Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Matematika IV – 6. týden
Symetrie rovinných obrazců a elementární teorie
grup
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
25. 3. - 29. 3. 2013
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Grupy a grupoidy
3 Symetrie „logotypů“ a „dláždění“
4 Homomorfismy grup
5 Rozklady a faktorgrupy
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Grupy a grupoidy
3 Symetrie „logotypů“ a „dláždění“
4 Homomorfismy grup
5 Rozklady a faktorgrupy
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Kde je dobré číst?
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Kapitola 11 nové učebnice (bude průběžně doplňěna)
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Grupy a grupoidy
3 Symetrie „logotypů“ a „dláždění“
4 Homomorfismy grup
5 Rozklady a faktorgrupy
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Chceme abstraktně pracovat s objekty a se situacemi, ve kterých je
možné rovnice
a · x = b
vždy jednoznačně řešit (tak jako u lineárních rovnic jsou objekty a a
b jsou dány, zatímco x hledáme).
Jde o tzv. teorii grup. Všimněme si, že zatím nic nevíme o povaze
objektů, ani co znamená ta „tečka“ v rovnici.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Chceme abstraktně pracovat s objekty a se situacemi, ve kterých je
možné rovnice
a · x = b
vždy jednoznačně řešit (tak jako u lineárních rovnic jsou objekty a a
b jsou dány, zatímco x hledáme).
Jde o tzv. teorii grup. Všimněme si, že zatím nic nevíme o povaze
objektů, ani co znamená ta „tečka“ v rovnici.
Nejprve projdeme příklady, ve kterých se s takovými objekty
potkáváme, poté si zavedeme malý slovníček pojmů.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
1 Přirozená čísla N = {0, 1, 2, . . . }, spolu s kteroukoliv z operací
sčítání a násobení jsou asociativní a komutativní pologrupa s
jednotkou, neexistují v ní ale inverzní prvky.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
1 Přirozená čísla N = {0, 1, 2, . . . }, spolu s kteroukoliv z operací
sčítání a násobení jsou asociativní a komutativní pologrupa s
jednotkou, neexistují v ní ale inverzní prvky.
2 Celá čísla Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } jsou grupoid vůči
kterékoliv z operací sčítání, odčítání, násobení. Jsou dokonce
komutativní grupou vzhledem ke sčítání, jsou však jen
komutativní pologrupou vůči násobení (neexistují inverze k
prvkům a = ±1). Operace odčítání není ani asociativní (např.
(5 − 3) − 2 = 0 = 5 − (3 − 2) = 4). Všimněte si také, že pro
odečítání je nula pravý neutrální prvek, ne však levý. Dokonce
v tomto případě levý neutrální prvek neexistuje.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
1 Přirozená čísla N = {0, 1, 2, . . . }, spolu s kteroukoliv z operací
sčítání a násobení jsou asociativní a komutativní pologrupa s
jednotkou, neexistují v ní ale inverzní prvky.
2 Celá čísla Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } jsou grupoid vůči
kterékoliv z operací sčítání, odčítání, násobení. Jsou dokonce
komutativní grupou vzhledem ke sčítání, jsou však jen
komutativní pologrupou vůči násobení (neexistují inverze k
prvkům a = ±1). Operace odčítání není ani asociativní (např.
(5 − 3) − 2 = 0 = 5 − (3 − 2) = 4). Všimněte si také, že pro
odečítání je nula pravý neutrální prvek, ne však levý. Dokonce
v tomto případě levý neutrální prvek neexistuje.
3 Racionální čísla Q jsou komutativní grupou vzhledem ke
sčítání a nenulová racionální čísla jsou grupou vůči násobení.
Celá čísla spolu se sčítáním jsou jejich podgrupou.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example (pokračování)
1 Pro k ∈ N, množina všech k-tých odmocnin z jedničky, tj.
množina {z ∈ C; zk = 1} je konečná grupa vůči násobení
komplexních čísel. Např. pro k = 2 dostaneme grupu {−1, 1}
se dvěma prvky, které jsou oba samy sobě inverzí, zatímco pro
k = 4 dostáváme grupu G = {1, i, −1, −i}.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example (pokračování)
1 Pro k ∈ N, množina všech k-tých odmocnin z jedničky, tj.
množina {z ∈ C; zk = 1} je konečná grupa vůči násobení
komplexních čísel. Např. pro k = 2 dostaneme grupu {−1, 1}
se dvěma prvky, které jsou oba samy sobě inverzí, zatímco pro
k = 4 dostáváme grupu G = {1, i, −1, −i}.
