Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Matematika II – 4. přednáška
Mocninné řady
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
11. 3. 2012
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Obsah přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 L’Hospitalovo pravidlo
3 Kolik je ex ?
4 Číselné řady
5 Mocninné řady
6 Příspěvky do zvěřince
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Kde je dobré číst?
chystaná učebnice „Matematika drsně a svižně“, viz studijní
materiály
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Kde je dobré číst?
chystaná učebnice „Matematika drsně a svižně“, viz studijní
materiály
Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné
proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Doporučené čtení z učebnice
Teorie:
Základní čtení – odst. 5.39 – 5.42, 5.44 – 5.51
Rozšiřující čtení – 5.43.
Úlohy:
Volný výběr z extremálních úloh – část F, a úloh na řady – část G
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 L’Hospitalovo pravidlo
3 Kolik je ex ?
4 Číselné řady
5 Mocninné řady
6 Příspěvky do zvěřince
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Theorem (Rolleova věta)
Nechť funkce f : R → R je spojitá na intervalu [a, b] a
diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Jestliže platí f (a) = f (b),
pak existuje c ∈ (a, b) takové, že f (c) = 0.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Důkaz.
Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní
množině), proto má na něm maximum a minimum. Pokud by
maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f (a) = f (b), pak by
funkce f byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve
všech bodech intervalu (a, b).
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Důkaz.
Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní
množině), proto má na něm maximum a minimum. Pokud by
maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f (a) = f (b), pak by
funkce f byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve
všech bodech intervalu (a, b).
Předpokládejme tedy, že buď maximum nebo mimimum je jiné a
nechť nastává jedno z nich ve vnitřním bodě c. Pak ovšem není
možné, aby v c bylo f (c) = 0, protože to by v tomto bodě byla
byla funkce f buď rostoucí nebo klesající a jistě by tedy v okolí
bodu c nabývala větších i menších hodnot, než je f (c).
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Z Rolleovy věty snadno vyplývá tzv. věta o střední hodnotě.
Theorem
Nechť funkce f : R → R je spojitá na intervalu [a, b] a
diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Pak existuje c ∈ (a, b)
takové, že
f (c) =
f (b) − f (a)
b − a
.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Důkaz.
Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně
mezi body [a, f (a)] a [b, f (b)] existuje tečna, která je s ní
rovnoběžná (nejlíp vidět na obrázku). Rovnice naší sečny je
y = g(x) = f (a) +
f (b) − f (a)
b − a
(x − a).
Rozdíl h(x) = f (x) − g(x) udává vzdálenost grafu od sečny (v
hodnotách y). Jistě platí h(a) = h(b) a
h (x) = f (x) −
f (b) − f (a)
b − a
.
Podle předchozí věty existuje bod c, ve kterém je h (c) = 0.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru:
f (b) = f (a) + f (c)(b − a)
a v případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí
y = f (t), x = g(t), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny
k sečně krajními body popsán takto:
Corollary
Nechť funkce y = f (t) a x = g(t) jsou spojité na intervalu [a, b] a
diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g (t) = 0 pro všechny
t ∈ (a, b). Pak existuje bod c ∈ (a, b) takový, že platí
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f (c)
g (c)
.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Důkaz.
Opět spoléháme na použití Rolleovy věty. Položíme proto
h(t) = (f (b) − f (a))g(t) − (g(b) − g(a))f (t).
Nyní h(a) = f (b)g(a) − f (a)g(b), h(b) = f (b)g(a) − f (a)g(b),
takže existuje c ∈ (a, b) takový, že h (c) = 0. Protože je g (c) = 0,
dostáváme právě požadovaný vztah.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 L’Hospitalovo pravidlo
3 Kolik je ex ?
4 Číselné řady
5 Mocninné řady
6 Příspěvky do zvěřince
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Podobná úvaha jako v posledním tvrzení vede k mimořádně
užitečnému nástroji pro počítání limit funkcí. Je znám jako
L’Hospitalovo pravidlo:
Theorem
Předpokládejme, že f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu
x0 ∈ R, ne však nutně v bodě x0 samotném, a nechť existují limity
lim
x→x0
f (x) = 0, lim
x→x0
g(x) = 0.
