Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Matematika II – 5. přednáška
Taylorův rozvoj a průběh funkce
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
17. 3. – 22. 3. 2013
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Obsah přednášky
1 Derivace vyšších řádů
2 Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
3 Průběh funkcí
4 Diferenciál funkce
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Kde je dobré číst?
chystaná učebnice „Matematika drsně a svižně“, viz studijní
materiály
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Kde je dobré číst?
chystaná učebnice „Matematika drsně a svižně“, viz studijní
materiály
Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné
proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Doporučené čtení z učebnice
Teorie:
Základní čtení: odst. 6.1 – 6.12
Rozšiřující čtení: odst. 6.13. – 6.16.
Úlohy:
6.1 – 6.7, 6.12. – 6.38
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Plán přednášky
1 Derivace vyšších řádů
2 Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
3 Průběh funkcí
4 Diferenciál funkce
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Jestliže má první derivace f (x) reálné nebo komplexní funkce f v
bodě x0 derivaci (f ) (x0), říkáme že existuje druhá derivace
funkce f , resp. derivace druhého řádu. Píšeme pak
f (x0) = (f ) (x0) nebo také f (2)(x0).
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Jestliže má první derivace f (x) reálné nebo komplexní funkce f v
bodě x0 derivaci (f ) (x0), říkáme že existuje druhá derivace
funkce f , resp. derivace druhého řádu. Píšeme pak
f (x0) = (f ) (x0) nebo také f (2)(x0).
Derivace vyšších řádů definujeme induktivně:
Reálná nebo komplexní funkce f je v bodě x0 (k + 1)–krát
diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k, jestliže je k–krát
diferencovatelná na nějakém okolí bodu x0 a její k–tá derivace má v
bodě x0 derivaci. Pro k-tou derivaci funkce f (x) píšeme f (k)(x).
Pro k = 0 rozumíme 0–krát diferencovatelnými funkcemi funkce
spojité.
Jestliže existují derivace všech řádů na intervalu, říkáme, že je tam
funkce f hladká.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Jestliže má první derivace f (x) reálné nebo komplexní funkce f v
bodě x0 derivaci (f ) (x0), říkáme že existuje druhá derivace
funkce f , resp. derivace druhého řádu. Píšeme pak
f (x0) = (f ) (x0) nebo také f (2)(x0).
Derivace vyšších řádů definujeme induktivně:
Reálná nebo komplexní funkce f je v bodě x0 (k + 1)–krát
diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k, jestliže je k–krát
diferencovatelná na nějakém okolí bodu x0 a její k–tá derivace má v
bodě x0 derivaci. Pro k-tou derivaci funkce f (x) píšeme f (k)(x).
Pro k = 0 rozumíme 0–krát diferencovatelnými funkcemi funkce
spojité.
Jestliže existují derivace všech řádů na intervalu, říkáme, že je tam
funkce f hladká.
Pro funkce se spojitou k–tou derivací používáme označení třída
funkcí Ck(A) na intervalu A, kde k může nabývat hodnot
0, 1, . . . , ∞. Často píšeme pouze Ck, je-li definiční obor znám z
kontextu.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Již jsme viděli, že první derivace funkce je jejím lineárním
přiblížením v okolí daného bodu a že ze znaménka nenulové
derivace vyplývá, že funkce je v bodě x0 rostoucí nebo klesající.
Body, ve kterých je první derivace nulová se nazývají kritické body
dané funkce.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Již jsme viděli, že první derivace funkce je jejím lineárním
přiblížením v okolí daného bodu a že ze znaménka nenulové
derivace vyplývá, že funkce je v bodě x0 rostoucí nebo klesající.
Body, ve kterých je první derivace nulová se nazývají kritické body
dané funkce.
