Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Matematika II – 3. týden
Vlastnosti spojitých funkcí, derivace
Jan Slovák
Masarykova univerzita
4. 3. – 8.3. 2013
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Spojité funkce
3 Přírůstky do ZOO
4 Derivace
5 Vlastnosti derivací
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Kde je dobré číst?
chystaná učebnice „Matematika drsně a svižně“, viz studijní
materiály
Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné
proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Doporučené čtení z učebnice
Teorie:
Základní čtení – odst. 5.24 – 5.36
Rozšiřující čtení – tetokrát nic.
Úlohy:
Volný výběr z úloh 5.59. – 5.100 na spojitost a derivace
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Nechť f je reálná nebo komplexní funkce definovaná na intervalu
A ⊂ R. Říkáme, že f je spojitá v bodě x0 ∈ A, jestliže je
lim
x→x0
f (x) = f (x0).
Funkce f je spojitá na A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech
x0 ∈ A.
Všiměme si, že pro hraniční body intervalu A říká naše definice, že
f v nich má být spojitá zprava, resp. zleva.
Z vět o limitách okamžitě vyplývá většina následujících tvrzení:
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Theorem
Nechť f a g jsou spojité funkce na intervalu A. Pak
1 součet f + g je spojitá funkce
2 součin f · g je spojitá funkce
3 pokud navíc g(x0) = 0, pak podíl f /g je dobře definován v
nějakém okolí x0 a je spojitý v x0.
4 pokud spojitá funkce h je definována na okolí hodnoty f (x0),
pak složená funkce h ◦ f je definována na okolí bodu x0 a je v
x0 spojitá.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Důkaz.
Tvrzení (1) a (2) jsou zřejmá,
(3) Jestliže je g(x0) = 0, pak také celé –okolí čísla g(x0)
neobsahuje nulu pro dostatečně malé > 0. Ze spojitosti g pak
vyplývá, že na dostatečně malém δ–okolí x0 bude g neulové a podíl
f /g tam bude tedy dobře definován. Pak bude ovšem i spojitý v x0
podle předchozí věty.
(4) Zvolme nějaké okolí O hodnoty h(f (x0)). Ze spojitosti h k
němu existuje okolí O bodu f (x0), které je celé zobrazeno funkcí h
do O. Do tohoto okolí O spojité zobrazení f zobrazí dostatečně
malé okolí bodu x0. To je ale právě definiční vlastnost spojitosti a
důkaz je ukončen.
Nyní si vcelku snadno můžeme odvodit zásadní souvislosti spojitých
zobrazení a topologie reálných čísel:
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Theorem
Nechť f : R → R je spojitá funkce. Pak
1 vzor f −1(U) každé otevřené množiny je otevřená množina,
2 vzor f −1(W ) každé uzavřené množiny je uzavřená množina,
3 obraz f (K) každé kompaktní množiny je kompaktní množina,
4 na libovolné kompaktní množině K dosahuje spojité zobrazení
maxima a minima.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Důkaz.
(1) Uvažme x0 ∈ f −1(U). Nějaké okolí O hodnoty f (x0) je celé v
U, protože je U otevřená. Proto existuje okolí O bodu x0, které se
celé zobrazí do O, patří tedy do vzoru. Každý bod vzoru je tedy
vnitřní a tím je důkaz ukončený.
(2) Uvažme hromadný bod x0 vzoru f −1(W ) a posloupnost xi ,
f (xi ) ∈ W , která k němu konverguje. Ze spojitosti f zjevně
vyplývá, že f (xi ) konverguje k f (x0), a protože je W uzavřená,
musí i f (x0) ∈ W . Zřejmě jsou tedy všechny hromadné body vzoru
W ve W také obsaženy.
(3) Zvolme otevřené pokrytí f (K). Vzory jednotlivých intervalů jsou
sjednoceními otevřených intervalů a tedy vytvoří pokrytí množiny
K. Z něho lze vybrat konečné pokrytí a proto stačí konečně mnoho
odpovídajících obrazů i k pokrytí množiny f (K).
(4) Protože je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní
množina, musí být obraz ohraničený a zároveň musí obsahovat
svoje supremum i infimum. Odtud ale vyplývá, že tyto musí být
zároveň maximem a minimem hodnot.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Důsledek
Nechť f : R → R je spojitá. Potom
1 obraz každého intervalu je opět interval
2 f na uzavřeném intervalu [a, b] nabývá všech hodnot mezi
svou maximální a minimální hodnotou.