Jestliže existuje limita
lim
x→x0
f (x)
g (x)
pak existuje i limita
lim
x→x0
f (x)
g(x)
a jsou si rovny.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Důkaz
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že v x0 mají funkce
f a g nulovou hodnotu.
Výsledek je opět jednoduše představitelný pomocí obrázku.
Uvažujme body [g(x), f (x)] ∈ R2 parametrizované proměnnou x.
Podíl hodnot pak odpovídá směrnici sečny mezi body [0, 0] a
[f (x), g(x)]. Zároveň víme, že podíl derivací odpovídá směrnici
tečny v příslušném bodě. Z existence limity směrnic tečen tedy
chceme dovodit existenci limity směrnic sečen.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Pokračování.
Technicky lze využít věty o střední hodnotě v parametrickém tvaru.
Předně si uvědomme, že v tvrzení věty implicitně předpokládáme
existenci výrazu f (x)/g (x) na nějakém okolí x0, zejména tedy pro
dostatečně blízké body c k x0 bude g (c) = 0.
lim
x→x0
f (x)
g(x)
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
g(x) − g(x0)
= lim
x→x0
f (cx )
g (cx )
,
kde cx je číslo mezi x0 a x. Nyní si všimněme, že z existence limity
limx→x0
f (x)
g (x) vyplývá, že stejnou hodnotu bude mít i limita
libovolné posloupnosti vzniklé dosazením hodnot x = xn jdoucích k
x0 do f (x)/g (x). Zejména tedy můžeme dosadit jakoukoliv
posloupnost cxn pro xn → x0 a proto bude existovat i limita
limx→x0
f (cx )
g (cx ) a poslední dvě limity zjevně budou mít stejnou
hodnotu. Dokázali jsme tedy, že naše hledaná limita existuje a má
také stejnou hodnotu.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Jednoduše lze rozšířit L’Hospitalovo pravidlo i pro limity v
nevlastních bodech ±∞ a v případě nevlastních hodnot limit. Je-li,
např.
lim
x→∞
f (x) = 0, lim
x→∞
g(x) = 0,
potom je limx→0+ f (1/x) = 0 a limx→0+ g(1/x) = 0. Zároveň z
existence limity podílu derivací v nekonečnu dostaneme
lim
x→0+
(f (1/x))
(g(1/x))
= lim
x→0+
f (1/x)(−1/x2)
g (1/x)(−1/x2)
= lim
x→0+
f (1/x)
g (1/x)
= lim
x→∞
f (x)
g (x)
.
Použitím předchozí věty tedy dostáváme, že v tomto případě bude
existovat i limita podílu
lim
x→∞
f (x)
g(x)
= lim
x→0+
f (1/x)
g(1/x)
= lim
x→∞
f (x)
g (x)
.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Ještě jednodušší je postup při výpočtu limity v případě, kdy
lim
x→x0
f (x) = ±∞, lim
x→x0
g(x) = ±∞.
Stačí totiž psát
lim
x→x0
f (x)
g(x)
= lim
x→x0
1/g(x)
1/f (x)
,
což je již případ pro použití L’Hospitalova pravidla z předchozí věty.
Theorem
Nechť f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu x0 ∈ R, ne
však nutně v bodě x0 samotném, a nechť existují limity
limx→x0 f (x) = ±∞ a limx→0 g(x) = ±∞. Jestliže existuje limita
limx→x0
f (x)
g (x) pak existuje i limita limx→x0
f (x)
g(x) a jsou si rovny.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Důkaz.
