Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Matematika II – 7. týden
Integrální počet – pokračování
Jan Slovák
Masarykova univerzita
1. 4. – 4.4. 2013
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Obsah přednášky
1 Nevlastní a nekonečné integrály
2 Příklady užití integrálu
3 Přírůstky v ZOO
4 Integrální kritérium konvergence
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Doporučené čtení z učebnice
Teorie:
Základní čtení: odst. 6.30 – 6.36
Rozšiřující čtení: —
Úlohy:
Výběr z úloh 6.66 – 6.82.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Uvažme integraci racionálně lomené funkce
f (x) =
4 − x
(x + 1)(x − 2)2
.
Rozkladem na parciální zlomky
f (x)dx =
5
9(x + 1)
dx −
5x − 16
9(x − 2)2
dx
kde oba integrály už umíme přímo spočíst (coby primitivní funkce).
Jak ale s určitými integrály, když integrační meze zahrnují
singularitu f ?
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Integrovaná funkce na intervalu [0, 3] je „tlustý“ neohraničený sloup
(načrtněte si) kolem hodnoty x = 2 a dá se tušit, že to povede k
nekonečné ploše pod grafem na zvoleném intervalu.
Protože není integrovaná funkce ani spojitá ani omezená, nebude
existovat její Riemannův integrál a nemusí platit námi odvozené
výsledky. Hovoříme o „nevlastním integrálu“.
Jednoduchým východiskem je diskutovat v takovém případě určité
integrály na menších intervalech s hranicí blížící se problematickému
bodu a zkoumat, zda existuje limitní hodnota takovýchto určitých
integrálů. Pokud existuje, řekneme, že příslušný nevlastní
integrál existuje a je roven této limitě.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Uvedeme postup na jednoduchém příkladě:
I =
2
0
dx
4
√
2 − x
je nevlastní integrál, protože je má funkce f (x) = (2 − x)−1/4 v
bodě b = 2 limitu zleva rovnou ∞. V ostatních bodech je
integrovaná funkce spojitá. Zajímáme se proto o integrály
Iδ =
2−δ
0
dx
4
√
2 − x
=
2
δ
y−1/4
dy = −
4
3
y3/4
2
δ
=
4
3
23/4
−
4
3
δ3/4
.
Všimněme si, že jsme ve výpočtu substitucí dostali integrál s
přepočtenou horní mezí δ a dolní mezí 2. Otočením mezí do
obvyklé polohy jsme do výrazu přidali jedno znaménko − navíc.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Limita pro δ → 0 zprava zjevně existuje a spočítali jsme tedy
nevlastní určitý integrál
I =
2
0
dx
4
√
2 − x
=
4
3
23/4
.
Stejně budeme postupovat, pokud je zadáno integrování přes
neohraničený interval. Hovoříme o nekonečných integrálech.
Obecně tedy např. pro a ∈ R
I =
∞
a
f (x) dx = lim
b→∞
b
a
f (x) dx,
pokud limita vpravo existuje. Obdobně můžeme mít horní mez
integrování konečnou a druhou nekonečnou.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Pokud jsou nekonečné obě meze, počítáme integrál jako součet
dvou integrálů s libovolně pevně zvolenou pevnou mezí uprostřed,
tj.
∞
−∞
f (x) dx =
a
−∞
f (x) dx +
∞
a
f (x) dx
Existence ani hodnota nezávisí na volbě takové meze, protože její
změnou pouze o stejnou konečnou hodnotu měníme oba sčítance,
ovšem s opačným znaménkem. Naopak limita při které by stejně
rychle šla horní i dolní mez do ±∞ může vést k odlišným
výsledkům! Např.