2 Množina Matn všech čtvercových matic je (nekomutativní)
pologrupa vzhledem k násobení matic a komutativní grupa
vzhledem ke sčítání matic.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example (pokračování)
1 Pro k ∈ N, množina všech k-tých odmocnin z jedničky, tj.
množina {z ∈ C; zk = 1} je konečná grupa vůči násobení
komplexních čísel. Např. pro k = 2 dostaneme grupu {−1, 1}
se dvěma prvky, které jsou oba samy sobě inverzí, zatímco pro
k = 4 dostáváme grupu G = {1, i, −1, −i}.
2 Množina Matn všech čtvercových matic je (nekomutativní)
pologrupa vzhledem k násobení matic a komutativní grupa
vzhledem ke sčítání matic.
3 Množina všech lineárních zobrazení Hom(V , V ) na vektorovém
prostoru je pologrupa vzhledem ke skládání zobrazení a
komutativní grupa vzhledem ke sčítání zobrazení.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example (pokračování)
1 Pro k ∈ N, množina všech k-tých odmocnin z jedničky, tj.
množina {z ∈ C; zk = 1} je konečná grupa vůči násobení
komplexních čísel. Např. pro k = 2 dostaneme grupu {−1, 1}
se dvěma prvky, které jsou oba samy sobě inverzí, zatímco pro
k = 4 dostáváme grupu G = {1, i, −1, −i}.
2 Množina Matn všech čtvercových matic je (nekomutativní)
pologrupa vzhledem k násobení matic a komutativní grupa
vzhledem ke sčítání matic.
3 Množina všech lineárních zobrazení Hom(V , V ) na vektorovém
prostoru je pologrupa vzhledem ke skládání zobrazení a
komutativní grupa vzhledem ke sčítání zobrazení.
4 V obou předchozích příkladech, podmnožina invertibilních
objektů uvažované pologrupy tvoří grupu. V případě matic jde
o tzv. grupu invertibilních matic, ve druhém o grupu lineárních
transformací vektorového prostoru (tj. invertibilních lineárních
zobrazení).
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Definition
Pro libovolnou množinu A:
binární operace na A je zobrazení A × A → A, které budeme
zpravidla značit (a, b) → a · b, množina s binární operací je
grupoid
binární operace je asociativní, jestliže pro všechny prvky v A
platí a · (b · c) = (a · b) · c
binární operace je komutativní, jestliže pro všechny prvky v A
platí a · b = b · a
levá jednotka v A je takový prvek e ∈ A, že pro všechny
prvky v A platí e · a = a; obdobně pro pravou jednotku musí
platit pro všechny prvky a · e = a
jednotka binární operace je prvek e, který je pravou i levou
jednotkou zároveň
pologrupa (A, ·) je grupoid s binární operací, která je
asociativní.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Definition (pokračování)
prvek a−1 je levou inverzí k prvku a v pologrupě (A, ·) s
jednotkou e, jestliže platí a−1 · a = e; obdobně je pravou
inverzí a−1 takový prvek, pro který je a · a−1 = e
prvek a−1 je inverzní k a v pologrupě s jednotkou, jestliže je
levou i pravou inverzí zároveň
grupa (G, ·) je pologrupa s jednotkou, ve které má každý
prvek inverzi
komutativní grupa, resp. komutativní pologrupa, je taková,
kde je operace · komutativní.
Je-li (A, ·) grupa (případně pologrupa), pak její podmnožinu
B ⊂ A, která je uzavřená vůči zúžení operace · a zároveň je
spolu s touto operací grupou, nazýváme podgrupa v (A, ·).
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Zpravidla grupy a pologrupy potkáváme jako množiny zobrazení na
pevně dané množině M, které jsou uzavřeny vůči skládání
zobrazení. Často si ale tuto skutečnost přímo neuvědomujeme.
Na každé konečné množině M, s m = |M| ∈ N prvky máme k
dispozici mm možných definic zobrazení (každý z m prvků můžeme
zobrazit na kterýkoliv v M) a všechna taková zobrazení umíme
skládat.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Zpravidla grupy a pologrupy potkáváme jako množiny zobrazení na
pevně dané množině M, které jsou uzavřeny vůči skládání
zobrazení. Často si ale tuto skutečnost přímo neuvědomujeme.
Na každé konečné množině M, s m = |M| ∈ N prvky máme k
dispozici mm možných definic zobrazení (každý z m prvků můžeme
zobrazit na kterýkoliv v M) a všechna taková zobrazení umíme
skládat.
Pokud chceme, aby existovala k zobrazení α : M → M jeho inverze
α−1, musí být α bijekcí. Složením dvou bijekcí vznikne opět bijekce
a proto podmnožina Σm všech bijekcí na množině M o m prvcích je
grupa. Říkáme jí grupa permutací na m prvcích.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Název grupa permutací přitom uvádí jinou souvislost, kdy místo
bijekcí na konečné množině vnímáme permutace jako přerovnání
rozlišitelných prvků. Potkávali jsme se s ní např. při studiu
determinantů.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Název grupa permutací přitom uvádí jinou souvislost, kdy místo
bijekcí na konečné množině vnímáme permutace jako přerovnání
rozlišitelných prvků. Potkávali jsme se s ní např. při studiu
determinantů.