Opět lze vyjít z věty o střední hodnotě. Vyjádříme podíl, abychom
"viděli"derivaci:
f (x)
g(x)
=
f (x)
f (x) − f (y)
·
f (x) − f (y)
g(x) − g(y)
·
g(x) − g(y)
g(x)
kde y volíme nějaký pevný ze zvoleného okolí x0 a x necháme blížit
k x0. Protože jsou limity f i g v x0 nekonečné, můžeme jistě
předpokládat, že rozdíly hodnot v x a y jsou u obou funkcí při
pevném y nenulové.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Důkaz.
Opět lze vyjít z věty o střední hodnotě. Vyjádříme podíl, abychom
"viděli"derivaci:
f (x)
g(x)
=
f (x)
f (x) − f (y)
·
f (x) − f (y)
g(x) − g(y)
·
g(x) − g(y)
g(x)
kde y volíme nějaký pevný ze zvoleného okolí x0 a x necháme blížit
k x0. Protože jsou limity f i g v x0 nekonečné, můžeme jistě
předpokládat, že rozdíly hodnot v x a y jsou u obou funkcí při
pevném y nenulové.
Nyní nahradíme prostřední zlomek podílem derivací
f (x)
g(x)
=
1 − g(y)
g(x)
1 − f (y)
f (x)
·
f (c)
g (c)
,
kde c závisí na x i y. Při pevném y a x jdoucím k x0 jde první
zlomek zjevně k jedničce a druhý zlomek se blíží k limitní hodnotě
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Příklad
Vhodnými úpravami sledovaných výrazů lze využít L’Hospitalova
pravidla také na výrazy typu ∞ − ∞, 1∞, 0 · ∞ apod. Zpravidla jde
o prosté přepsání výrazů nebo o využití nějaké hladké funkce, např.
exponenciální. Uveďme alespoň dva příklady hned:
lim
x→0
1
sin 2x
−
1
2x
= lim
x→0
2x − sin 2x
2x sin 2x
= lim
x→0
2 − 2 cos 2x
2 sin 2x + 4x cos 2x
= lim
x→0
4 sin 2x
4 cos 2x + 4 cos 2x − 8x sin 2x
= 0,
přičemž získané tvrzení je třeba číst od konce. Tj. z existence
poslední limity (podíl druhých derivací) vyplývá existence limity
podílů prvních derivací a z toho plyne existence i hodnota původní
limity.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Příklad
Druhý příklad nám ukáže souvislost aritmetického a geometrického
průměru z n hodnot. Aritmetický průměr
M1
(x1, . . . , xn) =
x1 + · · · + xn
n
je speciálním případem tzv. mocninného průměru stupně r:
Mr
(x1, . . . , xn) =
xr
1 + · · · + xr
n
n
1
r
.
Speciální hodnota M−1 se nazývá harmonický průměr.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Příklad - pokračování
Spočtěme si limitní hodnotu Mr pro r jdoucí k nule. Za tímto
účelem spočteme limitu pomocí L’Hospitalova pravidla (jde o výraz
0/0, využití spojité funkce ln neškodí a pozor, derivujeme podle r!):
lim
r→0
ln(Mr
(x1, . . . , xn)) = lim
r→0
ln(1
n (xr
1 + . . . xr
n))
r
= lim
r→0
xr
1 ln x1+···+xr
n ln xn
n
xr
1+...xr
n
n
=
ln x1 + · · · + ln xn
n
= ln n
√
x1 · · · · · xn.
Odtud tedy je přímo vidět, že
lim
r→0
Mr
(x1, . . . , xn) = n
√
x1 . . . xn,
což je hodnota známá pod názvem geometrický průměr.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 L’Hospitalovo pravidlo
3 Kolik je ex ?
4 Číselné řady
5 Mocninné řady
6 Příspěvky do zvěřince
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Budeme „počítat“ ex .
Jestliže v posloupnosti am = (1 + 1
m )m dosadíme za m hodnoty
m = n/x pro nějaké pevné x ∈ R, dostaneme
bn = 1 +
x
n
n
x
, bx
n = 1 +
x
n
n
.