Je-li x0 kritický bod funkce f , může být chování funkce f v okolí
bodu x0 jakékoliv. Vidíme to již z chování funkce f (x) = xn v okolí
nuly pro libovolné n. Pro lichá n > 0 bude f (x) rostoucí, pro sudá n
naopak bude nalevo klesající a napravo rostoucí, dosáhne tedy v
bodě x0 své minimální hodnoty mezi body z (dostatečně malého)
okolí bodu x0 = 0.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Tentýž pohled můžeme aplikovat na funkci f . V kritickém bodě x0
bude derivace f (x)
rostoucí při kladné druhé derivaci
klesající při záporné druhé derivaci.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Tentýž pohled můžeme aplikovat na funkci f . V kritickém bodě x0
bude derivace f (x)
rostoucí při kladné druhé derivaci
klesající při záporné druhé derivaci.
Jestliže je ale rostoucí, znamenená to, že nutně bude záporná
nalevo od kritického bodu a kladná napravo od něj. Funkce f v
takovém případě je klesající nalevo od kritického bodu a rostoucí
napravo od něj. To znamená, že má funkce f v bodě x0 minimum
ze všech hodnot z nějakého malého okolí bodu x0.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Tentýž pohled můžeme aplikovat na funkci f . V kritickém bodě x0
bude derivace f (x)
rostoucí při kladné druhé derivaci
klesající při záporné druhé derivaci.
Jestliže je ale rostoucí, znamenená to, že nutně bude záporná
nalevo od kritického bodu a kladná napravo od něj. Funkce f v
takovém případě je klesající nalevo od kritického bodu a rostoucí
napravo od něj. To znamená, že má funkce f v bodě x0 minimum
ze všech hodnot z nějakého malého okolí bodu x0.
Naopak, je-li druhá derivace záporná v x0, je první derivace klesající,
tedy záporná vlevo od x0 a kladná vpravo. Funkce f bude tedy mít
v bodě x0 maximální hodnotu ze všech hodnot na nějakém okolí.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Extrémy funkce
Funkce diferencovatelná na (a, b) a spojitá na [a, b] má jistě na
tomto intervalu absolutní maximum a minimum. Může ho
dosáhnout pouze buď na hranici nebo v bodě s nulovou derivací, tj.
v kritickém bodě. Pro diskusi extrémů nám tedy mohou stačit
kritické body a druhé derivace pomůžou určit typy extrémů, pokud
jsou nenulové. Pro přesnější diskusi ale potřebujeme lepší než
lineární aproximace zkoumaných funkcí. Proto se nejprve budeme
věnovat úvahám v tomto směru a teprve poté se vrátíme k diskusi
průběhu funkcí.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Plán přednášky
1 Derivace vyšších řádů
2 Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
3 Průběh funkcí
4 Diferenciál funkce
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Jako překvapivě jednoduché využití Rolleovy věty teď odvodíme
mimořádně důležitý výsledek. Říkává se mu Taylorův rozvoj se
zbytkem.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Jako překvapivě jednoduché využití Rolleovy věty teď odvodíme
mimořádně důležitý výsledek. Říkává se mu Taylorův rozvoj se
zbytkem.
Intuitivně se k němu můžeme dostat obrácením našich úvah kolem
mocninných řad. Máme-li totiž mocninnou řadu
S(x) = ∞
n=0 an(x − a)n a derivujeme-li ji opakovaně, dostáváme
mocninné řady (víme, že je možné takový výraz derivovat člen po
členu, i když jsme to ještě nedokázali)
S(k)
(x) =
∞
n=k
n(n − 1) . . . (n − k + 1)an(x − a)n−k
.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Jako překvapivě jednoduché využití Rolleovy věty teď odvodíme
mimořádně důležitý výsledek. Říkává se mu Taylorův rozvoj se
zbytkem.
Intuitivně se k němu můžeme dostat obrácením našich úvah kolem
mocninných řad. Máme-li totiž mocninnou řadu
S(x) = ∞
n=0 an(x − a)n a derivujeme-li ji opakovaně, dostáváme
mocninné řady (víme, že je možné takový výraz derivovat člen po
členu, i když jsme to ještě nedokázali)
S(k)
(x) =
∞
n=k
n(n − 1) . . . (n − k + 1)an(x − a)n−k
.