V grupě permutací Σ3 na číslech {1, 2, 3} si třeba označíme
jednotlivá pořadí
a = (1, 2, 3), b = (2, 3, 1), c = (3, 1, 2),
d = (1, 3, 2), e = (3, 2, 1), f = (2, 1, 3).
Skládání našich permutací je pak zadáno tabulkou
· a b c d e f
a a b c d e f
b b c a f d e
c c a b e f d
d d e f a b c
e e f d c a b
f f d e b c a
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Všimněme si podstatného rozdílu mezi permutacemi a, b a c a
dalšími třemi. Ty první tři tvoří tzv. cyklus generovaný prvkem b
nebo prvkem c:
b2
= c, b3
= a, c2
= b, c3
= a
a samy o sobě jsou tyto tři prvky komutativní podgrupou. V ní a je
jednotka, a b s c jsou vzájemně inverzní. Je tedy tato podgrupa
stejná jako je grupa Z3 zbytkových tříd celých čísel modulo 3, resp.
jako grupa třetích odmocnin z jedničky z jednoho z předchozích
příkladů.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Všimněme si podstatného rozdílu mezi permutacemi a, b a c a
dalšími třemi. Ty první tři tvoří tzv. cyklus generovaný prvkem b
nebo prvkem c:
b2
= c, b3
= a, c2
= b, c3
= a
a samy o sobě jsou tyto tři prvky komutativní podgrupou. V ní a je
jednotka, a b s c jsou vzájemně inverzní. Je tedy tato podgrupa
stejná jako je grupa Z3 zbytkových tříd celých čísel modulo 3, resp.
jako grupa třetích odmocnin z jedničky z jednoho z předchozích
příkladů.
Další tři prvky jsou samy sobě inverzí a každý z nich je tedy
společně s jednotkou a podgrupou stejnou jako je Z2. Říkáme, že b
a c jsou prvky řádu 3, zatímco prvky d, e a f jsou řádu 2.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Obdobně se chovají všechny grupy permutací Σm.
Každá permutace σ rozkládá množinu M na disjunktní sjednocení
maximálních invariantních podmnožin Mx , které dostaneme tak, že
postupně vybíráme dosud nezpracované prvky x ∈ M a do třídy
rozkladu Mx přidáváme všechny akce iterací σk(x), k = 1, 2, . . . ,
dokud není σk(x) = x.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Obdobně se chovají všechny grupy permutací Σm.
Každá permutace σ rozkládá množinu M na disjunktní sjednocení
maximálních invariantních podmnožin Mx , které dostaneme tak, že
postupně vybíráme dosud nezpracované prvky x ∈ M a do třídy
rozkladu Mx přidáváme všechny akce iterací σk(x), k = 1, 2, . . . ,
dokud není σk(x) = x.
Každou permutaci tak dostáváme jako složení jednodušších
permutací, tzv. cyklů, které se chovají jako identická permutace vně
Mx a tak jako σ na Mx .
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Obdobně se chovají všechny grupy permutací Σm.
Každá permutace σ rozkládá množinu M na disjunktní sjednocení
maximálních invariantních podmnožin Mx , které dostaneme tak, že
postupně vybíráme dosud nezpracované prvky x ∈ M a do třídy
rozkladu Mx přidáváme všechny akce iterací σk(x), k = 1, 2, . . . ,
dokud není σk(x) = x.
Každou permutaci tak dostáváme jako složení jednodušších
permutací, tzv. cyklů, které se chovají jako identická permutace vně
Mx a tak jako σ na Mx .
Pokud přitom očíslujeme prvky v Mx jako pořadí (1, 2, . . . , |Mx |)
tak aby i odpovídalo σi (x), pak je naše permutace prostým
posunutím o jednu pozici v cyklu (tj. poslední prvek je zobrazen
zpátky na první). Odtud název cyklus. Zjevně přitom tyto cykly
komutují, takže je jedno, v jakém pořadí z nich permutaci σ
složíme.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Nejjednodušší cykly jsou jednoprvkové pevné body permutace σ.
Dvouprvkové (x, σ(x)), kde σ(σ(x)) = x se nazývají transpozice.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Nejjednodušší cykly jsou jednoprvkové pevné body permutace σ.
Dvouprvkové (x, σ(x)), kde σ(σ(x)) = x se nazývají transpozice.
Každý cyklus zjevně můžeme poskládat z permutací sousedních
prvků (necháme „probublat“ první prvek nakonec) ⇒ každou
permutaci napsat jako složení transpozic sousedních prvků.