Přitom, je limita bn pro n jdoucí do nekonečna opět e. Odvodili
jsme tedy důležitý vztah platný pro všechna x ∈ R
ex
= lim
n→∞
1 +
x
n
n
.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
n-tý člen posloupnosti un(x) = 1 + x
n
n
vyjádříme pomocí
bionomické věty:
un(x) = 1 + n
x
n
+
n(n − 1)x2
2!n2
+ · · · +
n!xn
n!nn
= 1 + x +
x2
2!
1 −
1
n
+
x3
3!
1 −
1
n
1 −
2
n
+ . . .
+
xn
n!
1 −
1
n
1 −
2
n
. . . 1 −
n − 1
n
.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
n-tý člen posloupnosti un(x) = 1 + x
n
n
vyjádříme pomocí
bionomické věty:
un(x) = 1 + n
x
n
+
n(n − 1)x2
2!n2
+ · · · +
n!xn
n!nn
= 1 + x +
x2
2!
1 −
1
n
+
x3
3!
1 −
1
n
1 −
2
n
+ . . .
+
xn
n!
1 −
1
n
1 −
2
n
. . . 1 −
n − 1
n
.
Protože jsou všechny závorky v součinech menší než jedna,
dostáváme také
un(x) < vn(x) =
n
j=0
1
j!
xj
.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Uvažme formální součet ∞
j=0 cj = ∞
j=0
1
j! xj , který chápeme jako
limitu našich čísel vn (pokud existuje)
un(x) < vn(x) =
n
j=0
1
j!
xj
.
Podíl dvou po sobě jdoucích členů v řadě je cj+1/cj = x/(n + 1).
Pro každé pevné x tedy existuje N ∈ N takové, že cj+1/cj < 1/2
pro všechny j > N. Pro takto velké j je ovšem
cj+1 < 1
2 cj < 2−(j−N+1)cN. To ale znamená, že částečné součty
prvních n členů v našem formálním součtu jsou shora ohraničeny
součty
vn <
N
j=0
1
j!
xj
+
1
j!
xj
n−N
j=0
1
2j
.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Poslední suma je zvláštní případ součtu geometrické řady k
j=0 qj .
Protože platí pro každé q
(1 − q)(1 + q + · · · + qk
) = 1 − qk+1
,
existuje limita částečných součtů v geometrické řadě ∞
j=0 qk
právě když |q| < 1 a v takovém případě platí
∞
j=0
qj
= lim
k→∞
k
j=0
qj
=
1
1 − q
.
Protože čísla vn tvoří rostoucí posloupnost, jistě také tato
posloupnost konverguje. Říkáme, že řada ∞
j=0
1
j! xj konverguje.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Čísla un, jejichž limitou je ex , umíme aproximovat libovolně přesně
výrazy vn. S trochou pečlivosti odtud dostaneme:
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Čísla un, jejichž limitou je ex , umíme aproximovat libovolně přesně
výrazy vn. S trochou pečlivosti odtud dostaneme:
Theorem
Exponenciální funkce je pro každé x ∈ R vyjádřena jako limita
částečných součtů ve výrazu
ex
= 1 + x +
1
2!
x2
+ · · · +
1
n!
xn
+ · · · =
∞
n=0
1
n!