a
−a
x dx = [
1
2
x2
]a
−a = 0,
přestože hodnoty integrálů
∞
a x dx s jednou pevnou mezí utečou
rychle k nekončených hodnotám.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Ukažme si opět výpočet nekonečného integrálu na příkladě (jeden z
typů parciálních zlomků, integrál vyřešíme snadno substitucí
x2 + a2 = t, 2x dx = dt)
∞
0
x
(x2 + a2)2
dx = lim
b→∞
−1
2(x2 + a2)
b
0
= lim
b→∞
−
1
2b2 + 2a2
+
1
2a2
=
Při výpočtu určitého integrálu z racionální funkce lomené musíme
tedy pečlivě rozdělit zadaný interval podle bodů nespojitosti
integrované funkce a spočítat jednotlivé nevlastní integrály každý
zvlášť. Navíc je nutné rozdělit celý interval tak, abychom vždy
integrovali funkci neohraničenou pouze v okolí jednoho z krajních
bodů.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Sama definice Riemanova integrálu byla odvozena od představy
velikosti plochy v rovině se souřadnicemi x a y ohraničené osou x,
hodnotami funkce y = f (x) a hraničními přímkami x = a, x = b.
Přitom je plocha nad osou x dána s kladným znaménkem zatímco
hodnoty pod osou vedou ke znaménku zápornému.
Ve skutečnosti víme pouze, co je to plocha rovnoběžnostěnu
určeného dvěma vektory, obecněji ve vektorovém prostoru Rn víme,
co je to objem rovnoběžnostěnu. Plochy jiných podmnožin je teprve
třeba definovat. Pro některé jednoduché objekty jako třeba
mnohoúhelníky je definice dána přirozeně předpokládanými
vlastnostmi.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Námi vybudovaný koncept Riemannova integrálu je možné zatím
přímo použít pouze k měření „objemu“ jednorozměrných
podmnožin.
O podmnožině A ⊂ R řekneme, že je (Riemannovsky) měřitelná,
jestliže je funkce χ : R → R
χA(x) =
1 jestliže je x ∈ A
0 jestliže je x /∈ A
Riemannovsky integrovatelná, tj. existuje integrál (ať už s konečnou
nebo nekonečnou hodnotou)
m(A) =
∞
∞
χA(x) dx.
Funkci χA říkáme charakteristická funkce množiny A.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Všimněme si, že pro interval A = [a, b] jde o velikost spočtenou
takto:
∞
∞
χA(x) dx =
b
a
dx = b − a,
přesně jak jsme očekávali.
Zároveň má takováto definice „velikosti“ očekávanou vlastnost, že
míra sjednocení dvou Riemannovsky měřitelných disjunktních
množin vyjde jako součet.
Pokud ale vezmeme spočetné sjednocení, taková vlastnost již
neplatí. Např. stačí vzít množinu Q všech racionálních čísel jakožto
sjednocení jednoprvkových podmnožin. Zatímco každá množina o
konečně mnoha bodech má podle naší definice míru nulovou,
charakteristická funkce χQ není Riemannovsky integrovatelná.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Pro definici plochy (objemu) ve vícerozměrných prostorech budeme
umět použít koncept Riemannova integrálu, až jej zobecníme do
vícerozměrného případu. Již nyní ale můžeme počítat objemy v
případech, které lze snadno převést na jednorozměrnou integraci.
Začneme s ještě jednodušším použitím:
Střední hodnota funkce f (x) na intervalu (konečném nebo
nekonečném) [a, b] je definována výrazem
m =
1
b − a
b
a
f (x) dx.
Z definice je m výška obdélníka (s orientací podle znaménka) nad
intervalem [a, b], který má stejnou plochu jako je plocha mezi osou
x a grafem funkce f (x).
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Námi vybudovaný integrál jde také dobře použít pro výpočet délky
křivky ve vícerozměrném vektorovém prostoru Rn. Pro
jednoduchost si to předvedeme na případu křivky v rovině R2 se
souřadnicemi x, y. Mějme tedy parametrický popis křivky
F : R → R2,
F(t) = [g(t), f (t)]
a představme si ji jako dráhu pohybu.
Derivací tohoto zobrazení dostaneme hodnoty, které budou
odpovídat rychlosti pohybu po takovéto dráze. Proto celková délka
křivky (tj. dráha uražená za dobu mezi hodnotami t = a, t = b)
bude dána integrálem přes interval [a, b], kde integrovanou funkcí
h(t) budou právě velikosti vektorů F (t).