Skutečnost, jestli potřebujeme sudý nebo lichý počet permutací je
na našich volbách nezávislá.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Nejjednodušší cykly jsou jednoprvkové pevné body permutace σ.
Dvouprvkové (x, σ(x)), kde σ(σ(x)) = x se nazývají transpozice.
Každý cyklus zjevně můžeme poskládat z permutací sousedních
prvků (necháme „probublat“ první prvek nakonec) ⇒ každou
permutaci napsat jako složení transpozic sousedních prvků.
Skutečnost, jestli potřebujeme sudý nebo lichý počet permutací je
na našich volbách nezávislá.
Máme proto definováno dobře zobrazení sgn : Σm → Z2 = {±1},
tzv. paritu permutace. Dokázali jsme si znovu tvrzení, která jsme
již využívali při studiu determinantů:
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Theorem
Každá permutace konečné množiny je složením cyklů. Cyklus délky
lze vyjádřit jako složení − 1 transpozic. Parita cyklu délky je
(−1) −1. Parita složení permutací je součinem parit jednotlivých z
nich, tzn. že zobrazení sgn převádí složení permutací σ ◦ τ na
součin sgn σ · sgn τ v komutativní grupě Z2.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Grupy a grupoidy
3 Symetrie „logotypů“ a „dláždění“
4 Homomorfismy grup
5 Rozklady a faktorgrupy
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Každé zobrazení roviny do sebe, které zachovává vzdálenosti bodů
je affinní, tj. je složením lineárního a vhodné translace (hezké
cvičení na diferenciální počet – ale teď zjevně offtopic ;-).
Lineární část takového zobrazení přitom musí navíc být ortogonální.
Všechna taková zobrazení tedy tvoří grupu všech ortogonálních
transformací (nebo také euklidovských transformací) v rovině (viz
4. přednáška 1. semestr).
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Každé zobrazení roviny do sebe, které zachovává vzdálenosti bodů
je affinní, tj. je složením lineárního a vhodné translace (hezké
cvičení na diferenciální počet – ale teď zjevně offtopic ;-).
Lineární část takového zobrazení přitom musí navíc být ortogonální.
Všechna taková zobrazení tedy tvoří grupu všech ortogonálních
transformací (nebo také euklidovských transformací) v rovině (viz
4. přednáška 1. semestr).
Všechna taková jsou složením
translací Ta o vektor a
rotací Rϕ o jakýkoliv úhel ϕ kolem počátku
zrcadlení Z vůči jakékoliv přímce procházející počátkem.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Uvažme ohraničený rovinný obrazec, pro začátek úsečku a
rovnostranný trojúhelník. Ptáme se, jak moc jsou symetrické?
3A
B
p
Zp
1
2
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Uvažme ohraničený rovinný obrazec, pro začátek úsečku a
rovnostranný trojúhelník. Ptáme se, jak moc jsou symetrické?
3A
B
p
Zp
1
2
Tzn. vůči kterým trasformacím (zachovávajícím velikost) jsou
invariantní? Všechny symetrie pevně zvoleného útvaru budou vždy
tvořit grupu (většinou pouze s jediným prvkem, identickým
zobrazením).
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
symetrie úsečky
U úsečky je situace obzvlášť jednoduchá – na první pohled je
zřejmé, že jedinými jejími netriviálními symetriemi jsou rotace o π,
zrcadlení vůči ose této úsečky a zrcadlení vůči úsečce samotné a
všechny tyto symetrie jsou samy sobě inverzí. Celá grupa symetrií
úsečky má tedy čtyři prvky. Její tabulka násobení vypadá takto:
· R0 Rπ ZH ZV
R0 R0 Rπ ZH ZV
Rπ Rπ R0 ZV ZH
ZH ZH ZV R0 Rπ
ZV ZV ZH Rπ R0
a je tedy celá tato grupa komutativní.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
symetrie rovnostranného trojúhelníku
Symetrií nacházíme více: můžeme rotovat o π/3 nebo můžeme
zrcadlit vůči osám stran.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
symetrie rovnostranného trojúhelníku
Symetrií nacházíme více: můžeme rotovat o π/3 nebo můžeme
zrcadlit vůči osám stran.
Abychom dostali grupu celou, musíme přidat všechna složení
takovýchto transformací.
Víme, že složení dvou zrcadlení je vždy otočením (4. přednáška 1.
semestru). Složení takových zrcadlení v opačném pořadí dá otočení
o stejný úhel, ale s opačnou orientací. V našem případě tedy
zrcadlení kolem dvou různých os vygenerují postupnou opakovanou
aplikací všechny symetrie, který bude dohromady šest.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Jestliže si umístíme trojúhelník v souřadnicích jako na obrázku,
bude našich šest transformací zadáno maticemi
a =
1 0
0 1
, b =
−1
2
√
3
2
−
√
3
2 −1
2
, c =
−1
2 −
√
3
2√
3
2 −1
2
d =
−1 0
0 1
, e =
1
2 −
√
3
2
−
√
3
2 −1
2
, f =
1
2
√
3
2√
3
2 −1
2
.
