji f ∗ g. Většinou se konvoluce definuje pro reálné nebo komplexní funkce s kompaktním nosičem na celém R. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Pomocí transformace t = z − x se snadno spočte (f ∗g)(z) = ∞ −∞ f (x)g(z−x) dx = − −∞ ∞ f (z−t)g(t) dt = (g∗f )(z), je tedy konvoluce coby binární operace na dvojicích funkcí s kompaktními nosiči komutativní. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Pomocí transformace t = z − x se snadno spočte (f ∗g)(z) = ∞ −∞ f (x)g(z−x) dx = − −∞ ∞ f (z−t)g(t) dt = (g∗f )(z), je tedy konvoluce coby binární operace na dvojicích funkcí s kompaktními nosiči komutativní. Konvoluce je mimořádně užitečný nástroj pro modelování způsobu, jak můžeme pozorovat experiment nebo jak se projevuje prostředí při přenosu informací (např. analogový audio nebo video signál ovlivňovaný šumy apod.). Argument f je přenášenou informací, funkce g je volena tak, aby co nejlépe vystihovala vlivy prostředí či zvoleného technického postupu. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Konvoluce jsou jedním z mnoha případů obecných integrálních operátorů K na prostorech funkcí K(f )(y) = b a f (x)k(y, x) dx s jádrem daným funkcí dvou proměnných k : R2 → R. Definiční obor takových funkcionálů je nutné vždy volit s ohledem na vlastnosti jádra tak, aby vždy existoval použitý integrál. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Plán přednášky 1 Literatura 2 Integrální operátory 3 Fourierova transformace 4 Vlastnosti Fourierovy transformace Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Zaměříme se na jeden mimořádně důležitý případ integrálních operátorů, tzv. Fourierovu transformaci F, která úzce souvisí s Fourierovými řadami. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Zaměříme se na jeden mimořádně důležitý případ integrálních operátorů, tzv. Fourierovu transformaci F, která úzce souvisí s Fourierovými řadami. Připomeňme si základní formuli pro parametrizaci jednotkové kružnice v komplexní rovině s rychlostí obíhání ω = 2π/T, kde T je čas jednoho oběhu: eiωt = cos ωt + i sin ωt. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Zaměříme se na jeden mimořádně důležitý případ integrálních operátorů, tzv. Fourierovu transformaci F, která úzce souvisí s Fourierovými řadami. Připomeňme si základní formuli pro parametrizaci jednotkové kružnice v komplexní rovině s rychlostí obíhání ω = 2π/T, kde T je čas jednoho oběhu: eiωt = cos ωt + i sin ωt. Zjevně funkce cos ωnt, sin ωnt tvoří ortogonální systém funkcí s periodou T a jejich velikosti na intervalu délky periody jsou T/2, (při n > 0) např. T/2 −T/2 (sin ωnt)2 dt = 1 ω π −π (sin ns)2 ds = T/2. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Pro (reálnou nebo komplexní) funkci f (t) jsme zavedli její komplexní Fourierovy koeficienty jako komplexní čísla cn = 1 T T/2 −T/2 f (t) e−iωnt dt. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Pro (reálnou nebo komplexní) funkci f (t) jsme zavedli její komplexní Fourierovy koeficienty jako komplexní čísla cn = 1 T T/2 −T/2 f (t) e−iωnt dt. Přitom platí vztahy mezi koeficienty Fourierových řad f (t) = ∞ n=0 (an cos nt + bn sin nt) a těmito čísly cn: cn = 1 2 (an − ibn), c−n = 1 2 (an + ibn). Při reálném f jsou samozřejmě cn a c−n komplexně konjugované. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Označíme-li ωn = ωn, je původní funkce f (t) s konvergující Fourierovou řadou rovna f (t) = ∞ n=−∞ cn eiωnt . Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Označíme-li ωn = ωn, je původní funkce f (t) s konvergující Fourierovou řadou rovna f (t) = ∞ n=−∞ cn eiωnt . Při pevně zvoleném T vyjadřuje výraz ∆ω = 2π/T změnu ve frekvenci způsobenou nárustem n o jedničku. Je to tedy právě diskrétní krok, se kterým při výpočtu koeficientů Fourierovy řady měníme frekvence. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Označíme-li ωn = ωn, je původní funkce f (t) s konvergující Fourierovou řadou rovna f (t) = ∞ n=−∞ cn eiωnt . Při pevně zvoleném T vyjadřuje výraz ∆ω = 2π/T změnu ve frekvenci způsobenou nárustem n o jedničku. Je to tedy právě diskrétní krok, se kterým při výpočtu koeficientů Fourierovy řady měníme frekvence. Náš další postup bude spočívat v limitním přechodu T → ∞. Můžeme si představovat, jakoby se spočetná množina hodnot cn „zahustila“ na celé kontinuun reálných hodnot a získáme místo Fourierových koeficientů cn novou funkci ˜f . Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Koeficient 1/T u formule pro cn je roven ∆ω/2π, takže můžeme řadu pro f (t) přepsat jako f (t) = ∞ n=−∞ 1 2π ∆ω T/2 −T/2 f (x) e−iωnx dx eiωnt . Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Koeficient 1/T u formule pro cn je roven ∆ω/2π, takže můžeme řadu pro f (t) přepsat jako f (t) = ∞ n=−∞ 1 2π ∆ω T/2 −T/2 f (x) e−iωnx dx eiωnt . Představme si nyní hodnoty ωn pro všechna n ∈ Z jako vybrané reprezentanty pro malé intervaly [ωn, ωn+1] o délce ∆ω. Pak náš výraz ve vnitřní velké závorce ve skutečnosti vyjadřuje sčítance Riemannových součtů pro nevlastní integrál 1 2π ∞ −∞ g(ω) eiωt dω, kde g(ω) je funkce nabývající v bodech ωn hodnoty g(ωn) = T/2 −T/2 f (x) e−iωnx dx. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Předpokládejme, že naše funkce f je po částech spojitá s kompaktním nosičem (nebo aspoň integrovatelná v absolutní hodnotě přes celé R). Pak můžeme limitně přejít T → ∞ a dojde ke zjemňování normy ∆ω našich intervalů. Zároveň se dostaneme v posledním výrazu k integrálu g(ω) = ∞ −∞ f (x) e−iωx dx. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Předpokládejme, že naše funkce f je po částech spojitá s kompaktním nosičem (nebo aspoň integrovatelná v absolutní hodnotě přes celé R). Pak můžeme limitně přejít T → ∞ a dojde ke zjemňování normy ∆ω našich intervalů. Zároveň se dostaneme v posledním výrazu k integrálu g(ω) = ∞ −∞ f (x) e−iωx dx. Můžeme tedy položit pro (každou v absolutní hodnotě Riemannovsky integrovatelnou) funkci f na R F(f )(ω) = ˜f (ω) = 1 √ 2π ∞ −∞ f (t) e−iωt dt. Této funkci ˜f říkáme Fourierova trasnformace funkce f . Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Předpokládejme, že naše funkce f je po částech spojitá s kompaktním nosičem (nebo aspoň integrovatelná v absolutní hodnotě přes celé R). Pak můžeme limitně přejít T → ∞ a dojde ke zjemňování normy ∆ω našich intervalů. Zároveň se dostaneme v posledním výrazu k integrálu g(ω) = ∞ −∞ f (x) e−iωx dx. Můžeme tedy položit pro (každou v absolutní hodnotě Riemannovsky integrovatelnou) funkci f na R F(f )(ω) = ˜f (ω) = 1 √ 2π ∞ −∞ f (t) e−iωt dt. Této funkci ˜f říkáme Fourierova trasnformace funkce f . Koeficient 1/ √ 2π souvisí s definicí inverzní operace: Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Naše odvození totiž ukazuje, že pro „rozumné“ funkce f (t) bude platit (viz dva slidy zpět) f (t) = F−1 (˜f )(t) = 1 √ 2π ∞ −∞ ˜f (ω) eiωt dω. Tím říkáme, že existuje k právě definované Fourierově transformaci F inverzní operace F−1, které říkáme inverzní Fourierova transformace. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Naše odvození totiž ukazuje, že pro „rozumné“ funkce f (t) bude platit (viz dva slidy zpět) f (t) = F−1 (˜f )(t) = 1 √ 2π ∞ −∞ ˜f (ω) eiωt dω. Tím říkáme, že existuje k právě definované Fourierově transformaci F inverzní operace F−1, které říkáme inverzní Fourierova transformace. Všimněme si, že Fourierova transformace a její inverze jsou integrální operátory se skoro shodným jádrem k(ω, t) = e±iωt. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Plán přednášky 1 Literatura 2 Integrální operátory 3 Fourierova transformace 4 Vlastnosti Fourierovy transformace Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Fourierova transformace zajímavým způsobem převrací lokální a globální chování funkcí. Začněme jednoduchým příkladem, ve kterém najdeme funkci f (t), která se ztransformuje na charateristickou funkci intervalu [−Ω, Ω], tj. ˜f (ω) = 0 pro |ω| > Ω a ˜f = 1 pro |ω| ≤ Ω. Inverzní transformace F−1 nám dává f (t) = 1 √ 2π Ω −Ω eiωt dω = 1 √ 2π 1 it eiωt Ω −Ω = 2 √ 2πt 1 2i (eiΩt − e−iΩt ) = 2 √ 2πt sin(Ωt). Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Fourierova transformace zajímavým způsobem převrací lokální a globální chování funkcí. Začněme jednoduchým příkladem, ve kterém najdeme funkci f (t), která se ztransformuje na charateristickou funkci intervalu [−Ω, Ω], tj. ˜f (ω) = 0 pro |ω| > Ω a ˜f = 1 pro |ω| ≤ Ω. Inverzní transformace F−1 nám dává f (t) = 1 √ 2π Ω −Ω eiωt dω = 1 √ 2π 1 it eiωt Ω −Ω = 2 √ 2πt 1 2i (eiΩt − e−iΩt ) = 2 √ 2πt sin(Ωt). Přímým výpočtem limity v nule (L’Hospitalovo pravidlo) spočteme, že f (0) = 2Ω(2π)−1/2, nejbližší nulové body jsou v t = ±π/Ω a funkce poměrně rychle klesá k nule mimo počátek x = 0. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Na obrázku je tato funkce znázorněná zelenou křivkou pro Ω = 20. Zároveň je vynesena červenou křivkou oblast, ve které se s rostoucím Ω naše funkce f (t) stále rychleji „vlní“. t 32 y 1 20 0 15 10 -1 5 0 -2 -5 -3 Omega=20.000 Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace V dalším příkladu spočtěme Fourierovu transformaci derivace f (t) pro nějakou funkci f . Pro jednoduchost předpokládejme, že f má kompaktní nosič, tj, zejména F(f ) i F(f ) skutečně existují a počítejme metodou per partes: F(f )(ω) = 1 √ 2π ∞ ∞ f (t) e−iωt dt = 1 √ 2π [e −iωtf (t)]∞ −∞ + iω √ 2π ∞ −∞ f (t) e−iωt dt = iωF(f )(ω) Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace V dalším příkladu spočtěme Fourierovu transformaci derivace f (t) pro nějakou funkci f . Pro jednoduchost předpokládejme, že f má kompaktní nosič, tj, zejména F(f ) i F(f ) skutečně existují a počítejme metodou per partes: F(f )(ω) = 1 √ 2π ∞ ∞ f (t) e−iωt dt = 1 √ 2π [e −iωtf (t)]∞ −∞ + iω √ 2π ∞ −∞ f (t) e−iωt dt = iωF(f )(ω) Transformace derivací Vidíme tedy, že Fourierova transformace převádí (infinitesimální) operaci derivování na (algebraickou) operaci prostého násobení proměnnou. Samozřejmě můžeme tento vzorec iterovat, tj. F(f )(ω) = iωF(f )(ω), F(f )(ω) = −ω2F(f ), . . . , F(f (n)) = inωnF(f ). Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Další mimořádně důležitou vlastností je vztah mezi konvolucemi a Fourierovou transformací. Spočtěme, jak dopadne transformace konvoluce h = f ∗ g, kde opět pro jednoduchost předpokládáme, že funkce mají kompaktní nosiče. Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Další mimořádně důležitou vlastností je vztah mezi konvolucemi a Fourierovou transformací. Spočtěme, jak dopadne transformace konvoluce h = f ∗ g, kde opět pro jednoduchost předpokládáme, že funkce mají kompaktní nosiče. Při výpočtu prohodíme pořadí integrovanání, což je krok, který ověříme teprve v diferenciálním a integrálním počtu později. V dalším krůčku pak zavedeme substituci t − x = u. F(h)(ω) = 1 √ 2π ∞ −∞ ∞ −∞ f (x)g(t − x) dx e−iωt dt = 1 √ 2π ∞ −∞ f (x) ∞ −∞ g(t − x) e−iωt dt dx = 1 √ 2π ∞ −∞ f (x) ∞ −∞ g(u) e−iω(u+x) du dx = 1 √ 2π ∞ −∞ f (x) e−iωx dx · ∞ −∞ g(u) e−iωu) du = √ 2πF(f ) · F(g) Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Podobný výpočet ukazuje i obrácené tvrzení, že Fourierova transformace součinu je, až na konstantu, konvoluce transformací. F(f · g) = 1 √ 2π F(f ) ∗ F(g). Literatura Integrální operátory Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Podobný výpočet ukazuje i obrácené tvrzení, že Fourierova transformace součinu je, až na konstantu, konvoluce transformací. F(f · g) = 1 √ 2π F(f ) ∗ F(g). Jak jsme si uváděli výše, konvoluce f ∗ g velice často modeluje proces našeho pozorování nějaké sledované veličiny f . Pomocí Fourierovy transformace a její inverze nyní můžeme snadno rozpoznat původní hodnoty této veličiny, pokud známe konvoluční jádro g. Prostě spočteme F(f ∗ g) a podělíme obrazem F(g). Hovoříme o dekonvoluci.