V bodě x = a je S(k)(a) = k!ak. Můžeme tedy naopak číst poslední
tvrzení jako rovnici pro ak a původní řadu přepsat jako
S(x) =
∞
n=0
1
n!
S(n)
(a)(x − a)n
.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Jestliže místo mocninné řady máme nějakou dostatečně hladkou
funkci f (x), je tedy na místě se ptát, zda ji můžeme vyjádřit jako
mocninnou řadu a jak rychle budou konvergovat částečné součty
(tj. přiblížení funkce f polynomy). Naše úvaha právě naznačila, že
můžeme očekávat v okolí bodu a dobrou aproximaxi polynomy, tzv.
Taylorovými polynomy k–tého řádu:
Pkf (x) = f (a)+f (a)(x−a)+
1
2
f (a)(x−a)2
+· · ·+
1
k!
f (k)
(a)(x−a)k
.
Přesná odpověď vypadá podobně jako věta o střední hodnotě, jen
pracujeme s vyššími stupni plynomů (tzv. Taylorův rozvoj se
zbytkem).
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Theorem
Nechť je f (x) funkce k–krát diferencovatelná na intervalu (a, b) a
spojitá na [a, b]. Pak pro každé x ∈ (a, b) existuje číslo c ∈ (a, x)
takové, že
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + · · · +
1
(k − 1)!
f (k−1)
(a)(x − a)k−1
+
1
k!
f (k)
(c)(x − a)k
= Pk−1f (x) +
1
k!
f (k)
(c)(x − a)k
.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Pokud tedy umíme odhadnout velikost k–té derivace na celém
intervalu, dostaneme přímo odhady chyb. Speciálním případem je
samozřejme věta o střední hodnotě coby aproximace řádu nula.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Pokud tedy umíme odhadnout velikost k–té derivace na celém
intervalu, dostaneme přímo odhady chyb. Speciálním případem je
samozřejme věta o střední hodnotě coby aproximace řádu nula.
Iterováním derivace funkce sin x dostaneme vždy buď sinus nebo
cosinus s nějakým znaménkem, ale v absolutní hodnotě budou
hodnoty vždy nejvýše jedna. Dostáváme tedy přímý odhad rychlosti
konvergence mocninné řady
| sin x − (Pk sin)(x)| ≤
|x|k+1
(k + 1)!
.
Vidíme tedy, že pro x výrazně menší než k bude chyba malá, pro x
srovnatelné s k nebo větší ale bude obrovská.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Theorem (Taylorova věta)
Předpokládejme, že funkce f (x) je na intervalu (a − b, a + b)
hladká a že všechny její derivace jsou zde omezeny stejnoměrně
konstantou M > 0, tj.
|f (k)
(x)| ≤ M, k = 0, 1, . . . , x ∈ (a − b, a + b).
Pak mocninná řada S(x) = ∞
n=0
1
n! f (n)(a)(x − a)n konverguje na
intervalu (a − b, a + b) k funkci f (x).
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Theorem (Taylorova věta)
Předpokládejme, že funkce f (x) je na intervalu (a − b, a + b)
hladká a že všechny její derivace jsou zde omezeny stejnoměrně
konstantou M > 0, tj.
|f (k)
(x)| ≤ M, k = 0, 1, . . . , x ∈ (a − b, a + b).
Pak mocninná řada S(x) = ∞
n=0
1
n! f (n)(a)(x − a)n konverguje na
intervalu (a − b, a + b) k funkci f (x).
Důkaz.
Důkaz je shodný s úvahou v konkrétním případě fukce cos x.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Je-li f v bodě a hladká, pak můžeme napsat formálně mocninnou
řadu
S(x) =
∞
n=0
1
k!
f (k)
(a)(x − a)n
.
Taylorova věta nám říká, že pokud tato mocninná řada má nenulový
poloměr konvergence, pak je S(x) = f (x) na příslušném intervalu.