xn
.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 L’Hospitalovo pravidlo
3 Kolik je ex ?
4 Číselné řady
5 Mocninné řady
6 Příspěvky do zvěřince
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Definition
Nekonečná řada je výraz
∞
n=0
an = a0 + a1 + a2 + · · · + ak + . . . ,
kde an jsou reálná nebo komplexní čísla. Posloupnost částečných
součtů je dána svými členy sk = k
n=0 an a říkáme, že řada
konverguje a je rovna s, jestliže existuje konečná limita částečných
součtů
s = lim
k→∞
sn.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
K tomu, aby posloupnost sn konvergovala, je nutné a stačí, aby
byla Cauchyovská. Tzn. že
|sm − sn| = |an+1 + · · · + am|
musí být libovolně malé pro dostatečně velká m > n. Protože je
|an+1| + · · · + |am| > |an+1 + · · · + am|,
vyplývá z konvergence řady ∞
k=0 |an| i konvergence řady ∞
k=0 an.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
K tomu, aby posloupnost sn konvergovala, je nutné a stačí, aby
byla Cauchyovská. Tzn. že
|sm − sn| = |an+1 + · · · + am|
musí být libovolně malé pro dostatečně velká m > n. Protože je
|an+1| + · · · + |am| > |an+1 + · · · + am|,
vyplývá z konvergence řady ∞
k=0 |an| i konvergence řady ∞
k=0 an.
Definition
Říkáme, že řada ∞
k=0 an konverguje absolutně, jestliže
konverguje řada ∞
n=0 |an|.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
K tomu, aby posloupnost sn konvergovala, je nutné a stačí, aby
byla Cauchyovská. Tzn. že
|sm − sn| = |an+1 + · · · + am|
musí být libovolně malé pro dostatečně velká m > n. Protože je
|an+1| + · · · + |am| > |an+1 + · · · + am|,
vyplývá z konvergence řady ∞
k=0 |an| i konvergence řady ∞
k=0 an.
Definition
Říkáme, že řada ∞
k=0 an konverguje absolutně, jestliže
konverguje řada ∞
n=0 |an|.
Jestliže posloupnost částečných součtů řady má nevlastní limitu,
říkáme že řada diverguje k ∞ nebo −∞.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Theorem
Nechť S = ∞
n=0 an a T = ∞
n=0 bn jsou dvě absolutně
konvergentní řady. Pak
1 jejich součet absolutně konverguje k součtu
S + T =
∞
n=0
an +
∞
n=0
bn =
∞
n=0
(an + bn),
2 jejich rozdíl absolutně konverguje k rozdílu
S − T =
∞
n=0
an −
∞
n=0
bn =
∞
n=0
(an − bn),
3 jejich součin absolutně konverguje k součinu
S · T =
∞
n=0
an ·
∞
n=0
bn =
∞
n=0
n
k=0
an−kbk .
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Theorem
Nechť S = ∞
n=0 an je nekonečná řada reálných nebo komplexních
čísel.
1 Jestliže S konverguje, pak limn→∞ an = 0.
2 Předpokládejme, že existuje limita podílů po sobě jdoucích
členů řady a platí
lim
n→∞
an+1
an
= q.
Pak řada S konverguje absolutně při |q| < 1 a nekonverguje
při |q| > 1. Při |q| = 1 může řada konvergovat ale nemusí.
3 Jestliže existuje limita
lim
n→∞
n
|an| = q,
pak při q < 1 řada konverguje, zatímco při q > 1 diverguje.
Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Corollary
Nechť S = ∞
n=0 an je nekonečná řada reálných nebo komplexních
čísel.
1 Je-li
q = lim sup
n→∞
an+1
an
,
pak řada S konverguje absolutně při q < 1 a nekonverguje při
q > 1. Při q = 1 může řada konvergovat ale nemusí.
2 Je-li
q = lim sup
n→∞
n
|an|,
pak při q < 1 řada konverguje, zatímco při q > 1 diverguje.
Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 L’Hospitalovo pravidlo
3 Kolik je ex ?
4 Číselné řady
5 Mocninné řady
6 Příspěvky do zvěřince
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Jestliže máme místo posloupnosti čísel an k dispozici posloupnost
funkcí fn(x) se stejným definičním oborem A, můžeme bod po bodu
použít definici řady a dostáváme pojem součtu řady funkcí
S(x) =
∞
n=0
fn(x).
Definition
Mocninná řada je dána výrazem
S(x) =
∞
n=0
anxn
.