Sestavením tabulky pro násobení, tak jak jsme ji udělali pro grupu
permutací Σ3 obdržíme právě stejný výsledek.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Dihedrální grupy
Obdobně umíme nacházet grupy symetrií s k různými rotacemi a k
zrcadleními. Stačí si k tomu vzít pravidelný k-úhelník. Takové grupy
symetrií se často označují jako grupy Dk a říká se jim dihedrální
grupy řádu k.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Dihedrální grupy
Obdobně umíme nacházet grupy symetrií s k různými rotacemi a k
zrcadleními. Stačí si k tomu vzít pravidelný k-úhelník. Takové grupy
symetrií se často označují jako grupy Dk a říká se jim dihedrální
grupy řádu k.
Tyto grupy jsou nekomutativní pro všechny k ≥ 3, zatímco D2 je
komutativní. Název patrně je odvozen od skutečnosti, že D2 je
grupa symetrií molekuly vodíku.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
cyklické grupy
Stejně tak lze snadno najít obrazce, které mají pouze rotační
symetrie a jde tedy o komutativní grupy, které se v chemii značí
jako Ck. Říkáme jim cyklické grupy řádu k. K tomu postačí např.
uvažovat pravidelný mnohoúhelník, u kterého nesymetricky ale
pořád stejně pozměníme chování hran, viz. čerchované rozšíření
trojúhelníku na předchozím obrázku.
Všimněme si, že grupu C2 lze realizovat dvěma způsoby – buď
jedinou netriviální rotací o π nebo jediným zrcadlením.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Klasifikace symetrií
Theorem
Nechť je M ohraničená množina v rovině R2. Pokud má diskrétní
grupu symetrií, pak je buď triviální nebo jedna z grup Ck, Dk, s
k ≥ 1.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Složitější chování lze vypozorovat u rovinných obrazců v pásech
nebo v celé rovině (něco jako možnosti symetrií pro různé dlažby).
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Složitější chování lze vypozorovat u rovinných obrazců v pásech
nebo v celé rovině (něco jako možnosti symetrií pro různé dlažby).
Uvažme množinu M, která je celá obsažena v pásu uzavřeném mezi
dvěma rovnoběžkami. Pro symetrie takové množiny nepřicházejí v
úvahu žádné netriviální rotace, kromě Rπ, a jediná možná zrcadlení
jsou buď podle osy pásu nebo nějaké na pás kolmé přímky.
K dispozici jsou ještě translace podle vektoru rovnoběžného s osou
pásu. Všimněme si, že každá netriviální translace svými iteracemi
zapřičiní, že celá grupa symetrií M bude již nutně nekonečná a dvě
zrcadlení podle různých rovnoběžných přímek budou translací.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Docela jednoduchý je popis všech diskrétních grup symetrií pro
dláždění rovinných pásů. (Obraz libovolného bodu při působení
všemi prvky grupy je diskrétní podmnožinou v rovině.)
Každá taková grupa je generována některými z následujících
symetrií: translace T, posunuté (vertikální) zrcadlení G, vertikální
zrcadlení V , horizontální zrcadlení H a rotace R o úhel π.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Docela jednoduchý je popis všech diskrétních grup symetrií pro
dláždění rovinných pásů. (Obraz libovolného bodu při působení
všemi prvky grupy je diskrétní podmnožinou v rovině.)
Každá taková grupa je generována některými z následujících
symetrií: translace T, posunuté (vertikální) zrcadlení G, vertikální
zrcadlení V , horizontální zrcadlení H a rotace R o úhel π.
Theorem
Těchto grup je sedm typů. Jsou generovány
1 jedinou translací T
2 jediným posunutým zrcadlením G
3 jednou translací T a jedním vertikálním zrcadlením V
4 jednou translací T a jednou rotací R
5 jedním posunutým zrcadlením G a jednou rotací R
6 jednou translací T a horizontálním zrcadlením H
7 jednou translací T, horizontálním zrcadlením H a jedním
vertikálním zrcadlením V
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Složitější je to se symetriemi obrazců, které vyplní celou rovinu.
Všech takových grup symetrií v rovině je pouze sedmnáct.
Říká se jim dvourozměrné krystalografické grupy.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Grupy a grupoidy
3 Symetrie „logotypů“ a „dláždění“
4 Homomorfismy grup
5 Rozklady a faktorgrupy
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
připomenutí:
pologrupa (G, ·) je množina G s binární operací ·
grupa (G, ·) je pologrupa s jednotkou, ve které má každý
prvek inverzi
komutativní grupa, resp. komutativní pologrupa, je taková,
kde je operace · komutativní.
