Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Matematika II – 2. týden Topologie množin reálných čísel, limity posloupností a funkcí Jan Slovák Masarykova univerzita 25. 2. – 1.3. 2013 Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Obsah přednášky 1 Odkazy 2 Vlastnosti reálných čísel 3 Topologie reálné přímky 4 Limity posloupností a funkcí Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Kde je dobré číst? chystaná učebnice „Matematika drsně a svižně“, viz studijní materiály Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2. Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Doporučené čtení z učebnice Teorie: Základní čtení – odst. 5.10 – 5.12, 5.14 – 5.23 (vyjma části důkazu 5.17) a 5.20.(4) Rozšiřující čtení – vynechané části ve výčtu. Úlohy: Topologie reálných a komplexních čísel, odst. 5.28 – 5.35 Limity, volně dle potřeby z velkého množství příkladů. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Reálná čísla a racionální čísla jsou tzv. pole. Už jsme ale na nich používali i relaci uspořádání, kterou značíme „≤“. Připoměňme si nyní vlastnosti (axiomy) reálných čísel včetně souvislostí uspořádání a ostatních relací. Dělící čáry v tabulce naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že R \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, R je pole, množina R spolu s operacemi +, · a s relací uspořádání je tzv. uspořádané pole a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že R je „dostatečně husté“, tj. nechybí nám tam body, jako např. druhá odmocnina ze dvou v číslech racionálních. Formálně poslední axiom vysvětlíme za chvilku. Zároveň si uvědomujme, které z axiomů platí pro Q a C. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí (R1) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, b, c ∈ R (R2) a + b = b + a, pro všechny a, b ∈ R (R3) existuje 0 ∈ R takový, že pro všechny a ∈ R platí a + 0 = a (R4) pro všechny a ∈ R existuje opačný prvek (−a) ∈ R takový, že platí a + (−a) = 0 (R5) (a · b) · c = a · (b · c), pro všechny a, b, c ∈ R (R6) a · b = b · a pro všechny a, b ∈ R (R7) existuje 1 ∈ R takový, že pro všechny a ∈ R platí 1 · a = a (R8) pro každý a ∈ R, a = 0 existuje inverzní prvek a−1 ∈ R takový, že platí a · a−1 = 1 (R9) a · (b + c) = a · b + a · c, pro všechny a, b, c ∈ R (R10) relace ≤ je úplné uspořádání, tj. reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná relace na R (R11) pro a, b, c ∈ R platí, že z a ≤ b vyplývá a + c ≤ b + c (R12) pro všechny a, b ∈ R, a > 0, b > 0, platí také a · b > 0 (R13) každá neprázdná ohraničená množina A ⊂ R má supremum. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu. Uvažme podmnožinu A ⊂ B v uspořádané množině B. Horní závorou množiny A je každý prvek b ∈ B, pro který platí, že b ≥ a pro všechny a ∈ A. Obdobně definujeme dolní závory množiny A jako prvky b ∈ A takové, že b ≤ a pro všechny a ∈ A. Nejmenší horní závora podmnožiny A, pokud existuje, se nazývá supremum této podmnožiny a značíme ji sup A. Přesněji: sup A = b, jestliže z c ≥ a pro všechny a ∈ A vyplývá také c ≥ b. Obdobně, největší dolní závora se nazývá infimum, píšeme inf A, tzn. inf A = b, jestliže z c ≤ a pro všechny a ∈ A vyplývá také c ≤ b. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Pro výstavbu teorie potřebujeme vědět, zda uvedené vlastnosti reálných čísel lze realizovat, tj. zda existuje taková množina R s operacemi a relací uspořádání, které (R1)–(R13) splňují. Skutečně lze reálná čísla nejen zkonstruovat, ale jde to, až na izomorfismus, jediným způsobem. V textech je naznačena existence, k jednozačnosti se vrátíme později. Pole racionálních čísel splňuje (R1)–(R12), neexistují v nich ale obecně suprema ohraničených podmnožin. Pole komplexních čísel splňuje axiomy (R1)–(R9), není na nich ale žádným rozumným způsobem definováno uspořádání, které by naplnilo axiomy (R10)–R(13). Protože jsou komplexní čísla z = re z + i im z dána jako dvojice reálných čísel, je dobrou představou rovina komplexních čísel. U komplexních čísel je navíc tzv. konjugace, tj. zrcadlení podle přímky reálných čísel. Značíme ji ¯z = re z − i im z. Platí z · ¯z = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2, tj. kvadrát velikosti vektoru. Píšeme |z|2 = z · ¯z, hovoříme o absolutní hodnotě. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Hromadné body a konvergence Uvažme posloupnost a0, a1, a2, . . . , čísel v R nebo Q nebo C a pevně zvolenou hodnotu a v témže oboru. Konvergentní posloupnost Jestliže pro libovolné pevně zvolené kladné číslo ∈ R platí pro všechny i ∈ N, až na konečně mnoho výjimek, |ai − a| < , říkáme, že posloupnost ai , i = 0, 1, . . . konverguje k hodnotě a. Cauchyovská posloupnost Posloupnost prvků a0, a1, . . . takovou, že pro libolné pevně zvolené kladné reálné číslo > 0 platí pro všechny prvky ak až na konečně mnoho výjimek |ai − aj | < , nazýváme Cauchyovská. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Jinak řečeno, u Cauchyovské posloupnosti pro každé pevné > 0 existuje index N takový, že nerovnost |ai − aj | < platí pro všechna i, j > N. Intuitivně jistě cítíme, že buď jsou v takové posloupnosti všechny prvky stejné až na konečně mnoho z nich (pak bude od určitého indexu N počínaje vždy |ai − aj | = 0) nebo se taková posloupnost „hromadí“ k nějaké hodnotě. Jestliže posloupnost ai ∈ K konverguje k a ∈ K, pak pro zvolené víme, že |ai − a| < pro vhodné N ∈ N a všechny i ≥ N. Pak pro i, j ≥ N dostaneme |ai − aj | < |ai − a| + |a − aj | < 2 . Odtud: Každá konvergující posloupnost je Cauchyovská. Použili jsme tzv. trojúhelníkovou nerovnost: Pro každá dvě čísla a, b platí (v R, Q, C) |a + b| ≤ |a| + |b|. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Hromadné body množin Cauchyovská posloupnost by se (intuitivně viděno) měla k něčemu „hromadit“, tedy mít svoji limitu. V poli racionálních čísel se může snadno stát, že pro takovéto posloupnosti příslušná hodnota a neexistuje. Např. číslo √ 2 můžeme libovolně přesně přiblížit racionálními čísly ai , ale samotná odmocnina racionální není. Uspořádaná pole skalárů, ve kterém všechny Caychyovské posloupnosti konvergují, se nazývají úplná. Následující tvrzení říká, že axiom (R13) takové chování zaručuje: Lemma Každá Cauchyovská posloupnost reálných čísel ai konverguje k reálné hodnotě a ∈ R. Uvažme nyní jakoukoliv množinu A ⊂ K a posloupnost {ai } vybranou z prvků A. Pokud konverguje k hodnotě a a navíc je nekonečně mnoho bodů ai ∈ A různých od a, hovoříme o hromadném bodu množiny A. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Konstrukce reálných čísel Tento výsledek dává jednu z možností, jak vybudovat reálná čísla. Postupujeme podobně jako při zúplňování přirozených čísel na celá (abychom přidali opačné hodnoty) a celých na racionální (abychom přidali podíly nenulových čísel). Vhodným formálním způsobem zavedeme ekvivalenci na množině všech Cauchyovských posloupností racionálních čísel a tak „přidáme všechny chybějící hromadné body pro podmnožiny racionálních čísel“. Pak se lze již snadno přesvědčit, že všechny požadované axiomy skutečně dojdou naplnění. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Otevřené a uzavřené množiny Uzavřená podmnožina v R je taková, která obsahuje i všechny své hromadné body. Typickou uzavřenou množinou je tzv. uzavřený interval [a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}. Zde a je reálné číslo nebo hraniční hodnota chybí a píšeme a = −∞ (mínus nekonečno) a podobně b > a je reálné číslo nebo +∞. Uzavřenou množinu bude tvořit i posloupnost reálných čísel bez hromadného bodu nebo posloupnost s konečným počtem hromadných bodů spolu s těmito body. Zjevně je konečné sjednocení uzavřených množin opět uzavřená množina. Otevřená množina v R je taková množina, jejíž doplněk je uzavřenou množinou. Typickou otevřenou množinou je otevřený interval (a, b) = {x ∈ R, a < x < b}, kde pro hraniční hodnoty máme stejné možnosti jako výše. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Okolí bodu Okolím bodu a ∈ R nazýváme libovolný otevřený interval O, který a obsahuje. Je-li okolí definované jako interval Oδ(a) = (a − δ, a + δ) pro kladné číslo δ, hovoříme o δ-okolí bodu a. Všimněme si, že pro libovolnou množinu A je a ∈ R hromadným bodem A, právě když v libovolném okolí a leží také alespoň jeden bod b ∈ A, b = a. Lemma Množina reálných čísel A je otevřená, právě když každý její bod a ∈ A do ní patří i s nějakým svým okolím. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Důkaz. Nechť je A otevřená a a ∈ A. Kdyby neexistovalo žádné okolí bodu a uvnitř A, musela by existovat posloupnost an /∈ A, |a − an| ≤ 1/n. Pak je ovšem a ∈ A hromadným bodem množiny R \ A, což není možné, protože doplněk A je uzavřený. Naopak předpokládejme, že každé a ∈ A leží v A i s nějakým svým okolím. To přirozeně zabraňuje, aby nějaký hromadný bod b pro množinu R \ A ležel v A. Je proto R \ A uzavřená a tedy je A otevřená. Zjevně je libovolné sjednocení otevřených množin opět otevřenou množinou a každý konečný průnik otevřených množin je opět otevřená množina. Množina A reálných čísel se nazývá ohraničená, jestliže celá leží v nějakém konečném intervalu [a, b], a, b ∈ R. V opačném případě je neohraničená. Ohraničená a uzavřená množina se nazývá kompaktní. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Další užitečné pojmy: Vnitřním bodem množiny A reálných čísel nazveme takový bod, který do A patří i s nějakým svým okolím. Hraniční bod a ∈ A je takový, jehož každé okolí má neprázdný průnik jak s A tak s doplňkem R \ A. Otevřené pokrytí množiny A je takový systém otevřených intervalů Ui , i ∈ I, že jejich sjednocení obsahuje celé A. Izolovaným bodem množiny A rozumíme bod a ∈ A, který má okolí, jehož průnik s A je právě jednobodová množina {a}. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Theorem Pro podmnožiny A reálných čísel platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému otevřených intervalů, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, 4 A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, 5 A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Pro diskusi limit je vhodné rozšířit množinu reálných čísel R o dvě nekonečné hodnoty ±∞. Pro tyto účely si zavádíme i pravidla pro počítání s těmito formálně přidanými hodnotami pro libovolná „konečná“ čísla a ∈ R: a + ∞ = ∞ a − ∞ = −∞ a · ∞ = ∞, je-li a > 0 a · ∞ = −∞, je-li a < 0 Okolím nekonečna rozumíme interval (a, ∞), resp. (−∞, a) je okolí −∞. Pojem hromadného bodu množin rozšiřujeme tak, že ∞ je hromadným bodem množiny A ⊂ R jestliže každé okolí ∞ s ní má neprázdný průnik, tj. jestliže je A zprava neohraničená. Obdobně pro −∞. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Toplogie komplexní roviny Vystačíme si zatím s okolími bodů (byť většina pojmů a výsledků se z reálné přímky do komplexní roviny přenáší): Pro kladné reálné číslo δ rozumíme δ-okolím komplexního čísla z ∈ C množinu Oδ(z) = {w ∈ C, |w − z| < δ}. Připoměňme, že konvergence posloupnosti zi komplexních čísel k jejich limitě z byla definována tak, že každé okolí O (z) obsahuje všechny zi , až na konečně mnoho výjimek (závisejících na ). Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Definice limity Definition Nechť A ⊂ R je libovolná podmnožina a f je reálná, resp. komplexní, funkce reálné proměnné definovaná na A a nechť x0 je hromadný bod množiny A. Říkáme, že f má v x0 limitu a ∈ R, resp. a ∈ C a píšeme lim x→x0 f (x) = a, jestliže pro každé okolí bodu O(a) bodu a lze najít okolí O(x0) bodu x0 takové, že pro všechny x ∈ A ∩ (O(x0) \ {x0}) je f (x) ∈ O(a). Limita reálné funkce se nazývá nevlastní, jestliže je a = ±∞, V opačném případě se nazývá vlastní. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Je důležité si všimnout, že hodnota f v bodě x0 v definici nevystupuje a f v tomto hromadném bodě vůbec nemusí být definována! Je zřejmé, že nevlastní limity komplexních funkcí nemohou být definovány. Limity v případných nevlastních hromadných bodech ±∞ definičního oboru reálných i komplexních funkcí však výše uvedenou definicí korektně definovány jsou. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Příklad 1 Jestliže je A = N, tj. funkce f je definována pouze pro přirozená čísla, hovoříme o limitách posloupností reálných nebo komplexních čísel. Jediným hromadným bodem A je pak ∞ a píšeme pro f (n) = an lim n→∞ an = a. Podle definice to pak znamená, že pro každé okolí O(a) limitní hodnoty a existuje index N ∈ N takový, že an ∈ O(a) pro všechny n ≥ N. Ve skutečnosti jsme tedy v tomto speciálním případě přeformulovali definici konvergence posloupnosti. Říkáme také, že posloupnost an konverguje k a. Přímo z naší definice pro komplexní hodnoty je také vidět, že komplexní posloupnost má limitu a, právě když reálné části re ai konvergují k re a a zároveň imaginární části konvergují k im a. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Příklad 2 Jestliže je f definována na intervalu A = [a, b] a x0 je vnitřním bodem intervalu, hovoříme o limitě funkce ve vnitřním bodě jejího definičního oboru. Podívejme se, proč je důležité v definici požadovat f (x) ∈ O(a) pouze pro body x = x0 i v tomto případě. Vezměme jako příklad funkci f : R → R f (x) = 0 je-li x = 0 1 je-li x = 0. Pak zjevně limita v nule je dobře definována a limx→0 = 0, přestože f (0) = 1 do malých okolí limitní hodnoty 0 nepatří. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Příklad 3 Je-li A = [a, b] ohraničený interval a x0 = a nebo x0 = b, hovoříme o limitě v hraničním bodě definičního oboru funkce f . Jestliže je ale bod x0 vnitřním bodem, můžeme pro účely výpočtu limity definiční obor zúžit na [x0, b] nebo [a, x0]. Výsledným limitám pak říkáme limita zprava, resp. limita zleva pro funkci f v bodě x0. Označujeme ji výrazem limx→x+ 0 f (x), resp. limx→x− 0 f (x). Jako příklad nám může sloužit limita zprava a zleva v x0 = 0 pro Heavisideovu funkci h (h(x) = 0 pro x < 0, h(x) = 1 pro x > 0). Evidentně je lim x→0+ h(x) = 1, lim x→0− h(x) = 0. Limita limx→0 f (x) přitom neexistuje. Limita ve vnitřním bodu definičního oboru libovolné reálné funkce f existuje, právě když existují limity zprava i zleva a jsou si rovny. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Příklady 4 a 5 Limita komplexní funkce f : A → C existuje tehdy a jen tehdy, jestliže existují limity její reálné a imaginární části. V takovém případě je pak lim x→x0 f (x) = lim x→x0 (re f (x)) + i lim x→x0 (im f (x)). Nechť f je reálný nebo komplexní polynom. Pak pro každý bod x ∈ R je lim x→x0 f (x) = f (x0). Skutečně, je-li f (x) = anxn + · · · + a0, pak roznásobením (x0 + δ)k = xk 0 + kδxk−1 0 + · · · + δk a dosazením pro k = 0, . . . , n vidíme, že volbou dostatečně malého δ se hodnotou libovolně blízko přiblížíme f (x0). Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Příklad 6 a 7 Uvažme nyní obzvlášť ošklivou funkci definovanou na celém R f (x) = 1 je-li x ∈ Q 0 jestliže x /∈ Q. Jistě snadno ověříte, že tato funkce nemá limitu v žádném bodě (dokonce ani zleva nebo zprava). Ale naše definice umí být ještě záludnější: Definujme následující funkci f : R → R: f (x) = 1 q jestliže x = p q ∈ Q, p a q nesoudělná 0 jestliže x /∈ Q Tato funkce má všude limitu nulovou, tj. je „spojitá“ ve všech iracionálních bodech a „nespojitá“ ve všech racionálních realných bodech. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Theorem (O třech limitách) Buďte f , g, h reálné funkce se shodným definičním oborem A a takové, že existuje ryzí okolí hromadného bodu x0 ∈ R definičního oboru, kde platí f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Potom, pokud existují limity lim x→x0 f (x) = f0, lim x→x0 h(x) = h0 a navíc f0 = h0, pak také existuje limita lim x→x0 g(x) = g0 a platí g0 = f0 = h0. Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Theorem Nechť A ⊂ R je definiční obor reálných nebo komplexních funkcí f a g, x0 nechť je hromadný bod A a existují limity limx→x0 f (x) = a ∈ K, limx→x0 g(x) = b ∈ K. 1 limita a je určena jednoznačně, 2 limita součtu f + g existuje a platí lim x→x0 (f (x) + g(x)) = a + b, 3 limita součinu f · g existuje a platí lim x→x0 (f (x) · g(x)) = a · b, 4 pokud navíc b = 0, pak limita podílu f /g existuje a platí lim x→x0 f (x) g(x) = a b . Odkazy Vlastnosti reálných čísel Topologie reálné přímky Limity posloupností a funkcí Theorem Uvažme reálnou nebo komplexní funkci f definovanou na množině A ⊂ R a hromadný bod x0 množiny A. Funkce f má v bodě x0 limitu y právě, když pro každou posloupnost bodů xn ∈ A konvergující k x0 a různých od x0 má i posloupnost hodnot f (xn) limitu y.