Důkaz.
(1) Uvažme interval A a předpokládejme, že existuje y ∈ R takový,
že f (A) obsahuje body menší i větší než y, ale y /∈ f (A). Pak vzory
otevřených množin A1 = f −1((−∞, y)) a A2 = f −1((y, ∞))
pokrývají A. Tyto otevřené množiny jsou disjunktní a obě mají
neprázdný průnik s A. Nutně tedy existuje x ∈ A, který neleží v A1,
je ale jejím hromadným bodem. Musí pak ležet v A2 a to u
disjunktních otevřených množin není možné. Proto pokud nějaký
bod y nepatří do obrazu intervalu, musí být zároveň všechny
hodnoty buď větší nebo menší. Obrazem bude proto opět interval.
Všimněme si, že jeho krajní body mohou a nemusí do obrazu patřit.
Tvrzení (2) je přímým důsledkem (1).
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Racionální funkce
Nechť f a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní
hodnoty (tj. připouštíme výrazy anxn + · · · + a0 s komplexními
ai ∈ C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Pak funkce
h : R \ {x ∈ R, g(x) = 0} → C, h(x) = f (x)
g(x) je dobře definována ve
všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce
nazýváme racionální funkce.
Racionální funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního
oboru. V bodech, kde definovány nejsou mohou mít
konečnou limitu, když jde o společný kořen polynomů f i g (a
v tomto případě rozšířením jejich definice o limitní hodnotu v
tomto bodě dostaneme funkci i v tomto bodě spojitou)
nekonečnou limitu, když limity zprava a zleva v tomto bodě
jsou stejné
různé nekonečné limity zprava a zleva.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
y
x
6
5
4
2
4
0
-2
3
-4
-6
210-1
a=0.
y
x
6
5
4
2
4
0
-2
3
-4
-6
210-1
a=1.6667
h(x) =
(x − 0.05a)(x − 2 − 0.2a)(x − 5)
x(x − 2)(x − 4)
s hodnotami a = 0 a a = 5/3.
Obrázek vlevo tedy zobrazuje racionální funkci (x − 5)/(x − 4).
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Mocninné funkce
Polynomy jsou seskládány z jednoduchých mocninných funkcí
x → xn s přirozeným číslem n = 0, 1, 2, . . . . Samozřejmý smysl má
také funkce x → x−1 pro všechny x = 0. Tuto definici rozšíříme na
obecnou mocninnou funkci s n ∈ R.
Pro n = −a s a ∈ N definujeme
x−a
= (xa
)−1
= (x−1
)a
.
Dále jistě chceme, aby ze vztahu bn = x pro n ∈ N vyplývalo
b = x
1
n . Je třeba ale ověřit, že taková b skutečně existují pro dané
x. Předpokládejme x > 0 a označme B množinu
B = {y ∈ R, y > 0, yn ≤ x}. To je zřejmě zhora ohraničená
množina a lze ověřit, že pro b = sup B skutečně platí požadovaná
rovnost.
Zdůvodnili jsme tedy existenci xa pro všechny x > 0 a a ∈ Q.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Mocninná funkce – pokračování
Konečně, pro a ∈ R, x > 1 klademe
xa
= sup{xy
, y ∈ Q, y ≤ a}.
Pro 0 < x < 1 buď definujeme analogicky (je třeba si jen pohrát s
nerovnítky) nebo klademe přímo xa = (1
x )−a. Pro x = 1 je pak
1a = 1 pro libovolné a.
Obecnou mocninnou funkci x → xa máme tedy dobře definovanou
pro všechny x ∈ [0, ∞) a a ∈ R.
Exponenciální funkce
Naši konstrukci funkce xa ale můžeme také číst následujícím
způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná
funkce na celém R, y → cy . Této funkci říkáme exponenciální
funkce o základu c.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Na obrázcích vidíme funkce x → ax a x → xb pro jednu konkrétní
hodnotu a = 2.5167 a b = 4.5833.