Je-li (A, ·) grupa (případně pologrupa), pak její podmnožinu
B ⊂ A, která je uzavřená vůči zúžení operace · a zároveň je
spolu s touto operací grupou, nazýváme podgrupa v (A, ·).
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Definition
Zobrazení f : G → H mezi dvěmi grupami G a H se nazývá
homomorfismus grup, jestliže respektuje násobení, tj. pro všechny
prvky a, b ∈ G platí
f (a · b) = f (a) · f (b).
Povšimněme si, že násobení vlevo je uvnitř grupy G předtím, než
zobrazujeme, zatímco vpravo jde o násobení v H poté, co
zobrazujeme.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
3 vzorem f −1(K) ⊂ G podgrupy K ⊂ H je podgrupa.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
3 vzorem f −1(K) ⊂ G podgrupy K ⊂ H je podgrupa.
4 obraz inverze k prvku je inverzí obrazu. tj. f (a−1) = f (a)−1.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
3 vzorem f −1(K) ⊂ G podgrupy K ⊂ H je podgrupa.
4 obraz inverze k prvku je inverzí obrazu. tj. f (a−1) = f (a)−1.
5 je-li f zároveň bijekcí, pak i inverzní zobrazení f −1 je
homomorfismus.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
3 vzorem f −1(K) ⊂ G podgrupy K ⊂ H je podgrupa.
4 obraz inverze k prvku je inverzí obrazu. tj. f (a−1) = f (a)−1.
5 je-li f zároveň bijekcí, pak i inverzní zobrazení f −1 je
homomorfismus.
6 f je injektivní zobrazení právě, když f −1(e) = {e}.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Definition
Podgrupa f −1(e) jednotkového prvku e ∈ H se nazývá jádro
homomorfismu f a značíme ji ker f . Bijektivní homomorfismus grup
nazýváme izomorfismus.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Definition
Podgrupa f −1(e) jednotkového prvku e ∈ H se nazývá jádro
homomorfismu f a značíme ji ker f . Bijektivní homomorfismus grup
nazýváme izomorfismus.
Z předchozích tvrzení okamžitě vyplývá, že homomorfismus
f : G → H s triviálním jádrem je izomorfismem na obraz f (G).
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
(1) Pro každou grupu permutací G = Σn jsme definovali zobrazení
sgn : Σn → Z2 přiřazující permutaci její paritu. Jde o
homomorfismus grup. Jádrem tohoto homomorfismu jsou
permutace se sudou paritou.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
(1) Pro každou grupu permutací G = Σn jsme definovali zobrazení
sgn : Σn → Z2 přiřazující permutaci její paritu. Jde o
homomorfismus grup. Jádrem tohoto homomorfismu jsou
permutace se sudou paritou.
(2) Grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka je izomorfní s
grupou permutací Σ3. Zvolíme-li realizaci Σ3 tak, že za množinu tří
prvků pro permutace vezmeme vrcholy trojúhelníka a jednotlivým
symetriím přiřadíme permutace těchto vrcholů, které vyvolají.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
(1) Pro každou grupu permutací G = Σn jsme definovali zobrazení
sgn : Σn → Z2 přiřazující permutaci její paritu. Jde o
homomorfismus grup. Jádrem tohoto homomorfismu jsou
permutace se sudou paritou.
(2) Grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka je izomorfní s
grupou permutací Σ3. Zvolíme-li realizaci Σ3 tak, že za množinu tří
prvků pro permutace vezmeme vrcholy trojúhelníka a jednotlivým
symetriím přiřadíme permutace těchto vrcholů, které vyvolají.
(3) Zobrazení exp : R → R+ (nebo C → C \ 0), je homomorfismus
aditivní grupy reálných nebo komplexních čísel na multiplikativní
grupu kladných reálných čísel, resp. na multiplikativní grupu všech
nenulových komplexních čísel. V případě reálných čísel jde o
izomorfismus. Pro komplexní čísla dostáváme netriviální jádro 2kπi,
k ∈ Z.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
(4) Determinant matice je zobrazením, které každé matici skalárů z
K přiřazuje nějaký skalár v K (pracovali jsme s K = Z, Q, R, C).
Cauchyova věta o determinantu součinu čtvercových matic
det(A · B) = (det A) · (det B) je tvrzením, že pro grupu
G = GL(n, K) invertibilních matic je det : G → K \ 0
homomorfismem grup.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
(4) Determinant matice je zobrazením, které každé matici skalárů z
K přiřazuje nějaký skalár v K (pracovali jsme s K = Z, Q, R, C).