Řekneme, že S(x) má poloměr konvergence ρ ≥ 0, jestliže S(x)
konverguje pro každé x splňující |x| < ρ a diverguje při |x| > ρ.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Theorem
Nechť S(x) = ∞
n=0 anxn je mocninná řada a existuje limita
ρ = lim
n→∞
n
√
an.
Pak je poloměr konvergece řady S roven r = ρ−1.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Theorem
Nechť S(x) = ∞
n=0 anxn je mocninná řada a existuje limita
ρ = lim
n→∞
n
√
an.
Pak je poloměr konvergece řady S roven r = ρ−1.
Mocninná řada S(x) je spojitá na celém svém intervalu
konvergence (včetně krajních bodů, pokud v nich konverguje) a
existuje také její derivace S (x),
S (x) =
∞
n=1
nanxn−1
.
Všimněme si, že lze poloměr konvergence r pro každou mocninnou
řadu přímo zadat vzorcem
r−1
= lim sup
n→∞
n
√
an.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Example
Podíváme se na mocninnou řadu
S(x) =
∞
n=0
xn
, .
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Example
Podíváme se na mocninnou řadu
S(x) =
∞
n=0
xn
, .
Je to geometrická řada, kterou jsme se zabývali již dříve, a její
součet je pro všechny x s |x| < 1
S(x) =
1
1 − x
,
zatímco |x| > 1 zaručuje divergenci. Pro x = 1 dostáváme také
zjevně divergentní řadu 1 + 1 + 1 + . . . s nekonečným součtem, při
x = −1 jde o řadu 1 − 1 + 1 − . . . , jejíž částečné součty nemají
limitu vůbec.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Example
Poloměr konvergence řady T(x) = ∞
n=1
1
n xn je také jedna,
protože existuje
lim
n→∞
1
n+1xn+1
1
n xn
= x lim
n→∞
n
n + 1
= x
Pro x = 1 tu dostaneme divergentní řadu 1 + 1
2 + 1
3 + . . . .
Naopak, řada T(−1) = −1 + 1
2 − 1
3 + . . . konverguje.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Example
Poloměr konvergence řady T(x) = ∞
n=1
1
n xn je také jedna,
protože existuje
lim
n→∞
1
n+1xn+1
1
n xn
= x lim
n→∞
n
n + 1
= x
Pro x = 1 tu dostaneme divergentní řadu 1 + 1
2 + 1
3 + . . . .
Naopak, řada T(−1) = −1 + 1
2 − 1
3 + . . . konverguje.
O řadě T = ∞
n=0 bn s reálnými členy řekneme, že je alternující,
jestliže je znaménko dvou po sobě jdoucích členů vždy opačné.
Pokud je navíc |bn| klesající posloupnost a pro řadu T platí nutná
podmínka konvergence, tj. limn→∞ bn = 0, pak řada konverguje
(vyplyne z obecnějších výsledků později).
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 L’Hospitalovo pravidlo
3 Kolik je ex ?
4 Číselné řady
5 Mocninné řady
6 Příspěvky do zvěřince
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
S mocninnými řadami nám do našeho společenství přibyla spousta
nových příkladů hladkých funkcí, tj. funkcí libovolněkrát
diferencovatelných na celém svém definičním oboru. Pohrejme si
ještě chvíli s nejvýznamnějším a prvním naším příkladem,
exponenciálou
ex
= 1 + x +
1
2
x2
+ · · · +
1
n!
xn
+ . . . .
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
S mocninnými řadami nám do našeho společenství přibyla spousta
nových příkladů hladkých funkcí, tj. funkcí libovolněkrát
diferencovatelných na celém svém definičním oboru. Pohrejme si
ještě chvíli s nejvýznamnějším a prvním naším příkladem,
exponenciálou
ex
= 1 + x +
1
2
x2
+ · · · +
1
n!
xn
+ . . . .