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Chceme tedy spočíst délku s rovnou
s =
b
a
h(t) dt =
b
a
(f (t))2 + (g (t))2 dt.
Ve speciálním případě, kdy křivka je grafem funkce y = f (x) mezi
body a < b obdžíme pro její délku
s =
b
a
1 + (f (x))2 dx
Tentýž výsledek lze intuitivně vidět jako důsledek Pythagorovy věty:
pro lineární přírůstek délky křivky ∆s odpovídající přírůstku ∆x
proměnné x spočteme totiž právě
∆s = ∆x2 + ∆y2
a to při pohledu přímo na naši definici integrálu znamená
s =
b
a
1 +
dy
dx
2
dx.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Jako snadný příklad spočteme délku jednotkové kružnice jako
dvojnásobek integrálu funkce y =
√
1 − x2 v mezích [−1, 1]. Víme
již, že musí vyjít číslo 2π, protože jsme takto číslo π definovali.
s = 2
1
−1
1 + (y )2 dx = 2
1
−1
1 +
x2
1 − x2
dx
= 2
1
−1
1
√
1 − x2
dx = 2[arcsin x]1
−1 = 2π.
Jestliže v předchozím výpočtu budeme počítat s
y =
√
r2 − x2 = r 1 − (x/r)2 a meze budou [−r, r], dostaneme
substitucí x = rt déku kružnice o poloměru r:
s(r) = 2
r
−r
1 +
(x/r)2
1 − (x/r)2
dx = 2
1
−1
r
√
1 − t2
dt = 2r[arcsin x]1
−1,
tj. 2πr. Zejména je skutečně délka kružnice lineárně závislá na jejím
poloměru.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Podobně plochu takové kružnice spočteme substitucí x = r sin t,
dx = r cos t dt (s využitím výsledku pro I2 z minulé přednášky)
a(r) = 2
r
−r
r2 − x2 dx
= 2r2
π/2
−π/2
cos2
t dt
=
2r2
2
[cos t sin t + t]
π/2
−π/2
= πr2
.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Další obdobou téhož principu je výpočet povrchu nebo objemu
rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f
kolem osy x v intervalu [a, b], vzniká při přírůstku ∆x nárůst plochy
o násobek ∆s délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti
kružnice o poloměru f (x). Plocha se proto spočte formulí
A(f ) = 2π
b
a
f (x) ds = 2π
b
a
f (x) 1 + (f (x))2 dx,
kde ds = dx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f (x).
Objem stejného tělesa naroste při změně ∆x o násobek tohoto
přírůstku a plochy kružnice o poloměru f (x). Proto je dán formulí
V (f ) = π
b
a
(f (x))2
dx.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Jako příklad užití posledních dvou vzorců odvodíme známé formule
pro plochu sféry a objem koule.
Ar = 2π
r
−r
r 1 − (x/r)2
1
1 − (x/r)2
dt = 2πr
r
−r
dt = 4πr2
Vr = π
r
−r
r2
− x2
dx = 2rπr2
− π
1
3
x3
r
−r
=
4
3
πr3
.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Kdy lze najít neurčitý integrál pomocí výrazů složených ze známých
elementárních funkcí?
Drtivá většina spojitých funkcí vede na integrály, které tak vyjádřit
neumíme.
Protože se integrací získané funkce velice často v praxi vyskytují,
mnohé mají jména a před nástupem počítačů byly pro potřeby
inženýrů vydávány obsáhlé tabulky hodnot takových funkcí.
Uvedeme si nyní aspoň nějaké příklady.
V metodách pro zpracování signálu je velice důležitá funkce
sinc(x) =
sin(x)
x
.
Docela přímočaře, byť pracně, lze ověřit, že jde o hladkou funkci s
limitními hodnotami
f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = −
2
3
.
Je tedy okamžitě vidět, že tato sudá funkce bude mít v bodě x = 0
absolutní maximum a s narůstající absolutní hodnotou x se bude
vlnit se stále se zmenšující amplitudou.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Funkce Sinusintegrál je definovaná vztahem
Si(x) =
x
0
sinc(t) dt.