20
0
0
-2-4
y
b
100
4
80
60
2
40
a=2.5167
a
32,5
y
2
100
80
1,5
60
40
1
20
0
0,5
b=4.5833
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Mocninné i exponenciální funkce jsou spojité na celých svých
definičních oborech. Zároveň se ze spojitosti definice pomocí
suprem množin hodnot zjevně přenáší základní vlastnosti platné pro
racionální čísla, a, x, y:
ax
· ay
= ax+y
, (ax
)y
= ax·y
.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Definition
Nechť f je reálná nebo komplexní funkce s definičním oborem
A ⊂ R a x0 ∈ A. Jestliže existuje limita
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= a
pak řídáme, že f má v bodě x0 derivaci a. Píšeme často a = f (x0)
nebo a = df
dx (x0) případně a = d
dx f (x0).
Derivace funkce je vlastní, resp. nevlastní, když je takovou
příslušná limita.
Jednostranné derivace (tj. derivaci zprava a zleva) definujeme
zcela stejně pomocí limity zprava a zleva.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Z formulace definice lze očekávat, že f (x0) bude opět umožňovat
dobře aproximovat danou funkci pomocí přímky
y = f (x0) + f (x0)(x − x0).
Takto lze vnímat následující lemma, které říká, že nahrazením
konstantního koeficientu f (x0) vhodnou spojitou funkcí dostaneme
přímo hodnoty f .
Lemma
Reálná nebo komplexní funkce má v bodě x0 vlastní derivaci, právě
když existuje na nějakém okolí O(x0) funkce ψ spojitá v x0 a
taková, že pro všechny x ∈ O(x0) platí
f (x) = f (x0) + ψ(x)(x − x0).
Navíc pak vždy ψ(x0) = f (x0).
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Důkaz.
Nejprve předpokládejme, že f (x0) je vlastní derivace. Pokud má ψ
existovat, má jistě tvar ψ(x) = (f (x) − f (x0))/(x − x0) pro všechny
x ∈ O \ {x0}. V bodě x0 naopak definujme hodnotu derivací. Pak
jistě
lim
x→x0
ψ(x) = f (x0) = ψ(x0)
jak je požadováno.
Naopak, jestliže taková funkce ψ existuje, tentýž postup vypočte
její limitu v x0. Proto existuje i f (x0) a je ψ(x0) rovna.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Geometrický význam derivace
Předchozí lemma lze názorně vysvětlit geometricky a tím popsat
smysl derivace. Říká totiž, že na grafu funkce y = f (x), tj. na
příslušné křivce v rovině se souřadnicemi x a y, poznáme, zda
existuje derivace podle toho, jestli se spojitě mění hodnota směrnice
sečny procházející body [x0, f (x0)] a [x, f (x)]. Pokud ano, pak
limitní hodnota této směrnice je hodnotou derivace.
Corollary
Má-li reálná funkce f v bodě x0 ∈ R derivaci f (x0) > 0, pak pro
nějaké okolí O(x0) platí f (b) > f (a) pro všechny body
a, b ∈ O(x0), b > a.
Je-li derivace f (x0) < 0, pak naopak pro nějaké okolí O(x0) platí
f (b) < f (a) pro všechny body a, b ∈ O(x0), b > a.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Důkaz.
Uvažme prvý případ. Pak podle předchozího lematu platí
f (x) = f (x0) + ψ(x)(x − x0) a ψ(x0) > 0. Protože je ale ψ v x0
spojitá, musí existovat okolí O(x0), na kterém bude ψ(x) > 0. Pak
ale s rostoucím x nutně poroste i hodnota f (x).
Stejná argumentace ověří i tvrzení se zápornou derivací.
Funkce, které mají vlastnost f (b) > f (a) kdykoliv b > a pro nějaké
okolí bodu x0 se nazývají rostoucí v bodě x0. Funkce rostoucí ve
všech bodech nějakého intervalu se nazývá rostoucí na intervalu.
Podobně je funkce klesající v bodu, resp. klesající na intervalu,
jestliže f (b) < f (a) kdykoliv je a < b.
Funkce která má v bodě nenulovou konečnou derivaci je v tomto
bodě buď rostoucí nebo klesající podle znaménka této derivace.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Pravidla pro počítání
Theorem
Nechť f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí
bodu x0 ∈ R a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom
1 funkce f je v bodě x0 spojitá,
2 pro každé reálné nebo komplexní číslo c má funkce
x → c · f (x) derivaci v x0 a platí
(cf ) (x0) = c(f (x0)),
3 funkce f + g má v x0 derivaci a platí
(f + g) (x0) = f (x0) + g (x0).