Tato mocninnná řada má poloměr konvergence nekonečný a dobře
proto definuje funkci pro všechna komplexní čísla x. Její hodnoty
jsou limitami hodnot (komplexních) polynomů s reálnými
koeficienty a ze spojitosti tedy musí pro ni platit i obvyklé vztahy,
které jsme pro reálné hodnoty proměnné x již odvodili.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Zejména platí
ex+y
= ex
· ey
, .
Dosaďme si hodnoty x = i · t, kde i ∈ C je imaginární jednotka,
t ∈ R libovolné.
eit
= 1 + it −
1
2
t2
− i
1
3!
t3
+
1
4!
t4
+ i
1
5!
t5
− . . .
a zjevně tedy je komplexně konjugované číslo k z = eit číslo
¯z = e−it. Proto
|z|2
= z · ¯z = eit
· e−it
= e0
= 1
a všechny hodnoty z = eit proto leží na jednotkové kružnici v
komplexní rovině.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Reálné a imaginární složky bodů na jednotkové kružnici přitom
bývají popisovány pomocí goniometrických funkcí cos θ a sin θ,
kde θ je patřičný úhel.
Dostáváme přímou definici goniometrických funkcí pomocí
mocninných řad:
cos t = re eit
= 1 −
1
2
t2
+
1
4!
t4
−
1
6!
t6
+ · · · + (−1)k 1
(2k)!
t2k
+ . . .
sin t = im eit
= t −
1
3!
t3
+
1
5!
t5
−
1
7!
t7
+ · · · + (−1)k 1
(2k + 1)!
t2k+1
+ .
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Ilustraci konvergence řady pro funkci cos je vidět na obrázku. Jde o
graf příslušného polynomu stupně 68. Při postupném vykreslení
částečných součtů je vidět, že aproximace v okolí nuly je velice
dobrá a prakticky beze změn. S rostoucím řádem se pak zlepšuje i
dále od počátku.
y
t~
1,5
30
1
0,5
20
0
-0,5
10
-1
-1,5
0-10-20-30
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Přímo z definice také vyplývá známý vztah
sin2
t + cos2
t = 1
a také z derivace (eit) = i eit vidíme, že
(sin t) = cos t, (cos t) = − sin t.
Tentýž výsledek lze samozřejmě ověřit přímo derivací našich řad
člen po členu. (Ověříme později, že to tak skutečně lze dělat.)
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Předpokládejme, že t0 je nejmenší kladné číslo, pro které je
e−it0 = − eit0 , tj. první kladný nulový bod funkce cos t. Podle
obvyklé definice Ludolfova čísla je t0 = 1
2 π. Pak
e−i2t0 = (e−it0 )2 = ei2t0 a jde proto o nulový bod funkce sin t.
Samozřejmě pak platí pro libovolné t
ei(4kt0+t)
= (eit0
)4k
· eit
= 1 · eit
.
Jsou tedy obě funkce goniometrické funkce periodické s periodou
2π. Z našich definic je přitom vidět, že je to nejmenší jejich perioda.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Nyní můžeme snadno odvodit všechny obvyklé vztahy mezi
goniometrickými funkcemi. Uvedeme na ukázku několik z nich.
Nejprve si všimněme, že definice vlastně říká
cos t =
1
2
(eit
+ e−it
)
sin t =
1
2i
(eit
− e−it
).
Součin těchto funkcí jde tedy vyjádřit jako
sin t cos t =
1
4i
(eit
− e−it
)(eit
+ e−it
) =
1
4i
(ei2t
− e−i2t
) =
1
2
sin 2t.
Dále můžeme využít naši znalost derivací:
cos 2t = (
1
2
sin 2t) = (sin t cos t) = cos2
t − sin2
t.
Vlastnosti derivací L’Hospitalovo pravidlo Kolik je ex
? Číselné řady Mocninné řady Příspěvky do zvěřince
Vlastnosti dalších goniometrických funkcí
tg t =
sin t
cos t
, cotg t = (tg t)−1
se snadno odvodí z jejich definice a pravidel pro derivování.