Takovým funkcím říkáme analytické funkce v bodě a. Funkce je
analytická na intervalu, je-li analytická v každém jeho bodě.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Je-li f v bodě a hladká, pak můžeme napsat formálně mocninnou
řadu
S(x) =
∞
n=0
1
k!
f (k)
(a)(x − a)n
.
Taylorova věta nám říká, že pokud tato mocninná řada má nenulový
poloměr konvergence, pak je S(x) = f (x) na příslušném intervalu.
Takovým funkcím říkáme analytické funkce v bodě a. Funkce je
analytická na intervalu, je-li analytická v každém jeho bodě.
Ne všechny hladké funkce jsou ale analytické. Ve skutečnosti lze
dokázat, že pro každou posloupnost čísel an umíme najít hladkou
funkci, jejiž derivace řádů k budou tato čísla ak.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si
funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude
kromě tohoto bodu nenulová:
f (x) = e−1/x2
.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si
funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude
kromě tohoto bodu nenulová:
f (x) = e−1/x2
.
Je dobře definovaná hladká funkce pro všechny body x = 0.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si
funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude
kromě tohoto bodu nenulová:
f (x) = e−1/x2
.
Je dobře definovaná hladká funkce pro všechny body x = 0.
Derivací dostaneme f (x) = f (x) · 2x−3 a iterovanou derivací
dostaneme součet konečně mnoha členů tvaru C · f (x) · x−k, kde C
je nějaké celé číslo a k je přirozené číslo. Pro takové výrazy lze
opakovanou aplikací L’Hospitalova pravidla zjistit, že jdou limitně k
nule, při x jdoucím k nule. Dodefinujeme-li tedy hodnoty všech
derivací naší funkce v nule rovnicí
f (k)
= 0,
získáme hladkou funkci na celém R. Je vidět, že skutečně jde o
nenulovou funkci všude mimo x = 0, všechny její derivace v tomto
bodě jsou ale nulové. Samozřejmě to tedy není analytická funkce v
bodě x0 = 0.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Snadno teď můžeme naši funkci modifikovat takto:
g(x) =
0 je-li x ≤ 0
e−1/x2
je-li x > 0
.
Opět jde o hladkou funkci na celém R. Další úpravou můžeme
získat funkci nenulovou ve všech vnitřních bodech intervalu [−a, a],
a > 0 a nulovou jinde:
h(x) =
0 je-li |x| ≥ a
e
1
x2−a2 + 1
a2
je-li |x| < a.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Tyto funkce je hladké na celém R. Poslední dvě funkce jsou na
obrázcích, vpravo je použit parametr a = 1.
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
43210 0-0,2-0,4
1
x
0,8
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Nakonec ještě ukážeme, jak lze dostat hladké analogie
Heavisideových funkcí. Pro dvě pevně zvolená reálná čísla a < b
definujeme funkci f (x) s použitím výše definované funkce g takto:
f (x) =
g(x − a)
g(x − a) + g(b − x)
.
Zjevně je pro každé x ∈ R jmenovatel zlomku kladný (pro každý z
intervalů určených čísly a a b je totiž alespoň jeden ze sčítanců
jmenovatele nenulový a tedy je celý jmenovatel kladný). Dostáváme
z našeho definičního vztahu proto hladkou funkci f (x) na celém R.
Při x ≤ a je přitom jmenovatel zlomku přímo dle definice funkce g
nulový, při x ≥ b je čitatel i jmenovatel stejný.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Na dalších dvou obrázcích jsou právě funkce f (x) a to s parametry
a = 1 − α, b = 1 + α, kde nalevo je α = 0.8 a napravo α = 0.4.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
x
21,510,50
alpha=.8
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
x
21,510,50
alpha=.40000
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Plán přednášky
1 Derivace vyšších řádů
2 Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
3 Průběh funkcí
4 Diferenciál funkce
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Budeme v dalším uvažovat funkce s dostatečným počtem spojitých
derivací, aniž bychom tento předpoklad přímo uváděli.