Cauchyova věta o determinantu součinu čtvercových matic
det(A · B) = (det A) · (det B) je tvrzením, že pro grupu
G = GL(n, K) invertibilních matic je det : G → K \ 0
homomorfismem grup.
(5) Pro každé dvě grupy G, H definujeme součin grup G × H
takto: Jako množina je G × H skutečně součin a násobení
definujeme po složkách. tj. (a, x) · (b, y) = (a · b, x · y). Zobrazení
pG : G × H (a, x) → a ∈ G, pH : G × H (a, x) → x
jsou surjektivní homomorfismy s jádry
ker pG = {(eG , x); x ∈ H} ker pH = {(a, eH); a ∈ G}.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
(6) Grupy zbytkových tříd Zk jsou izomorfní grupám komplexních
k–tých odmocnin z jedničky, což jsou zároveň izomorfní obrazy
konečných grup otočení v rovině o celé násobky úhlu 2π
k .
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
(6) Grupy zbytkových tříd Zk jsou izomorfní grupám komplexních
k–tých odmocnin z jedničky, což jsou zároveň izomorfní obrazy
konečných grup otočení v rovině o celé násobky úhlu 2π
k .
(7) Grupa Z6 je izomorfní součinu Z2 × Z3. Skutečně, Z6 ⊂ C∗ je
tvořeno body na jednotkové kružnici v komplexní rovině ve
vrcholech pravidleného šestiúhelníku, Z2 pak odpovídá ±1, Z3
pravidelnému trojúhelníku s jedním vrcholem v jedničce. Jestliže
budeme ztotožňovat příslušné body s otočeními v rovině, které
jedničku převede právě do nich, pak skládání dvou takových otočení
bude vždy komutativní a kombinacemi jednoho otočení ze Z2 a
jednoho ze Z3 dostaneme právě všechna otočení ze Z6.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Example
(6) Grupy zbytkových tříd Zk jsou izomorfní grupám komplexních
k–tých odmocnin z jedničky, což jsou zároveň izomorfní obrazy
konečných grup otočení v rovině o celé násobky úhlu 2π
k .
(7) Grupa Z6 je izomorfní součinu Z2 × Z3. Skutečně, Z6 ⊂ C∗ je
tvořeno body na jednotkové kružnici v komplexní rovině ve
vrcholech pravidleného šestiúhelníku, Z2 pak odpovídá ±1, Z3
pravidelnému trojúhelníku s jedním vrcholem v jedničce. Jestliže
budeme ztotožňovat příslušné body s otočeními v rovině, které
jedničku převede právě do nich, pak skládání dvou takových otočení
bude vždy komutativní a kombinacemi jednoho otočení ze Z2 a
jednoho ze Z3 dostaneme právě všechna otočení ze Z6.
V aditivní notaci vypadá izomorfismus takto:
[0]6 → ([0]2, [0]3), [1]6 → ([1]2, [2]3)
[2]6 → ([0]2, [1]3), [3]6 → ([1]2, [0]3)
[4]6 → ([0]2, [2]3), [5]6 → ([1]2, [1]3)
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Libovolný prvek a v grupě G je obsažen v minimální podgrupě
{a, a2, a3, . . . }, která jej obsahuje.
Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa
G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Libovolný prvek a v grupě G je obsažen v minimální podgrupě
{a, a2, a3, . . . }, která jej obsahuje.
Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa
G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e.
Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G
je cyklická grupa je-li celé G generované nějakým svým prvkem a
výše uvedeným způsobem.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Libovolný prvek a v grupě G je obsažen v minimální podgrupě
{a, a2, a3, . . . }, která jej obsahuje.
Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa
G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e.
Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G
je cyklická grupa je-li celé G generované nějakým svým prvkem a
výše uvedeným způsobem.
Z definice přímo vyplývá, že každá cyklická grupa je izomorfní buď
grupě celých čísel Z (pokud je nekonečná) nebo některé grupě
zbytkových tříd Zk (když je konečná).
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Grupy a grupoidy
3 Symetrie „logotypů“ a „dláždění“
4 Homomorfismy grup
5 Rozklady a faktorgrupy
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ∼H b jestliže b−1 · a ∈ H.
Je to relace ekvivalence:
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ∼H b jestliže b−1 · a ∈ H.
Je to relace ekvivalence:
a−1 · a = e ∈ H,
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ∼H b jestliže b−1 · a ∈ H.
Je to relace ekvivalence:
a−1 · a = e ∈ H,
je-li b−1 · a = h ∈ H, potom a−1 · b = (b−1 · a)−1 = h−1 ∈ H,
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ∼H b jestliže b−1 · a ∈ H.