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Pravidla pro počítání
Theorem
Nechť f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí
bodu x0 ∈ R a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom
1 funkce f · g má v x0 derivaci a platí
(f · g) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0),
2 Je-li dále h funkce definovaná na okolí obrazu y0 = f (x0),
která má derivaci v bodě y0, má také složená funkce h ◦ f
derivaci v bodě x0 a platí
(h ◦ f ) (x0) = h (f (x0)) · f (x0).
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Intuitivně:
f =
∆y
∆x
.
Samozřejmě pak při y = h(x) = f (x) + g(x) je přírůstek y dán
součtem přírůstků f a g a přírůstek závislé proměnné zůstává
stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací.
U součinu musíme být malinko pozornější. Pro
y = h(x) = f (x)g(x) je přírůstek
∆y = f (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x)
= f (x + ∆x)(g(x + ∆x) − g(x)) + (f (x + ∆x) − f (x))g(x)
Nyní ale když budeme zmenšovat přírůstek ∆x, jde vlastně o
výpočet limity součtu součinů a o tom už víme, že jej lze počítat
jako součet součinů limit. Proto z naší formulky lze očkávat pro
derivaci součinu fg výraz fg + f g.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Pro derivaci složené funkce g = h ◦ f , kde definiční obor funkce
z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce y = f (x), je to podobné.
g =
∆z
∆x
=
∆z
∆y
∆y
∆x
.
Můžeme tedy očekávat, že pravidlo pro výpočet bude
(h ◦ f ) (x) = h (f (x))f (x).
Důsledek
Nechť f a g jsou reálné funkce, která mají v bodě x0 vlastní
derivace a g(x0) = 0. Pak pro funkci h(x) = f (x)(g(x))−1 platí
h (x0) =
f
g
(x0) =
f (x0)g(x0) − f (x0)g (x0)
(g(x0))2
.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Důkaz.
Nejprve pro h(x) = x−1 přímo z definice:
h (x) = lim
∆x→0
1
x+∆x − 1
x
∆x
= lim
∆x→0
x − x − ∆x
∆x(x2 + x∆x)
= lim
∆x→0
−1
x2 + x∆x
.
Z pravidel pro počítání limit okamžitě dostáváme
h (x0) = −x−2
.
Nyní pravidlo pro derivaci složené funkce říká, že (g−1) = −g2 · g
a konečně pravidlo pro derivaci součinu nám dává právě kýžený
vzorec:
(f /g) = (f · g−1
) = f g−1
− fg−2
g =
f g − gf
g2
.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
Derivace inverzních funkcí
Pokud k dané funkci f : R → R inverzní funkce f −1 existuje
(nezaměňujme značení s funkcí x → (f (x))−1), pak je dána
jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů
f −1
◦ f = idR, f ◦ f −1
= idR,
a druhý již pak platí také. Pokud je f definováno na podmnožině
A ⊂ R a f (A) = B, je existence f −1 podmíněna stejnými vztahy s
identickými zobrazeními idA resp. idB na pravých stranách.
Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f −1
diferencovatelná, pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká
1 = (id) (x) = (f −1
◦ f ) (x) = (f −1
) (f (x)) · f (x)
a tedy přímo víme formuli (zjevně f (x) v takovém případě nemůže
být nulové)
(f −1
) (f (x)) =
1
f (x)
.
Literatura Spojité funkce Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti derivací
To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f (x) je f = ∆y
∆x
zatímco pro x = f −1(y) je (f −1) (y) = ∆x
∆y . Takto skutečně
můžeme derivace inverzních funkcí počítat:
Theorem
Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu x0 a f (x0) = 0, pak
existuje na nějakém okolí bodu y0 = f (x0) funkce f −1 inverzní k f
a platí vztah
(f −1
) (f (x)) =
1
f (x)
.
Pokud je f (x0) = 0 izolovaným nulovým bodem derivace f (x) a
inverzní funkce k f na okolí f (x0) existuje, pak limity zprava i zleva
funkce f jsou v bodě x0 nevlastní.