Řekneme, že bod a v definičním oboru funkce f je kritický bod
řádu k, jestliže platí f (a) = · · · = f (k)(a) = 0, f (k+1)(a) = 0.
Předpokládejme, že f (k+1)(a) > 0. Pak je tato spojitá derivace
kladná i na jistém okolí O(a) bodu a. Taylorův rozvoj se zbytkem
nám v takovém případě dává pro všechna x z O(a)
f (x) = f (a) +
1
(k + 1)!
f (k+1)
(c)(x − a)k+1
.
Je proto změna hodnot f (x) v okolí bodu a dána chováním funkce
(x − a)k+1.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Budeme v dalším uvažovat funkce s dostatečným počtem spojitých
derivací, aniž bychom tento předpoklad přímo uváděli.
Řekneme, že bod a v definičním oboru funkce f je kritický bod
řádu k, jestliže platí f (a) = · · · = f (k)(a) = 0, f (k+1)(a) = 0.
Předpokládejme, že f (k+1)(a) > 0. Pak je tato spojitá derivace
kladná i na jistém okolí O(a) bodu a. Taylorův rozvoj se zbytkem
nám v takovém případě dává pro všechna x z O(a)
f (x) = f (a) +
1
(k + 1)!
f (k+1)
(c)(x − a)k+1
.
Je proto změna hodnot f (x) v okolí bodu a dána chováním funkce
(x − a)k+1.
Je-li k + 1 sudé číslo, jsou hodnoty f (x) v takovém okolí větší než
hodnota f (a) — bod a bodem lokálního minima.
Pokud je k sudé číslo, pak jsou hodnoty vlevo menší a vpravo větší
než než f (a), extrém tedy ani lokálně nenastává. Zato graf funkce
f (x) protíná svoji tečnu y = f (a) bodem [a, f (a)].
Naopak, je-li f (k+1)(a) < 0, pak ze stejného důvodu jde o lokální
maximum při lichém k a extrém opět nenastává pro k sudé.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Funkce f je v bodě a konkávní, jestliže se její graf nachází v jistém
okolí celý pod tečnou v bodě [a, f (a)], tj. požadujeme
f (x) ≤ f (a) + f (a)(x − a).
Říkáme, že funkce f je konvexní v bodě a, jetliže naopak je její
graf nad tečnou v bodě a, tj.
f (x) ≥ f (a) + f (a)(x − a).
Funkce je konvexní nebo konkávní na intervalu, jestliže má tuto
vlastnost v každém jeho bodě.
Má-li funkce f spojité druhé derivace v okolí bodu a, z Taylorova
rozvoje druhého řádu se zbytkem
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) +
1
2
f (c)(x − a)2
.
Proto je zjevně funkce konvexní, kdykoliv je f (a) > 0, a je
konkávní, kdykoliv f (a) < 0.
Pokud je druhá derivace nulová, můžeme (opatrně) použít derivace
vyšších řádů.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Bod a nazýváme inflexní bod diferencovatelné funkce f , jestliže
graf funkce f přechází z jedné strany tečny na druhou.
Předpokládejme, že f má spojité třetí derivace a napišme si
Taylorův rozvoj třetího řádu se zbytkem:
f (x)=f (a)+f (a)(x−a)+
1
2
f (a)(x−a)2
+
1
6
f (c)(x−a)3
.
Je-li a nulový bod druhé derivace takový, že f (a) = 0, pak je třetí
derivace nenulová i na nějakém okolí a jde proto zjevně o inflexní
bod. Znaménko třetí derivace nám v takovém případě určuje, zda
graf funkce přechází tečnu zdola nahoru nebo naopak.
Pokud je bod a navíc izolovaným nulovým bodem druhé derivace a
zároveň inflexním bodem, pak zjevně je na nějakém malém okolí
bodu a funkce na jedné straně konkávní a na druhé konvexní.