Je to relace ekvivalence:
a−1 · a = e ∈ H,
je-li b−1 · a = h ∈ H, potom a−1 · b = (b−1 · a)−1 = h−1 ∈ H,
je-li c−1 · b ∈ H a zároveň je b−1 · a ∈ H, potom
c−1 · a = c−1 · b · b−1 · a ∈ H.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle
podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle
podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Třídu příslušející prvku a značíme a · H a skutečně platí, že
a · H = {a · h; h ∈ H},
neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto
způsobem vyjádřit.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle
podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Třídu příslušející prvku a značíme a · H a skutečně platí, že
a · H = {a · h; h ∈ H},
neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto
způsobem vyjádřit.
Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme
G/H.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle
podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Třídu příslušející prvku a značíme a · H a skutečně platí, že
a · H = {a · h; h ∈ H},
neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto
způsobem vyjádřit.
Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme
G/H.
Obdobně definujeme pravé třídy rozkladu H · a. Příslušná
ekvivalence je: a ∼ b, jestliže a · b−1 ∈ H. Proto
H \ G = {H · a; a ∈ G}.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Theorem
Pro třídy rozkladu grupy platí:
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Theorem
Pro třídy rozkladu grupy platí:
1 Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H ⊂ G splývají
právě, když pro každé a ∈ G, h ∈ H platí a · h · a−1 ∈ H.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Theorem
Pro třídy rozkladu grupy platí:
1 Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H ⊂ G splývají
právě, když pro každé a ∈ G, h ∈ H platí a · h · a−1 ∈ H.
2 Všechny třídy (levé i pravé) mají shodnou mohutnost s
podgrupou H.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
3 Je-li a ∈ G prvek řádu k, pak k dělí n.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
3 Je-li a ∈ G prvek řádu k, pak k dělí n.
4 pro každé a ∈ G je an = e.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
3 Je-li a ∈ G prvek řádu k, pak k dělí n.
4 pro každé a ∈ G je an = e.
5 je-li mohutnost grupy G prvočíslo, pak je G izomorfní cyklické
grupě Zn.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
3 Je-li a ∈ G prvek řádu k, pak k dělí n.
4 pro každé a ∈ G je an = e.
5 je-li mohutnost grupy G prvočíslo, pak je G izomorfní cyklické
grupě Zn.
Druhému tvrzení se říkává Lagrangeova věta, předposlednímu malá
Fermatova věta.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Podgrupy H, pro které platí, že a · h · a−1 ∈ H pro všechny a ∈ G,
h ∈ H, se nazývají normální podgrupy.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Podgrupy H, pro které platí, že a · h · a−1 ∈ H pro všechny a ∈ G,
h ∈ H, se nazývají normální podgrupy.
Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H
vztahem
(a · H) · (b · H) = (a · b) · H.
Skutečně, volbou jiných reprezentantů a · h, b · h dostaneme opět
stejný výsledek
(a · h · b · h ) · H = ((a · b) · (b−1
· h · b) · h ) · H.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Podgrupy H, pro které platí, že a · h · a−1 ∈ H pro všechny a ∈ G,
h ∈ H, se nazývají normální podgrupy.
Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H
vztahem
(a · H) · (b · H) = (a · b) · H.
Skutečně, volbou jiných reprezentantů a · h, b · h dostaneme opět
stejný výsledek
(a · h · b · h ) · H = ((a · b) · (b−1
· h · b) · h ) · H.
Násobení na G/H má všechny vlastnosti grupy.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
V komutativních grupách jsou všechny podgrupy normální.
Podmnožina
nZ = {na; a ∈ Z} ⊂ Z
zadává v celých číslech podgrupu a její faktorgrupou je právě
(aditivní) grupa zbytkových tříd Zn.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
V komutativních grupách jsou všechny podgrupy normální.
Podmnožina
nZ = {na; a ∈ Z} ⊂ Z
zadává v celých číslech podgrupu a její faktorgrupou je právě
(aditivní) grupa zbytkových tříd Zn.
Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak,
jestliže je podgrupa H ⊂ G normální, pak zobrazení
p : G → G/H, a → a · H
je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je
dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to
musí být homomorfismus a je zjevně na. Je tedy vidět, že normální
podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Pro libovolný homomorfismus grup f : G → K je dobře definován
také homomorfismus
˜f : G/ ker f → K, ˜f (a · H) = f (a),
který je injektivní.
Literatura Grupy a grupoidy Symetrie „logotypů“ a „dláždění“ Homomorfismy grup Rozklady a faktorgrupy
Pro libovolný homomorfismus grup f : G → K je dobře definován
také homomorfismus
˜f : G/ ker f → K, ˜f (a · H) = f (a),
který je injektivní.
Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C∗ → C∗ definovaný
na nenulových komplexních číslech vztahem z → zk s přirozeným
k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina
k–tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Zk. Předchozí
úvaha tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus
˜f : C∗
/Zk → C∗
.
Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s
mohutnostmi tak přehledný jako u konečných grup