Důležité jsou také Fresnelovy sinové a kosinové integrály
FresnelS(x) =
x
0
sin 1
2πt2
dt
FresnelC(x) =
x
0
cos 1
2 πt2
dt.
Na levém obrázku je průběh funkce Si(x), na pravém vidíme obě
Fresnelovy funkce.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Nové typy funkcí dostáváme také, když do integrovaného výrazu
povolíme volný parametr, na kterém pak výsledek závisí. Příkladem
může být jedna z nejdůležitějších funkcí v matematice vůbec — tzv.
Gamma funkce. Je definovaná vztahem
Γ(z) =
∞
0
e−t
tz−1
dt.
Lze ukázat, že tato funkce je analytická ve všech bodech z /∈ Z a
pro malá z ∈ N můžeme počítat:
Γ(1) =
∞
0
e−t
t0
dt = [− e−t
]∞
0 = 1
Γ(2) =
∞
0
e−t
t1
dt = [− e−t
t]∞
0 +
∞
0
e−t
dt = 0 + 1 = 1
Γ(3) =
∞
0
e−t
t2
dt = 0 + 2
∞
0
e−t
tdt = 0 + 2 = 2
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
omocí indukce snadno dovodíme, že pro všechna kladná celá čísla n
dává tato funkce hodnotu faktoriálu:
Γ(n) = (n − 1)!
Následující obrázek ukazuje v logaritmickém měřítku závislé
proměnné průběh funkce f (x) = ln(Γ(x)). Vidíme z něj tedy, jak
rychle skutečně roste faktoriál.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Pomocí nevlastního integrálu také umíme rozhodnout o konvegenci
některých nekonečných řad:
Theorem (Integrální kriterium konvergence řad)
Buď ∞
n=1 f (n) řada taková, že funkce f : R → R je kladná a
nerostoucí na intervalu 1, ∞). Pak tato řada konverguje právě
tehdy, když konverguje intergrál
∞
1
f (x) dx.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Důkaz.
Pokud interpretujeme integrál, jako plochu pod křivkou, je
kriterium názorně vidět.
Pokud daná řada diverguje, pak diverguje i řada ∞
n=2 f (n). Pro
libovolné k ∈ N máme pro k-tý částečný součet sk (řady bez
prvního členu) nerovnost
sk =
k
n=2
f (n) <
k
1
f (x) dx,
neboť sk je dolním součtem Riemannova integrálu
k
1 f (x) dx. Pak
ale je
∞
1
f (x) dx = lim
k→∞
k
1
f (x) dx > lim
k→∞
sk = ∞,
a uvažovaný integrál diverguje.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
pokračování.
Předpokládeme nyní, že daný integrál konverguje a označme k-tý
částečný součet dané řady jako sk. Potom máme nerovnosti
∞
1
f (x) dx = lim
k→∞
k
1
f (x) dx < lim
k→∞
sk < ∞,
neboť sk je horním součtem Riemannova integrálu
k
1 f (x) dx a
předpokádáme, že daná řada konverguje.
Nevlastní a nekonečné integrály Příklady užití integrálu Přírůstky v ZOO Integrální kritérium konvergence
Jako příklad použití rozhodněme, pro jaká k konverguje řada
Rk =
∞
n=1
1
nk
.
Všimněme si nejprve, že neumíme o konvergenci rozhodnout na
základě podílového či odmocninového kriteria (obě limity
lim
n→∞
|an+1
an
| i lim
n→∞
n
√
an jsou rovny 1).
Pomocí integrálního kriteria pro konvergenci řad dostáváme pro
k = 1:
∞
1
1
xk
dx = lim
δ→∞
(1 − k)x1−k
δ
1
=
k − 1 k > 1
∞ k < 1
a daná řada tedy konverguje pro všechna k > 1 a diverguje pro
k < 1. V případě k = 1 je primitivní funkcí logaritmus a integrál i
řada opět divergují.