Inflexní body tedy můžeme také vnímat jako body přechodu mezi
konkávním a konvexním chováním grafu funkce.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Asymptotou funkce f v nevlastním bodě ∞ je taková přímka
y = ax + b, pro kterou je
lim
x→∞
(f (x) − ax − b) = 0.
Říkáme jí také asymptota se směrnicí. Pokud taková asymptota
existuje, platí
lim
x→∞
(f (x) − ax) = b
a tedy existuje i limita
lim
x→∞
f (x)
x
= a.
Pokud ovšem existují poslední dvě limity, existuje i limita z definice
asymptoty, jde proto i o podmínky dostatečné. Obdobně v −∞.
Zbývají nám případné přímky kolmé na osu x: Asymptoty v bodech
a ∈ R jsou přímky x = a takové, že funkce f má v bodě a alespoň
jednu jednostrannou limitu nekonečnou. Hovoříme tako o
asymptotách bez směrnice.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Plán přednášky
1 Derivace vyšších řádů
2 Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
3 Průběh funkcí
4 Diferenciál funkce
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Závislostmi mezi různými veličinami, řekněme y a x, často nejsou
dány pevně. Explicitní vztah y = f (x) s nějakou funkcí f je tedy jen
jednou z možností. Derivování pak vyjadřuje, že okamžitá změna
y = f (x) je úměrná okamžité změně x a to s úměrou
f (x) = df
dx (x). Tento vztah pak píšeme
df (x) =
df
dx
(x)dx,
kde df (x) interpretujeme jako lineární zobrazení přírůstků dané
df (x)(∆x) = f (x) · ∆x, zatímco dx(x)(∆x) = ∆x.
Hovoříme o diferenciálu funkce f pokud platí aproximační
vlastnost
lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x) − df (x)(∆x)
∆x
= 0
Z Taylorovy věty tedy vyplývá, že funkce s ohraničenou derivací f
má diferenciál df . To zejména v bodě x nastane, když je v něm
první derivace f (x) existuje a je spojitá.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Pokud je veličina x vyjádřena pomocí další veličiny t, tj. x = g(t),
a to opět funkcí se spojitou první derivací, pak pravidlo o derivaci
složené funkce říká, že i složená funkce f ◦ g má opět diferenciál
df (t) =
df
dx
(x)
dx
dt
(t)dt.
Můžeme proto vnímat df jako lineární přiblížení dané veličiny
v závislosti na přírustcích závislé proměnné, ať už je tato závislost
dána jakkoliv.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Křivost grafu funkce
Graf hladké funkce f (x) teď budeme diskutovat jako zvláštní případ
parametrizované křivky v rovině. Můžeme si ji představit jako
pohyb v rovině parametrizovaný pomocí nezávislé proměnné x. Pro
libovolný bod x z definičního oboru naší funkce můžeme okamžitě
výpočtem první derivace vidět vektor (1, f (x)) ∈ R2, který
představuje okamžitou rychlost takového pohybu. Tečna bodem
[x, f (x)] parametrizovaná pomocí tohoto směrového vektoru pak
představuje lineární přiblížení křivky.
Viděli jsme už také, že v případě, že f (x) = 0 a zároveň
f (x) = 0, přechází graf naší funkce přes svoji tečnu, tzn. že tečna
je i nejlepším přiblížením křivky v bodě x i do druhého řádu. To
zpravidla popisujeme tvrzením, že má graf funkce f v bodě x
nulovou křivost.
Derivace vyšších řádů Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce Průběh funkcí Diferenciál funkce
Tečnu grafu v pevném bodě P = [x, f (x)] jsme dostali pomocí
limity sečen, tj. přímek procházejícími body P a
Q = [x + ∆x, f (x + ∆x)]. Chceme-li přiblížit druhou derivaci,
budeme body P a Q = P prokládat kružnicí CQ, jejíž střed je na
průsečíku kolmic na tečny, vztyčených v bodech P a Q.
Pro poloměr této tzv. oskulační kružnice platí
ρ =
ds
dα
=
ds
dx
dx
dα
=
(1 + (f )2)3/2
f
.